Progressão geométrica é uma sequência onde, a partir do, 2º termo, todo termo é igual ao anterior vezes um número fixo.
Esse número fico é chamado de razão "q".
Termo Geral
O termo geral de uma P.G. é dado por:
aₙ = a₁ ⋅ qn – 1
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Pela definição, os termos de uma progressão geométrica são:
a₁ = a₁
a₂ = a₁ ⋅ q
a₃ = a₂ ⋅ q = a₁ ⋅ q ⋅ q = a₁ ⋅ q2
a₄ = a₃ ⋅ q = a₁ ⋅ q2 ⋅ q = a₁ ⋅ q3
a₅ = a₄ ⋅ q = a₁ ⋅ q3 ⋅ q = a₁ ⋅ q4 Assim:
aₙ = an – 1 ⋅ q = a₁ ⋅ qn – 2 ⋅ q = a₁ ⋅ qn – 1
Obtenção da razão A razão é igual ao quociente entre dois termos subsequentes quaisquer:
q =
Classificação Se q < 0 a P.G. é oscilante. Se q = 1 a P.G. é constante. Se 0 < q < 1 e os termos positivos, ou, se q > 1 e os termos negativos, a P.G. é decrescente. Se 0 < q < 1 e os termos negativos, ou,
se q > 1 e os termos positivos, a P.G. é crescente.
Propriedades de uma P.G. finita
P1) A produto de dois termos equidistantes dos extremos, é igual ao produto dos extremos.
Exemplo:
Numa P.G. de 10 termos:a₂ ⋅ a₉ = a₃ ⋅ a₈ = a₄ ⋅ a₇ = a₅ ⋅ a₆ = a₁ ⋅ a₁₀
Observação:
Caso tenha uma quantidade ímpar, por exemplo 5, tería-se:a₁ ⋅ a₅ = a₂ ⋅ a₄ = a₃ ⋅ a₃
P2) Qualquer termo é igual a média geométrica entre: o anterior e o posterior.Exemplo:
a₃ = √a₂ ⋅ a₄
Escolha de termos em P.G.
A melhor escolha de três elementos em P.G. é tal que: os termos fiquem dispostos em:
Soma dos "n" primeiros termos de uma P.G.
A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. com q ≠ 1 é:
Sₙ =
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Sₙ = a₁ + a₂ + . . . + aₙ ₋ ₁ + aₙ
q ⋅ Sₙ = q ⋅ a₁ + q ⋅ a₂ + . . . + q ⋅ aₙ ₋ ₁ + q ⋅ aₙ Subtraindo as duas equações tem-se:
Sₙ – q ⋅ Sₙ = (a₁ – q ⋅ a₁) + (a₂ – q ⋅ a₂) + . . . + (aₙ ₋ ₁ – q ⋅ aₙ ₋ ₁) + (aₙ – q ⋅ aₙ)
Sₙ – q ⋅ Sₙ = (a₁ – q ⋅ a₁) + (a₁ ⋅ q – q ⋅ a₁ ⋅ q) + . . . + (a₁ ⋅ qn – 2 – q ⋅ a₁ ⋅ qn – 2) + (a₁ ⋅ qn – 1 – q ⋅ a₁ ⋅ qn – 1)
Sₙ ⋅ (1 – q) = (a₁ – a₁ ⋅ q) + (a₁ ⋅ q – a₁ ⋅ q2) + . . . + (a₁ ⋅ qn – 2 – a₁ ⋅ qn – 1) + (a₁ ⋅ qn – 1 – a₁ ⋅ qn)
Sₙ ⋅ (1 – q) = a₁ – a₁ ⋅ q + a₁ ⋅ q – a₁ ⋅ q2 + . . . + a₁ ⋅ n – 2 – a₁ ⋅ qn – 1 + a₁ ⋅ qn – 1 – a₁ ⋅ qn
Sₙ ⋅ (1 – q) = a₁ – a₁ ⋅ qn (multiplicando por – 1)
Sₙ ⋅ (q – 1) = a₁ ⋅ qn – a₁
Sₙ ⋅ (q – 1) = a₁ ⋅ (qn – 1)
Portanto: A soma dos "n" primeiros termos de uma P.G. onde q ≠ 1 é:Sₙ =
Produto dos "n" primeiros termos de uma P.G.
