A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Essa operação é representada pelo símbolo √, conhecido como radical, e a raiz de um número é representada por \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\). Assim, podemos calcular a raiz enésima de um número utilizando o seguinte raciocínio: a raiz enésima de a é o número que elevado a n é igual a a. Além disso, a radiciação possui propriedades importantes que auxiliam na resolução de problemas envolvendo-a.
Leia também: Potenciação e radiciação de frações
Videoaula sobre radiciação
Como representar a radiciação?
Para representar uma operação de radiciação, utilizamos o símbolo √, conhecido como radical. Então, a raiz de um número é representada por:
\(\sqrt[n]{a}\ =\ b\)
Essa sentença é lida como “raiz enésima de a é igual a b”. Cada um dos elementos recebe nome específico. São eles:
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√: radical.
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n: índice.
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a: radicando.
-
b: raiz.
Observação: Quando o índice é igual a 2, não é necessário que o algarismo 2 conste. Ou seja:
\(\sqrt[2]{a}=\sqrt a\)
A radiciação e a potenciação são conhecidas como operações inversas. Assim, para calcular a radiciação, é fundamental saber resolver potenciações. Quando representamos a raiz enésima de a, encontramos como resposta o número b. Para que b seja raiz n de a, temos que:
\(\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a\)
Logo, estamos procurando qual é o número b que elevado ao índice n é igual ao radicando a.
Exemplo 1:
\(\sqrt[2]{25}=5\rightarrow5^2=25\)
Exemplo 2:
\(\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8\)
Exemplo 3:
\(\sqrt[5]{1024}=4\rightarrow4^5=1024\)
Propriedades da radiciação
As propriedades das operações matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução e na simplificação de problemas envolvendo uma operação, e com a radiciação não é diferente. É útil, portanto, dominar algumas propriedades da radiciação.
→ A raiz enésima de a elevado a n é igual ao próprio a
Se queremos calcular a raiz enésima de um número a elevado a n, ou seja, quando o expoente do número é igual ao índice da raiz, a raiz é o próprio número a.
\(\sqrt[n]{a^n}=a\)
→ A raiz do produto é igual ao produto das raízes
Quando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes.
\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)
→ A raiz do quociente é igual ao quociente das raízes
Essa propriedade é equivalente à anterior, porém para o caso de divisão. Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.
\(\sqrt[n]{a∶b}=\sqrt[n]{a}∶\sqrt[n]{b}\)
Além disso, essa propriedade é válida para frações, já que a fração é uma divisão.
\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
→ Multiplicação e divisão do índice com o expoente
Podemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número.
\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}\)
\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}\)
→ Raiz de uma raiz
Para resolver a raiz de uma raiz, podemos multiplicar os índices dessas raízes.
\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\)
→ Potência de uma raiz
Quando há uma potenciação com a raiz, temos que:
\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=\sqrt[n]{a^b}\)
→ Transformação de uma radiciação em uma potenciação
Podemos reescrever a radiciação de um número como uma potenciação.
\(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)
Confira nossa videoaula: Propriedades de potência
Simplificação de radicais
Quando a raiz não é um número exato, é possível simplificar o radical, ou seja, escrever o radical da forma mais simples possível. Para fazer a simplificação, é necessário fatorar esse número e utilizar as propriedades da radiciação apresentadas anteriormente para representar a radiciação da forma mais simples possível.
Exemplo:
Simplifique \(\sqrt{392}\):
Resolução:
Primeiramente, é necessário realizar a fatoração de 392:
Como queremos calcular a raiz quadrada, agruparemos, quando possível, os números como potência de 2:
392 = \(2^2\cdot2\cdot7^2\)
Assim, temos que:
\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot7^2}\)
Utilizando as propriedades da radiciação, sabemos que a raiz do produto é igual ao produto das raízes:
\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{7^2}\)
Vale ressaltar que quando o índice não aparece, o seu valor é 2. E quando o índice e o expoente do radicando são os mesmos, a raiz é igual ao radicando. Ou seja:
\(\sqrt{392}=2\cdot\sqrt2\cdot7\)
Então, temos que:
\(\sqrt{392}=14\sqrt2\)
Logo, \(14\sqrt2\) é a forma simplificada da \(\sqrt{392}\).
