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A função exponencial ocorre quando, em sua lei de formação, a variável está no expoente, com domínio e contradomínio nos números reais. O domínio da função exponencial são os números reais, e o contradomínio são os números reais positivos diferentes de zero. A sua lei de formação pode ser descrita por f(x) =ax, em que a é um número real positivo diferente de 1.
O gráfico de uma função exponencial sempre estará no primeiro e segundo quadrantes do plano cartesiano, podendo ser crescente, quando a for um número maior do que 1, ou decrescente, quando a for um número positivo menor do que 1. A função inversa da função exponencial é a função logarítmica, o que torna os gráficos dessas funções sempre simétricos.
Leia também: O que é função?
O que é função exponencial?
Como o nome sugere, o termo exponencial está ligado a expoente. Então, a definição de função exponencial é uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais, e o contradomínio é o conjunto dos números reais positivos não nulos, descrito por : ℝ → ℝ*+. A sua lei de formação é descrita pela equação f(x) = ax, em que a é um número real qualquer, positivo, não nulo e que recebe o nome de base.
Exemplos:
Na lei de formação, f(x) pode ser descrito também como y e, assim como nas demais funções, ele é conhecido como variável dependente, porque seu valor depende de x, que é conhecido como variável independente.
As funções exponencias podem ser classificadas em dois casos distintos. Levando em consideração o comportamento da função, ela pode ser crescente ou decrescente.
Uma função exponencial é dita crescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) também aumenta. Isso ocorre quando a base é maior que 1, ou seja: a > 1.
Exemplo:
Uma função exponencial é considerada decrescente se, à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) diminui. Isso ocorre quando a base é um número entre 0 e 1, ou seja, 0 < a < 1.
Exemplo:
Leia também: Diferenças entre função e equação
Gráfico da função exponencial
Para desenharmos a representação gráfica de uma função exponencial, é necessário encontrar a imagem para alguns valores do domínio. O gráfico de uma função exponencial tem como característica um crescimento bem maior que o das funções lineares, se for crescente, ou um decrescimento maior, quando decrescente.
Exemplos:
a) Construa o gráfico da função: f(x) = 2x.
Como a >1, então essa função é crescente. Para a construção do gráfico, vamos atribuir alguns valores para x conforme a tabela a seguir:
Agora que conhecemos alguns pontos da função, é possível marcá-los no plano cartesiano e traçar a curva da função exponencial.
b) Construa o gráfico da função a seguir:
Nesse caso, a função é decrescente, já que a base é um número entre 0 e 1, então o gráfico será decrescente.
Após encontrar alguns valores numéricos, é possível representar no plano cartesiano o gráfico da função:
Propriedades da função exponencial
→ 1ª propriedade
Em uma função exponencial qualquer, independentemente do valor de sua base a, temos que f(0) = 1. Afinal, sabemos que essa é uma propriedade de potência, ou seja, todo número elevado a 0 é 1. Isso significa que o gráfico vai interceptar o eixo vertical no ponto (0,1) sempre.
→ 2ª propriedade
A função exponencial é injetora. Dados x1 e x2 tal que x1 ≠ x2, então as imagens também serão diferentes, ou seja, f(x1) ≠ f(x2), o que significa que, para cada valor da imagem, existe um único valor no domínio que corresponde a essa imagem.
Ser injetiva significa que, para valores diferentes de y, existirá um único valor de x que faz com que f(x) seja igual a y.
→ 3ª propriedade
É possível saber o comportamento da função de acordo com o valor da sua base. O gráfico será crescente se a base for maior que 1 (a > 1) e decrescente se a base for menor que 1 e menor que 0 (0 < a < 1).
→ 4ª propriedade
O gráfico da função exponencial está sempre no 1º e 2º quadrantes, pois o contradomínio da função são os reais positivos diferentes de zero.
Leia também: Como construir o gráfico de uma função?
Função exponencial e função logarítmica
Como a função exponencial é uma função que admite inversa, essa comparação entre função exponencial e função logarítmica é inevitável. Acontece que a função logarítmica é a função inversa da exponencial. Os gráficos dessas funções são simétricos em relação à bissetriz do eixo x. Ser uma função inversa significa que a função logarítmica faz o contrário do que a função exponencial faz, ou seja, na função exponencial, se f(x) = y, então a função logarítmica, por ser inversa, será denotada por f-1 o f-1 (y) = x.
Exercícios resolvidos
(Enem 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1800·(1,03)t.