O produto dos termos de uma P.G. é dado por:
Modo 1:
P = (a₁)n ⋅ q
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P = a₁ ⋅ a₂ ⋅ a₃ ⋅ . . . ⋅ aₙ ₋ ₂ ⋅ aₙ ₋ ₁ ⋅ aₙ
P = (a₁) ⋅ (a₁ ⋅ q) ⋅ (a₁ ⋅ q2) ⋅ . . . ⋅ (a₁ ⋅ qn – 3) ⋅ (a₁ ⋅ qn – 2) ⋅ (a₁ ⋅ qn – 1)
P = (a₁ ⋅ a₁ ⋅ qn – 1) ⋅ (a₁ ⋅ q ⋅ a₁ ⋅ qn – 2) ⋅ (a₁ ⋅ q2 ⋅ a₁ ⋅ qn – 3) ⋅ . . .
Agrupando o 1º e o último, o 2º e o penúltimo, o 3º e o antepenúltimo, etc.:P = (a₁2 ⋅ qn – 1) ⋅ (a₁2 ⋅ qn – 1) ⋅ (a₁2 ⋅ qn – 1) ⋅ . . .
Agrupados dois em dois terá a metade dos "n" elementos:P = (a₁2 ⋅ qn – 1)
P = (a₁2)
P = (a₁)n ⋅ q
Modo 2:
| P | =
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P = a₁ ⋅ a₂ ⋅ a₃ ⋅ . . . ⋅ aₙ ₋ ₂ ⋅ aₙ ₋ ₁ ⋅ aₙ
P = aₙ ⋅ aₙ ₋ ₁ ⋅ aₙ ₋ ₂ ⋅ . . . ⋅ a₃ ⋅ a₂ ⋅ a₁ Multiplicando as duas equações:
P ⋅ P = (a₁ ⋅ aₙ) ⋅ (a₂ ⋅ aₙ ₋ ₁) ⋅ (a₃ ⋅ aₙ ₋ ₂) ⋅ . . . ⋅ (aₙ ₋ ₂ ⋅ a₃) ⋅ (aₙ ₋ ₁ ⋅ a₂) ⋅ (aₙ ⋅ a₁)
P2 = (a₁ ⋅ aₙ) ⋅ (a₁ ⋅ aₙ) ⋅ . . . ⋅ (a₁ ⋅ aₙ) ⋅ (a₁ ⋅ aₙ)
P2 = (a₁ ⋅ aₙ)n
| P | =
Soma dos termos de uma P.G. infinita com q < 1
A soma de todos os termos de uma P.G. infinita de razão q < 1 é dada por:
S ∞ =
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A soma dos "n" primeiros termos da P.G. é dada por:
Sn =
qn tende a zero.
Daí:Sn =
S ∞ =
S ∞ =
S ∞ =
S ∞ =
S ∞ =
Exercícios Resolvidos
R01 — Escreva uma P.G. de quatro termos, dados a₂ = 6 e q = – 3.
Como a₂ = a₁ ⋅ q tem-se:
6 = a₁ ⋅ (– 3)
– 2 = a₁
a₃ = a₂ ⋅ q
a₃ = 6 ⋅ (– 3)
a₃ = – 18
a₄ = a₃ ⋅ q
a₄ = – 18 ⋅ (– 3)
a₄ = 54
Portanto, a P.G. é (– 2, 6, – 18, 54).
R02 — Encontre o 8° termo da sequência 2, – 6, 18, . . . , aₙ , . . .
Não foi dito se está em P.G., então primeiro deve-se testar, isto é:
verificar se:
aₙ = a₁ ⋅ qn – 1
a₈ = a₁ ⋅ q8 – 1
a₈ = a₁ ⋅ q7
a₈ = 2 ⋅ (– 3)7
a₈ = 2 ⋅ (– 2187)
a₈ = – 4374
Portanto, o oitavo termo é – 4374.