Operações com radicais
→ Adição e subtração
Quando o radical é o mesmo, para somar ou subtrair a raiz, conservamos o radical e somamos os coeficientes.
Exemplo:
\(4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2\)
Quando o radical é diferente, não é possível realizar a operação. Dessa forma, é necessário obter um valor aproximado ou exato para a raiz antes de fazer o cálculo.
Exemplo:
\(5\sqrt3-2\sqrt2\)
\(5\cdot1,7-2\cdot1,4\)
\(8,5-2,8\)
\(5,7\)
→ Multiplicação e divisão
Quando o índice é o mesmo, podemos realizar a multiplicação ou a divisão e conservar o radical.
Exemplo:
\(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot5}=\sqrt[3]{10}\)
Quando o índice é diferente, de início igualamos os índices e depois realizamos a multiplicação/divisão e conservamos o radical.
Exemplo:
\(\sqrt[3]{16}∶\sqrt[2]{2}\)
Para igualar os índices, temos que:
\(\sqrt[3\cdot2]{{16}^2\ }:\sqrt[2\cdot3]{2^3}\)
\(\sqrt[6]{{16}^2∶2^3}\)
\(\sqrt[6]{256∶8}\)
\(\sqrt[6]{32}\)
Exercícios resolvidos sobre radiciação
Questão 1
(Fauel) O número \(\sqrt[3]{2160}\) pode ser escrito na forma simplificada. Assinale a alternativa que apresenta o número simplificado.
A) 50
B) \( 6\sqrt[3]{10}\)
C) \( 10\sqrt[3]{6}\)
D) 720
Resolução:
Alternativa B
Fazendo a fatoração:
Como queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3:
2160 = \(2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5\)
Logo:
\(\sqrt[3]{2160}=\sqrt[3]{2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5}\)
\(\sqrt[3]{2160}=2\cdot3\sqrt[3]{2\cdot5}\)
\(\sqrt[3]{2160}=6\sqrt[3]{10}\)
Questão 2
Qual é a raiz cúbica de 4.096?
A) 26
B) 24
C) 16
D) 14
Resolução:
Alternativa C
Para encontrar a raiz cúbica de 4.096, devemos fatorar esse número:
Como nós queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3. Assim, obtemos 4096 = \(2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3\).
Portanto:
\(\sqrt[3]{4096}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3}\)
\(\sqrt[3]{4096}=2\cdot2\cdot2\cdot2\)
\(\sqrt[3]{4096}=16\)
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1
Primeiramente, separe as casas do número em pares. Esse método faz uso de um processo semelhante à divisão longa para calcular a raiz quadrada exata, uma casa de cada vez. Embora não seja crucial, você talvez descubra que o processo fica mais fácil quando é organizado visualmente e o número está dividido em partes. O primeiro a se fazer é desenhar uma linha vertical separando a área de trabalho em duas regiões, fazendo a seguir uma linha horizontal menor perto do topo direito a fim de ter uma seção pequena em cima e uma grande em baixo. Agora, separe as casas do número em pares começando com a vírgula: seguindo essa regra, por exemplo,
se torna. Escreva o valor no topo do espaço esquerdo.- Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de . Faça duas linhas para dividir a área de trabalho como no caso anterior e escrevana porção superior do espaço esquerdo, e não se preocupe se houver apenas um número solitário à esquerda em vez de um par. Você deverá escrever a resposta () na região direita superior.
- Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de
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2
Descubra qual é o maior
inteiro cujo quadrado é menor ou igual que o número (ou o par de números) à esquerda. Comece com a porção mais à esquerda de seu número, quer se trate de um par ou de um valor isolado. Determine qual é o maior quadrado perfeito que seja menor ou igual a esse número e tire sua raiz quadrada: esse valor é representado por . Anote-o no espaço direito superior e escreva seu quadrado no quadrante direito inferior.- No exemplo, a porção mais à esquerda é o número . Como se sabe que, é possível afirmar que, uma vez que se trata do maior valor inteiro cujo quadrado é menor ou igual a . Escrevano quadrante superior — essa será a primeira casa do resultado. A seguir, escreva(quadrado de ) no quadrante direito inferior — esse valor será importante para o próximo passo.
- No exemplo, a porção mais à esquerda é o número
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3
Subtraia o número recém-calculado do par à esquerda. Assim como acontece na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o quadrado encontrado da porção que acaba de ser estudada. Escreva esse valor sob a primeira porção e execute a subtração apropriada, escrevendo a resposta logo abaixo.
- No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a .
- No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a
-
4
Desça o próximo par. Mova a próxima porção do número em estudo para baixo e ao lado do valor subtraído que você acaba de encontrar. Multiplique a seguir o valor no topo direito por e escreva a resposta no quadrante direita inferior. Basta agora separar um espaço para o problema de multiplicação no próximo passo:
.- No exemplo, o próximo par à disposição é . basta observá-lo próximo ao do quadrante esquerdo inferior. A seguir, multiplique o valor por e obtenha , de modo que. Escreva no canto direito inferior, seguido por.
- No exemplo, o próximo par à disposição é
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5
Preencha os espaços em branco no quadrante direito. Em cada um deles agora estará o mesmo número inteiro. Ele deve ser o maior que permita ao resultado da multiplicação à direita ser menor ou igual ao número agora presente no lado esquerdo.
- No exemplo, preencher os espaços em branco com dá como resultado:. Esse é um valor maior que. Dessa forma, é grande demais, mas provavelmente servirá. Escreva nos espaços em branco e prossiga:. Confirma-se que ele atende à necessidade porque, então escreva o número no quadrante direito superior. Essa é a segunda casa na raiz quadrada de .
- No exemplo, preencher os espaços em branco com
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6
Subtraia o valor calculado do número agora à esquerda. Continue subtraindo no mesmo estilo da divisão longa. Tome o resultado do problema de multiplicação no quadrante direito e subtraia-o do valor que está agora no lado esquerdo, colocando a sua resposta logo abaixo.
- No exemplo, será subtraído de , resultando em.
- No exemplo,
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7
Repita o Passo 4. Desça a próxima porção do número cuja raiz quadrada está sendo calculada. Ao chegar na vírgula, escreva uma casa decimal na resposta presente no quadrante direito superior. A seguir, multiplique o valor no topo direito por e escreva a operação em branco (
) como previamente.- No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte () no quadrante esquerdo. Ao se multiplicar por o valor no topo direito (), obtém-se— escrevano quadrante direito inferior.
- No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte (
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8
Repita os Passos 5 e 6. Encontre o maior valor decimal capaz de preencher os espaços em branco à direita que traga um resultado menor ou igual ao número atualmente à esquerda. A seguir, basta avançar no problema.
- No exemplo, , que é menor ou igual ao número à esquerda (). Observando-se que, que é alto demais, você chega à conclusão de queé a resposta que está buscando. Escreva-o como a próxima casa decimal no quadrante direito superior e subtraia o resultado da multiplicação do número à esquerda:.
- No exemplo,
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9
Continue a calcular as casas decimais. Desça um par de zeros à esquerda e repita os Passos 4, 5 e 6. Para ainda maior precisão, continue a repetir o processo até encontrar os centésimos, milésimos e assim por diante em sua resposta. Basta continuar nesse ciclo até chegar ao resultado na casa decimal desejada.
