A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata.
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Resumo sobre raiz quadrada
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A raiz quadrada é uma radiciação que possui o índice igual a 2.
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Ela é a operação inversa de uma potência de expoente 2.
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Seus elementos fundamentais são: índice, radical, radicando e raiz.
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A raiz quadrada de um número a é representada por √a.
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Pode ser exata ou não exata.
Videoaula sobre raiz quadrada
A radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada.
Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81.
O que é raiz quadrada?
A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando.
Exemplos:
√4 = 2, pois 2² = 4
√9 = 3, pois 3² = 9
√16 = 4, pois 4² = 16
√25 = 5, pois 5² = 25
Como calcular a raiz quadrada?
Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata.
Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações.
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A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata.
Exemplo:
Calcule o valor da √324.
Resolução:
Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número:
Dessa forma, calcula-se:
√0 = 0
√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
√64 = 8
√81 = 9
√100 = 10
Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos.
Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado.
Exemplo:
Calcule o valor da √60.
Resolução:
Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64.
√49 < √60 < √64
Calculando as raízes de 49 e 64:
7 < √60 < 8
Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8.
7,9² = 62,41
7,8² = 60,84
7,7² = 59,29
Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8.
Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso.
Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada
Questão 1
(Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA.
A) 35
B) 24
C) 25
D) 17
E) 49
Resolução:
Alternativa C
Inicialmente, realizaremos a fatoração do número:
Dessa forma, temos:
√625 = √54
√625 = 5²
√625 = 25
Questão 2
Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir:
I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo.
II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20.
III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3.
As afirmativas são, respectivamente:
A) V, V e V.
B) F, F e F.
C) F, F e V.
D) F, V e F.
E) V, F e V.
Resolução:
Alternativa D
I → Falsa
A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo.
II → Verdadeira
Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30.
III → Falsa
3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6.
A raiz quadrada de um número é uma expressão algébrica positiva representada pelo símbolo ' √ ' e é escrita como √x ou x ½ . A raiz quadrada de 2 é um número irracional representado como √2 ou 2 ½ . É quando multiplicado por si mesmo, resultará no número 2. O valor desta expressão, ou seja, √2 é 1,414 ... Seu valor não pode ser determinado exatamente porque não pode ser representado como uma fração, ou seja, na forma de a / b onde aeb são números inteiros e tem um número infinito de decimais.
O valor da raiz quadrada de 2 é amplamente usado em matemática como 1,414 porque contém um número infinito de decimais. Portanto, para facilitar os cálculos matemáticos, usamos apenas 3 dígitos após as casas decimais. Às vezes, 99/70 também é usado como um valor para Raiz quadrada de 2.
Computing Square Roots
A raiz quadrada de um número é o valor que, quando multiplicado por ele mesmo, resulta no número tomado como entrada. Para calcular a raiz quadrada, primeiro precisamos verificar se o número é um quadrado perfeito . Os quadrados perfeitos são os números, cujas raízes são números inteiros. Por exemplo, 4, 9, 25, 36, 49, etc. É mais fácil calcular a raiz quadrada de um número quadrado perfeito em comparação com um número quadrado não perfeito. Para calcular a raiz de um número não perfeito, precisamos aplicar a fórmula do método de divisão longa.
Como realizar o Método de Divisão Longa?
Para calcular a raiz quadrada de um número usando o método de divisão longa, siga as etapas abaixo:
Etapa 1: primeiro, precisamos dividir o número em grupos de dois, começando da direita para a esquerda.
Por exemplo: para calcular o valor de √132496, dividimos os dígitos em grupos como 13, 24 e 96.
Passo 2: Agora precisamos encontrar o número mais alto que, quando multiplicado por ele mesmo, resulta em um número menor ou igual ao primeiro par de dígitos.
Aqui, precisamos de um número que, quando multiplicado por ele mesmo, resulta no produto ≤ 13. Portanto, o maior número que pode ser selecionado é 3.
Etapa 3: agora calcule o restante e escreva o próximo par de dígitos próximo ao restante. Isso se tornará nosso dividendo para a próxima etapa.
Passo 4: Para criar o divisor, primeiro multiplicaremos o quociente por 2 e escreveremos o produto como o dígito da casa das dezenas do divisor. Para o local da unidade, realizaremos novamente a Etapa 2.
Etapa 5: Agora execute a Etapa 3 e a Etapa 4 novamente e, em seguida, repita a Etapa 2 para criar o divisor. Continue o mesmo até que o restante se torne zero.
O quociente formado será a raiz quadrada do número.
Como encontrar a raiz quadrada de 2?
É sempre mais fácil calcular a raiz quadrada de quadrados perfeitos, mas para calcular a raiz quadrada de um quadrado não perfeito, precisamos executar o método de divisão longa. Para calcular a raiz quadrada de 2, precisamos seguir as etapas abaixo:
Etapa 1: escreva 2 como 2.000000 para facilitar a divisão
Passo 2: Agora procure o quadrado perfeito menor que 2, ou seja, 1 e divida o número com ele.
Passo 3: Agora, o quociente e o resto são 1. Colocaremos um decimal no quociente e baixaremos o par de zeros para posterior divisão.
Passo 4: Agora some o quociente com o divisor existente, ele se tornará o dígito na casa das dezenas para o próximo divisor.
Etapa 5: para a casa das unidades, precisamos encontrar um valor que pode ser colocado na casa da unidade do quociente e do divisor de forma que o novo divisor, quando multiplicado pelo dígito da unidade do quociente, resulte no maior número menor que o restante.
Agora. abaixe o próximo par de zeros e repita os passos 4 e 5. Isso pode ser feito para infinitos passos, pois o valor exato da raiz quadrada de 2 sobe para infinitas casas decimais. Podemos calcular o resultado com até 4 casas decimais, pois isso pode ser usado para aprox. valor da raiz quadrada.