Como resolver raiz quadrada metodo newton

Matemática

Newton descobriu um método para aproximar os valores das raízes de uma equação numérica, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes. A variante desse método, hoje conhecido como Método de Newton, diz o seguinte:

"Se f (x) = 0 tem apenas uma raiz no intervalo [a, b] e se nem f '(x) nem f "(x) se anulam nesse intervalo, escolhido x0 como aquele dos dois números a e b para o qual f (x) e f" (x) tem mesmo sinal, então:

situa-se mais perto da raiz do que x0.

Seja

(Conjunto das funções com até a 2ª derivada contínua) no intervalo [a, b], a aproximação da raiz , f (p) = 0, x é a aproximação de p, tal que e , com .

A derivada f '(x0) é a reta tangente da função no ponto x0. Se o ponto x0 está localizado nos pontos de inflexão, máximos ou mínimos, a derivada da função tende a zero e é por esse motivo que o Método de Newton não converge se f '(x0) tende a zero.

NOTA: O Método de Newton é excelente para calcular aproximações de raízes reais de funções reais, convergindo rapidamente. Por este motivo será estudado mais profundamente numa próxima oportunidade. No momento, iremos aplicá-lo somente para calcular aproximações de raízes quadradas de números reais.

Exemplo1: Aproximar √3 pelo Método de Newton, com precisão de ε = 1 x 10– 4. O erro E = |(ak)2 - n|.

Como queremos encontrar uma aproximação para √3, fazemos:

Logo:

A raiz quadrada de 3 está situada entre 1 e 2. Desta forma, tomaremos como uma aproximação inicial x0 = 1,5.

Como E = |1,752 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

Como E = |1,7321428572 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

Como E = |1,732050812 – 3| menor que 10– 4 paramos as iterações e tomamos x3 como uma raiz aproximada √3.

Vimos como o algoritmo de Newton aproxima raízes, que melhoram a cada iteração. No entanto, o Método de Newton é muito mais eficaz quando se trata de raízes de funções.

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Matemática



Dado um inteiro N e um nível de tolerância L , a tarefa é encontrar a raiz quadrada desse número usando o Método de Newton .
Exemplos: 
 

Entrada: N = 16, L = 0,0001 
Saída: 4 
4 2 = 16
Entrada: N = 327, L = 0,00001 
Saída: 18,0831 
 

Método de Newton: 
Seja N qualquer número, então a raiz quadrada de N pode ser dada pela fórmula: 
 

root = 0,5 * (X + (N / X)) onde X é qualquer suposição que pode ser considerada N ou 1. 
 

• Na fórmula anterior, X é qualquer raiz quadrada assumido de N e raiz é a raiz quadrada correcta de N .
• O limite de tolerância é a diferença máxima entre X e a raiz permitida.

Abordagem: as etapas a seguir podem ser seguidas para calcular a resposta: 
 

1. Atribua X ao próprio N.
2. Agora, começar um loop e manter o cálculo da raiz , que certamente irá avançar para a raiz quadrada correta de N .
3. Verifique a diferença entre o X assumido e a raiz calculada , se ainda não estiver dentro da tolerância, atualize a raiz e continue.
4. Se a raiz calculada estiver dentro da tolerância permitida, saia do loop.
5. Imprima a raiz .

Abaixo está a implementação da abordagem acima: 
 

// C++ implementation of the approach #include <bits/stdc++.h> using namespace std; // Function to return the square root of // a number using Newtons method double squareRoot(double n, float l) { // Assuming the sqrt of n as n only double x = n; // The closed guess will be stored in the root double root; // To count the number of iterations int count = 0; while (1) { count++; // Calculate more closed x root = 0.5 * (x + (n / x)); // Check for closeness if (abs(root - x) < l) break; // Update root x = root; } return root; } // Driver code int main() { double n = 327; float l = 0.00001; cout << squareRoot(n, l); return 0; } // Java implementation of the approach class GFG { // Function to return the square root of // a number using Newtons method static double squareRoot(double n, double l) { // Assuming the sqrt of n as n only double x = n; // The closed guess will be stored in the root double root; // To count the number of iterations int count = 0; while (true) { count++; // Calculate more closed x root = 0.5 * (x + (n / x)); // Check for closeness if (Math.abs(root - x) < l) break; // Update root x = root; } return root; } // Driver code public static void main (String[] args) { double n = 327; double l = 0.00001; System.out.println(squareRoot(n, l)); } } // This code is contributed by AnkitRai01 # Python3 implementation of the approach # Function to return the square root of # a number using Newtons method def squareRoot(n, l) : # Assuming the sqrt of n as n only x = n # To count the number of iterations count = 0 while (1) : count += 1 # Calculate more closed x root = 0.5 * (x + (n / x)) # Check for closeness if (abs(root - x) < l) : break # Update root x = root return root # Driver code if __name__ == "__main__" : n = 327 l = 0.00001 print(squareRoot(n, l)) # This code is contributed by AnkitRai01 // C# implementation of the approach using System; class GFG { // Function to return the square root of // a number using Newtons method static double squareRoot(double n, double l) { // Assuming the sqrt of n as n only double x = n; // The closed guess will be stored in the root double root; // To count the number of iterations int count = 0; while (true) { count++; // Calculate more closed x root = 0.5 * (x + (n / x)); // Check for closeness if (Math.Abs(root - x) < l) break; // Update root x = root; } return root; } // Driver code public static void Main() { double n = 327; double l = 0.00001; Console.WriteLine(squareRoot(n, l)); } } // This code is contributed by AnkitRai01 <script> // Javascript implementation of the approach // Function to return the square root of // a number using Newtons method function squareRoot(n, l) { // Assuming the sqrt of n as n only let x = n; // The closed guess will be stored in the root let root; // To count the number of iterations let count = 0; while (true) { count++; // Calculate more closed x root = 0.5 * (x + (n / x)); // Check for closeness if (Math.abs(root - x) < l) break; // Update root x = root; } return root.toFixed(4); } let n = 327; let l = 0.00001; document.write(squareRoot(n, l)); // This code is contributed by divyesh072019. </script>