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1
Defina o número cuja raiz quadrada será calculada como a área
de um quadrado. Como essa área tem por fórmula, onderepresenta o comprimento de um de seus lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada de seu valor você estará tentando calcular o comprimento do quadrado em questão. -
2
Especifique as variáveis relativas a cada casa decimal de sua resposta. Defina a variável
como sendo a primeira casa decimal de (raiz quadrada que está sendo calculada),como sendo a segunda,como sendo a terceira e assim por diante. -
3
Atribua variáveis alfabéticas a cada porção do número inicial. Associe a variável
ao primeiro par de casas decimais em (valor inicial),ao segundo par de casas decimais e assim por diante. -
4
Entenda a conexão do presente método com a divisão longa. Essa forma de calcular a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide o número inicial por sua raiz quadrada, dando sua raiz quadrada como resposta. Assim como nos problemas de divisão longa, nos quais o interesse está direcionado a uma casa decimal por vez, aqui se deve concentrar em duas por vez (que correspondem à próxima casa decimal da raiz quadrada).
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5
Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a . A primeira casa decimal na resposta representa o maior número inteiro cujo quadrado não excede (de modo que
). No exemplo,e, de modo que.- Em um exemplo, se você quisesse dividir por através do método de divisão longa, o primeiro passo seria parecido: você deveria procurar pelo primeiro dígito () e encontrar o maior número inteiro que, ao ser multiplicado por , resultaria em algo menor ou igual a . Basicamente, trata-se de encontrarde modo que. Nesse caso, seria igual a.
- Em um exemplo, se você quisesse dividir
-
6
Visualize o quadrado cuja área você pretende calcular. A resposta, que é a raiz quadrada do número inicial, será representada por , que descreve o comprimento de um quadrado de área (número inicial). Os valores para , e representam as casas decimais presentes em . Outra forma de colocar essa definição é afirmar que, no caso de uma resposta com duas casas decimais
, no caso de uma resposta com três casas decimaise assim por diante.- No exemplo, . Lembre-se de querepresenta a resposta com na casa das unidades e na casa das dezenas. Tomando-seecomo exemplo, resultará no número. Serepresenta a área do quadrado,representa a área do maior quadrado interno,representa a área do menor quadrado interno erepresenta a área de cada um dos retângulos que sobraram. Ao executar esse processo longo e complicado, você terá em mãos a área do quadrado inteiro, bastando somar as áreas calculadas a partir dos quadrados e retângulos em seu interior.
- No exemplo,
-
7
Subtraia
de . Desça um par () de casas decimais de . A expressãorepresenta quase a totalidade da área do quadrado, da qual se subtraiu o maior quadrado interno. O resto, por sua vez, pode ser representado peloobtido no Passo 4 (no exemplo supracitado). Aqui,(área de ambos os retângulos mais a área do quadrado menor). -
8
Procure por , também escrito como
. No exemplo, você já conhece () e (), sendo agora necessário calcular o valor de . Ele provavelmente não será um valor inteiro e, por isso, é preciso realmente calcular a maior possibilidade inteira que satisfaça à condição. Por fim, você restará com. -
9
Resolva a operação. Para prosseguir, multiplique por , mude a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar o valor por
), coloque na posição das unidades e multiplique o resultado por . Em outras palavras, basta realizar a operação. Ela é a mesma que se realiza ao se escrever(sendo) no quadrante direito inferior presente no Passo 4. Já no Passo 5, por sua vez, você encontrará o maior valor inteiro de que caberá no espaço em branco satisfazendo a condição . -
10
Subtraia a área da área total. Isso dá como resultado a área
até então desconsiderada (e que será usada para calcular as próximas casas de modo similar). -
11
Para calcular a próxima casa decimal , simplesmente repita o processo. Desça o próximo par (
) de a fim de obterà esquerda e procure pelo maior valor de que satisfaça à condição(equivalente a escrever duas vezes o valorcom duas casas decimais acompanhado por . Procure pelo maior valor de casa decimal cabível nos espaços em branco que traga um resultado menor ou igual a , assim como antes.