Estudando o sinal de uma função quadrática
O que significa estudar o sinal de uma função?
Significa avaliar quando a função possui valores positivos ou negativos.
- Uma função possui valor positivo quando a coordenada y de seus pontos é positiva. Ou seja, quando seu gráfico está acima do eixo x.
- Uma função possui valor negativo quando a coordenada y de seus pontos é negativa. Ou seja, quando seu gráfico está abaixo do eixo x.
Aqui, nos preocuparemos em avaliar o sinal de uma função do segundo grau, do tipo f(x) = ax² + bx + c, cujo formato do gráfico é o de uma parábola.
Para avaliar o valor de uma função, precisamos somente do esboço do seu gráfico, considerando suas raízes, o eixo x e o sinal do coeficiente a.
Observe os exemplos abaixo:
Exemplo 1: Estudo do sinal da função f(x) = 2x² - 6x - 8.
- Calculando as raízes da função para descobrir em que momentos a parábola intercepta o eixo x (usando Bhaskara ou Soma e Produto).
2x² - 6x - 8 = 0 → x' = 4 e x'' = -1.
- O coeficiente a da função é positivo (o a é igual a 2). Logo, a concavidade da parábola está para cima.
Com essas informações, temos o seguinte esboço:
Estudo do sinal da função:
- f(x) > 0 quando x ∈ (-∞; -1) U (4; +∞)
- f(x) < 0 quando x ∈ (-1; 4)
Exemplo 2: Estudo do sinal da função g(x) = -2x² + 6x + 8.
Calculando as raízes da função para descobrir em que momentos a parábola intercepta o eixo x (usando Bhaskara ou Soma e Produto).
-2x² + 6x + 8 = 0 → x' = 4 e x'' = -1.
O coeficiente a da função é negativo (o a é igual a -2). Logo, a concavidade da parábola está para baixo.
Com essas informações, temos o seguinte esboço:
Estudo do sinal da função:
- f(x) > 0 quando x ∈ (-1; 4)
- f(x) < 0 quando x ∈ (-∞; -1) U (4; +∞)
Problemas de máximos e mínimos
Toda parábola tem um ponto de máximo ou de mínimo. No exemplo da função f(x) = 2x² - 6x - 8, visto anteriormente, perceba que ela possui uma ponto de mínimo. Já no exemplo da função g(x) = -2x² + 6x + 8, a função tem um ponto de máximo.
O pontos de máximo e mínimo também são chamados de vértice da parábola, tendo coordenadas Xv e Yv. Observe um exemplo:
Existem fórmulas para determinarmos as coordenadas x e y do vértice. Sendo a função do tipo f(x) = ax² + bx + c, as coordenadas do vértice serão:
Onde ∆ = b² - 4ac.
Você está em Ensino médio > Função do 1º grau ▼ Estudar o sinal de qualquer função y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo. Considerando uma função afim y = f(x) = ax + b, vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz
1º) a > 0 (a função é crescente)
y > 0
y < 0
Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente)
y > 0
y < 0
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
Como referenciar: "Função do 1º grau" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 10/05/2022 às 01:32. Disponível na Internet em //www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1_3.php
No estudo do sinal da função afim, buscamos os intervalos nos quais a função possui certas características. Lembrando que os valores das funções dependem unicamente da sua variável e da sua lei de formação.
A forma geral de uma função do 1º grau dá-se da seguinte maneira:
Teremos duas situações a serem analisadas, quanto ao sinal dessa função.
a > 0: Função crescente.
Temos que o valor para x=r consiste na raiz da função, ou seja, no zero da função. Partindo desse zero podemos analisar os dois possíveis sinais de uma função (positivo e negativo).
Note no gráfico que:
Caso você não queira construir todo o gráfico, basta encontrar o zero da função e analisar o sinal da função na reta dos reais da variável x. Para isso, use o dispositivo prático, mostrado a seguir:
Note que os sinais (positivo e negativo) representam o valor da função naqueles intervalos (x>r e x<r).
a < 0: Função decrescente.
Na função decrescente, quanto maior for o valor de x, menor será o valor de y (ou f(x)), ou seja, o valor da função decresce conforme o valor da variável x aumenta. Sendo assim, a análise do sinal da função será diferente.
Vejamos a representação gráfica de uma função decrescente:
Analisando o gráfico, temos que:
Pelo dispositivo prático, temos:
Portanto, basta saber se a função é crescente ou decrescente, fato este determinado pelo sinal do coeficiente a, e depois determinar o zero da função. Com isso o estudo do sinal fica fácil.
Compreender esse estudo dos sinais é importante não apenas para as funções no geral, mas também para a determinação do conjunto solução das inequações.
Estudar o sinal de uma função é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é pelo gráfico, pois nos permite uma avaliação mais ampla da situação. Vamos analisar os gráficos das funções a seguir, de acordo com a sua lei de formação.
Observação: para construir o gráfico de uma função do 2º grau, precisamos determinar o número de raízes da função, e se a parábola possui concavidade voltada para cima ou para baixo.
∆ = 0, uma raiz real. ∆ > 0, duas raízes reais e distintas ∆ < 0, nenhuma raiz real.Para determinar o valor de ∆ e os valores das raízes, utilize o método de Bháskara:
Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo
1º Exemplo:
y = x² – 3x + 2 x² – 3x + 2 = 0 Aplicando Bháskara: ∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2 ∆ = 9 – 8∆ = 1
A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e ter duas raízes reais e distintas.
Análise do gráfico x < 1 ou x > 2, y > 0 Valores entre 1 e 2, y < 0 x = 1 e x = 2, y = 0
2º Exemplo:
y = x² + 8x + 16 x² + 8x + 16 = 0 Aplicando Bháskara: ∆ = 8² – 4 * 1 * 16 ∆ = 64 – 64∆ = 0
A parábola possui concavidade voltada para cima, em virtude de a > 0 e uma única raiz real.
Análise do gráfico: x = –4, y = 0 x ≠ –4, y > 0
3º Exemplo:
y = 3x² – 2x + 1 3x² – 2x + 1 = 0 Aplicando Bháskara: ∆ = (–2)² – 4 * 3 * 1 ∆ = 4 – 12 ∆ = – 8A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não possui raízes reais, pois ∆ < 0.
Análise do gráfico A função será positiva para qualquer valor real de x.
4º Exemplo:
y = – 2x² – 5x + 3 – 2x² – 5x + 3 = 0 Aplicando Bháskara: ∆ = (–5)² – 4 * (–2) * 3 ∆ = 25 + 24∆ = 49
A parábola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 e duas raízes reais e distintas.
Análise do gráfico: x < –3 ou x > 1/2, y < 0 Valores entre – 3 e 1/2, y > 0 x = –3 e x = 1/2, y = 0
5º Exemplo:
y = –x² + 12x – 36 –x² + 12x – 36 = 0 Aplicando Bháskara: ∆ = 12² – 4 * (–1) * (–36) ∆ = 144 – 144∆ = 0
A parábola possui concavidade voltada para baixo em decorrência de a < 0 e uma única raiz real.
Análise do gráfico: x = 6, y = 0 x ≠ 6, y < 0
Por Marcos Noé Graduado em Matemática
Função de 2º Grau - Funções - Matemática - Brasil Escola