Como calcular raiz quadrada aproximada respostas

Para o aluno calcular raiz quadrada de número racional, cuja raiz não é exata, existe várias técnicas das quais irei abordar algumas e tentar mostrar para o aluno aquelas mais segura, já que todas elas dar como resultado um número aproximado, ou para mais ou para menos. Uma outra maneira mais prática e mais rápida seria através do uso da calculadora.

Nessa técnica o aluno vai usar a técnica de tentativa baseado naquilo que ele já aprendeu.

Exemplos:

a)Qual a raiz quadrada de 10?

A primeira coisa é procura um número aproximado de 10 que tenha raiz exata. Nesse caso 9 tem raiz exata. A raiz de 9 é 3. Sabemos que 3 elevado ao quadrado é 9. Portanto, 3 não é a resposta. Depois 3 colocamos uma vírgula e acrescentamos números, e fazemos o cálculo para verificar a resposta. Observe abaixo:

(3,1)2 = 3,1 . 3,1 = 9,61

(3,2)2 = 3,2 . 3,2 = 10,24

3,1 é o valor aproximado se a questão pede apenas com uma casa decimal essa seria a resposta.

Caso a questão peça com duas, três ou mais casas decimais, iremos continuar tentando.

(3,1)2 = 3,1 . 3,1 = 9,61

(3,11)2 = 3,11 . 3,11 = 9,6721

(3,12)2 = 3,12 . 3,12  = 9,7344

(3,13)2 = 3,13 . 3,13 = 9,7969

(3,14)2 = 3,14 . 3,14 = 9,8596

(3,15)2 = 3,15 . 3,15 = 9,9225

(3,16)2 = 3,16 . 3,16 = 9,9856  ( observe que foram preciso seis tentativas)

(3,17)2 = 3,17 . 3,17 = 10,0489 ( passou não serve).

b)Qual a raiz quadrada de 150?

A primeira coisa é procura um número aproximado de 150 que tenha raiz exata. Nesse caso 144 tem raiz exata. A raiz de 144 é 12.

Depois do 12 colocamos uma vírgula e vamos acrescentado alguns valores.

(12)2 = 12 . 12 = 144

(12,1)2 = 12,1  .  12,1 = 146,41

(12,2)2 = 12,2  .  12,2 = 148,84 (com uma casa decimal)

(12,3)2 = 12,3  .  12,3 = 151,29

Continuando os cálculos duas casas decimais:

(12,21)2 = 12,21  .  12,21 = 149,0841

(12,22)2 = 12,22  .  12,22 = 149,3284

(12,23)2 = 12,23  .  12,23 = 149,5729

(12,24)2 = 12,24  .  12,24 = 149,8176 (Resposta com duas casas decimais)

(12,25)2 = 12,25  .  12,25 = 150,0625

2ª técnica por comparação:

Nesta técnica vamos comparar dois números que tem raiz exata um abaixo do número dado, isto é, 19 e outa acima deste número.

Exemplos: 
a) Qual a raiz quadrada aproximada de 19?

A raiz de 16 é 4 começamos por essa, colamos vírgula e acrescentamos números igual ao outro processo.

(4,1)2 = 4,1 . 4,1 = 16,81

(4,2)2 = 4,2  .  4,2 = 17,64

(4,3)2 = 4,3  .  4,3 = 18,49    (com uma casa decimal)

(4,4)2 = 4,4  .  4,4 = 19,36  ( não serve, passou)

Com duas casas decimais

 (4,3)2 = 4,3  .  4,3 = 18,49

(4,31)2 = 4,31  .  4,31 = 18,5761

(4,32)2 = 4,32  .  4,32 = 18,6624

(4,33)2 = 4,33  .  4,33 = 18,7489

(4,34)2 = 4,34  .  4,34 = 18,8356

(4,35)2 = 4,35  .  4,35 = 18,9225

(4,36)2 = 4,36  .  4,36 = 19,0096

Em que consiste esse método? 

Consiste em o aluno encontrar dois números que multiplicados entre si seja igual ao número estudado. Porém, esse método só calcula a raiz aproximada com uma casa decimal, e o aluno terá mais probabilidade de errar.

Exemplos:  a) Qual a raiz quadrada de 12. Usando o método de Harão

12 = 1 . 12 12 = 2 . 6 12 = 3 . 4 Veja que nesse caso qualquer um podia ser a raiz de 12, baseado nesse método. Quando você soma os resultado encontrados e divide por 2 veja no que dar: 1 + 12 = 13 e divide por 2 vai dar 6,5  ( não serve) 2 + 6 = 8 dividindo por 2 é 4 ( não serve)

3 + 4 = 7 dividindo por 2 é 3,5 Valor aproximado.

Usando uma calculadora verificamos que a resposta seria 3,4 com uma casa decimal. Esta errado essa resposta? Não esta errado, porque a próxima casa decimal é 6, sendo assim podemos arredonda para cima.

b) Qual raiz quadrada de 72? 72 = 1 . 72 72 = 2 . 36 72 = 3 . 24 72 = 4 . 18 72 = 6 .  12

72 = 8 . 9

Veja que qualquer um nesse poder ser a raiz de 72. Destas tentativas apenas o último vai ser a resposta.

Porém, esse método não serve para calcular raiz quadrada de qualquer número. Vejamos o exemplo. Qual a raiz aproximada de 10? 10 = 1 . 10 10 = 2 . 5 1 + 10 = 11   (11 dividido por 2 igual a 5,5) 2 + 5 = 7       (7 dividido por 2 é igual a 3,5)

E na verdade sabemos que a raiz aproximada de 10 é 3,1

Page 2

A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado.

O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los?

Tentativa e erro

Algumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo:

Qual a raiz quadrada de v196?

Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo:

11 * 11 = 121

12 * 12 = 144

13 * 13 = 169

14 * 14 = 196

É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros.

Cálculo por fatoração

A fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração:

Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja:

Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja:

Veja outro exemplo com  v1225:

Desmembrando o número temos:

Raiz quadrada não exata

Quando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo:

Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo:

7,1 * 7,1 = 50,41

7,2 * 7,2 = 51,84

7,3 * 7,3 = 53,29

7,4 * 7,4 = 54,76

O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54.

Veja outro exemplo:

Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas:

14,1 * 14,1 = 198,81

14,2 * 14,2 = 201,64

14,3 * 14,3 = 204,49

14,4 * 14,4 = 207,36

14,5 * 14,5 = 210,25

14,6 * 14,6 = 213,16

14,7 * 14,7 = 216,09

14,8 * 14,8 = 219,04

Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja:

14,71 * 14,71 = 216,38

14,72 * 14, 72 = 216,67

14,73 * 14,73 = 216,97

14,74 * 14,74 = 217,26

14,75 * 14,75 = 217,56

14,76 * 14,76 = 217,85

14,77 * 14,77 = 218,15

Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76.

O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular.

Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões:

Como calcular probabilidades?

Como calcular porcentagem de forma fácil?

Como calcular seno, cosseno e tangente?

Conheça o Coach COC e organize seus estudos!

O aplicativo Coach COC é o seu novo parceiro para os estudos! Ele vai te ajudar a organizar sua rotina e planejar seu dia a dia. Acesse a página do app e baixe agora mesmo!