De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais,
a) 7.416,00
b) 3.819,24
c) 3.709,62
d) 3.708,00
e) 1909,62
Resolução:
Queremos calcular a imagem da função quando t = 2, ou seja, s(2). Substituindo t = 2 na fórmula, encontraremos que:
s(2) = 1800 · (1,03)²
s(2) = 1800 · 1,0609
s(2) = 1909,62
Alternativa E
2) (Enem 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ≥ 1?
a) P(t) = 0,5 · t -1 + 8 000
b)P(t) = 50 · t -1 + 8000
c)P(t) = 4 000 · t-1 + 8 000
d)P(t) = 8 000 · (0,5)t-1
e)P(t) = 8 000 · (1,5)t-1
Resolução:
Note que existe uma relação entre o ano t e a quantidade de determinado produto P. Sabendo que há um aumento de 50% para cada ano, isso significa que, ao comparar a produção de um ano anterior ao posterior, o valor do segundo corresponde a 150%, que é representado por 1,5. Sabendo que a produção inicial é 8 000 e que, no primeiro ano, essa foi a produção, podemos descrever essa situação por:
-
No primeiro ano, ou seja, se t= 1 → s(t) = 8 000.
-
No segundo ano, se t = 2 → P(2) = 8 000 · 1,5.
-
No terceiro ano, se t = 3 → P(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
-
Ao passar t anos, teremos P(t) = 8 000 · (1,5)t-1.
Alternativa E
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática
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AULA 3 – APROFUNDAMENTO NAS FUNÇÕES 1. Considere a seguinte função: O domínio e a imagem da função são, respectivamente: a) 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[. b) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ. c) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ. d) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = [0; +∞┤[. Repare que o ponto (0;0) ficou traçado como “bolinha aberta”, pois 𝑥=0 não pertence a essa parte do domínio da função. 2. (PETROBRAS - 2008) Considere que 𝑓 é uma função definida do conjunto 𝐷 em ℝ por: 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+8. Sendo 𝐼𝑚 a imagem de 𝑓, é correto afirmar que, se: a) 𝐷=[−2,0], então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+. b) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=[0;4]. c) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+. d) 𝐷=[0;2], então 𝐼𝑚(𝑓)=[4;8]. 3. Observe os gráficos das funções 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒚=𝒈(𝒙) e 𝒚=𝒉(𝒙): No mesmo par de eixos, podemos afirmar que: a) 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 𝑒 ℎ(2)=−2. b) 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] 𝑒 𝐼𝑚(ℎ)=[−4,3]. c) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3]. d) 𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3]. Observando o gráfico, temos: 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 e ℎ(2)=2. 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] e 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3]. 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] e 𝐼𝑚(𝑔)=[−1,𝑔(3)] 𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] e 𝐼𝑚(ℎ)=[1,2]. 4. Considere a função . Podemos afirmar que o domínio da função 𝑓 é: a) Todo número real 𝑥. b) Todo número real 𝑥, exceto os números positivos. c) Todo número real 𝑥, exceto 𝑥=300. d) Todo número real 𝑥, exceto os números negativos. A função não está definida para 𝑥=300, pois este número anula o denominador. Parte superior do formulário 5. Considere o gráfico da função 𝑓: Após a análise do gráfico, podemos afirmar que: a) A função não está definida em 𝑥=1,6. b) 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,5]. c) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 11]. d) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 2)∪(2,11]. Parte inferior do formulário Projetando o gráfico da função no eixo -𝒙, vemos que o domínio da função 𝒇 é o conjunto no eixo -𝑥 indicado em vermelho na figura. Seu domínio é a seguinte união de intervalos:[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏]. 𝑫𝒐𝒎(𝒇)=[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏]. Projetando o gráfico da função no eixo -𝒚, vemos que a imagem da função 𝒇 é o intervalo no eixo -𝑦 indicado em vermelho na figura. Sua imagem é o intervalo [−𝟒, 𝟖.𝟑]. 𝑰𝒎(𝒇)=[−𝟒, 𝟖.𝟑]. 6. Se a função real definida por possui 𝐷 como domínio e 𝐷=[𝑎,𝑏], então, 𝑎+𝑏 vale: a) 11 b) 5 c) 15 d) 13 1. (Adaptada de: LIVRO ABERTO - s.d.) Considere a função 𝑔:ℝ→ℝ tal que 𝑔(𝑥)=9−𝑥2. Assinale a alternativa correta: a) Existe algum 𝑥∈ℝ cuja imagem é igual a 10. b) A função 𝑔 é injetora. c) A função 𝑔 é sobrejetora. d) Restringindo o domínio da função 𝑔 para o intervalo [0,+∞), temos que 𝑔 é injetora. Observe o gráfico da função 𝑔(𝑥)=9−𝑥2: Ao traçarmos a reta horizontal 𝑦=10, ela não intersecta o gráfico da função 𝑔. Logo, não existe 𝑥∈ℝ, cuja imagem é igual a 10. Além disso, utilizando o teste da reta horizontal para saber se a função 𝑔 é injetora em todo o seu domínio, notamos que existem vários números diferentes com imagens iguais. Por exemplo: 𝑔(−1)=8 e 𝑔(1)=8. Assim, 𝑔 não é injetora em ℝ. Em contrapartida, ao restringir o domínio da função 𝑔 ao intervalo [0,+∞), o gráfico da função 𝑔 é dado por: Utilizando o teste da horizontal, observamos que a função é injetora nesse intervalo. 2. Considere a função bijetora 𝑓:[1,∞)→(−∞,3] definida por 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥+2 e seja (𝑎,𝑏) o ponto de interseção de 𝑓 com sua inversa 𝑓−1. O valor numérico da expressão 𝑎+𝑏 é: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 a) 1 e 0 b) 2 e 0 c) 3 e 0 d) 4 e 0 Parte superior do formulário 4. Considere a função 𝑓:(−1,2]→ℝ, dada por: Nestas condições, é correto afirmar que: a) 𝑓 é sobrejetora. b) 𝑓 é injetora. c) 𝑓 é bijetora. d) 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1]. Parte inferior do formulário Observe o gráfico da função 𝑓: Utilizando o teste da horizontal, vemos que a função não é injetora e, consequentemente, não é bijetora. Em contrapartida, 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1]≠ℝ. Logo, a função 𝑓 não é sobrejetora. Parte superior do formulário 5. Seja a função 𝑓: ℝ\2→ℝ\3, definida por, cujo gráfico é este: Com os conhecimentos adquiridos no exemplo do vídeo deste módulo, construa o gráfico da função inversa da 𝑓 antes de responder à atividade. Sobre a sua inversa, podemos garantir que: a) Não está definida, pois 𝑓 não é sobrejetora. b) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico: c) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico: d) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico: Parte inferior do formulário O gráfico da função inversa é dado por: 6. Seja 𝑓 a função 𝑓:[𝑡,+∞)→ℝ, definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1. O menor valor de 𝑡 para que a função seja injetora é: a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 1. (Adaptada de: UFPE - 2017) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem ao longo de três anos: De acordo com o gráfico, podemos afirmar que: a) O nível de 70 m foi atingido uma única vez. b) O nível da água armazenada cresce em todo tempo. c) O nível da água armazenada é estritamente decrescente. d) O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período. Traçando uma reta horizontal paralela ao eixo x (tempo), vemos que o nível de 40 m foi atingido 2 vezes no período de 3 anos. Isso já mostra que a função, cujo gráfico tem a representação da figura, não é injetora. Além disso, como existem oscilações no nível da água armazenada, em alguns instantes ela cresce e em outros decresce. Assim, a função em questão não é crescente nem decrescente. 2. No ano de 2020, o mundo foi assolado por uma pandemia, causada pelo vírus SAR-COV-2, conforme mostra o gráfico a seguir: De acordo com o gráfico, podemos afirmar que: a) De 03 a 12 de fevereiro, a número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 12 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. b) De 03 a 18 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. c) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 24 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. d) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. Fazendo uma análise do gráfico, ou seja, traçando uma reta vertical paralela ao eixo y (correspondente ao número de casos com o vírus SAR-COV-2) e perpendicular às retas 𝑦=20𝑘 e 𝑦=40𝑘, vemos que essas retas intersectam o eixo x (correspondente ao tempo) em 03 e 12 de fevereiro, respectivamente. Assim, o número de casos passa de 20k para 40k de 03 a 12 de fevereiro. Além disso, a partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. 3. Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função 𝑓(𝑥)=12𝑥−2𝑥2, em que 𝑥 é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. Nessas condições, a partir de qual momento a concentração desse antibiótico começa a decrescer? a) 0 b) 6 c) 3 d) 18 4. Uma função 𝑓:ℝ+→ℝ+ é crescente e satisfaz a seguinte condição: 𝑓(3𝑥)=3𝑓(𝑥), para todo 𝑥∈ℝ+. Se 𝑓(9)=27, qual o valor de 𝑓(1)? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 5. Sabendo que 𝑑 é um número real, o maior valor de 𝑑, tal que a função 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+3, para x < d, seja decrescente, é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 6. (Adaptada de: ENEM - 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos, e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se prepararam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. Sabemos que a função: 𝑁(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏 Onde: 𝑎,𝑏∈ℝ; 𝑁 = número de sacolas (em bilhões); 𝑥 = número de anos (após 2007). Observe o gráfico a seguir, que considera a origem como o ano de 2007: Fonte: LUCENA, 2010 De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidas em 2011? a) 4,0 b) 6,5 c) 7,0 d) 10 Parte superior