R03 — Numa P.G. tem-se a₁ = 3 e a₈ = 384. Calcule:
a) a razão b) o quarto termo
a) Como aₙ = a₁ ⋅ qn – 1
384 = 3 ⋅ q8 – 1
128 = q7
b) Como a₄ = a₁ ⋅ q3
a₄ = 3 ⋅ 23
a₄ = 3 ⋅ 8
a₄ = 24
Portanto, o quarto termo é 24.
R04 — Insira 4 meios geométricos entre 2 e 486, nesta ordem.
Neste caso a sequência é: 2, ___ , ___ , ___ , ___ , 486 Totalizando 6 termos em P.G. (4 meios geométricos mais os extremos)
aₙ = a₁ ⋅ qn – 1
486 = 2 ⋅ q6 – 1
243 = q5
a₂ = a₁ ⋅ q
a₂ = 2 ⋅ 3 = 6
a₃ = a₂ ⋅ q
a₃ = 6 ⋅ 3 = 18
a₄ = a₃ ⋅ q
a₄ = 18 ⋅ 3 = 54
a₅ = a₄ ⋅ q
a₅ = 54 ⋅ 3 = 162
a₆ = a₅ ⋅ q
a₆ = 162 ⋅ 3 = 486
Portanto, a sequência é: (2, 6, 18, 54, 162, 486)
R05 — Determine a sequência de três termos em P.G. sabendo que o, produto de seus elementos é 216, e que o primeiro,
é igual a nona parte do terceiro.
A escolha de três elementos em P.G. deve ser:
(
x3 = 216
x =
O primeiro é
9 ⋅
9 = q2
± √9 = q
± 3 = q Daí: q = 3 ou q = – 3 Para q = 3 tem-se:
a₁ =
a₂ = 6
a₃ = 6 ⋅ 3 = 18 Para q = – 3 tem-se:
a₁ =
a₂ = 6
a₃ = 6 ⋅ (– 3) = – 18
Assim os três elementos são: 2, 6, 18 ou – 2, 6, – 18.
R06 — Sabendo-se que x – 4, 2 x + 4 e 10 x – 4, são termos consecutivos de uma P.G.
Calcule x de modo que eles sejam positivos.
Se está em P.G. então:
(2x + 4)2 = 10 x2 – 40 x – 4 x + 16
4 x2 + 2 ⋅ 2 x ⋅ 4 + 16 = 102 – 44 x + 16
4 x2 + 16 x + 16 = 102 – 44 x + 16
4 x2 + 16 x + 16 – 102 + 44 x – 16 = 0
– 6 x2 + 60 x = 0 – 6 x (x – 10) = 0 – 6 x = 0 ou (x – 10) = 0 x = 0 ou x = 10 Se x = 0 a sequência é (– 4, 4, – 4) Não serve, pois os termos não são positivos. Se x = 10 a sequência é: (10 – 4, 2 ⋅ 10 + 4, 10 ⋅ 10 – 4) = (6, 24, 96)
Portanto, x = 10
R07 — Determine a posição ocupada pelo termo de valor 3072,
numa P.G. em que a₁ = 6 e r = 2.
aₙ = a₁ ⋅ qn – 1
3072 = 6 ⋅ 2n – 1
512 = 2n – 1
29 = 2n – 1 (equação exponencial) 9 = n – 1 9 + 1 = n 10 = n
Portanto, 3072 é o 10° termo.
R08 — Qual o primeiro termo da P.G. em que a₃ = 10 e a₆ = 80?
a₃ = a₁ ⋅ q2
10 = a₁ ⋅ q2
a₆ = a₁ ⋅ q5
80 = a₁ ⋅ q5
80 = (a₁ ⋅ q2) ⋅ q3
80 = 10 ⋅ q3
8 = q3
Como a₁ ⋅ q2 = 10 tem-se:
a₁ ⋅ 22 = 10
a₁ ⋅ 4 = 10
a₁ =
a₁ =
Portanto, o primeiro termo é
R09 — Se em uma P.G., a₃ + a₅ vale 90 e a₄ + a₆ vale 270, então a razão vale:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7
aₙ = a₁ ⋅ qn – 1
a₃ = a₁ ⋅ q2
a₅ = a₁ ⋅ q4
a₄ = a₁ ⋅ q3
a₆ = a₁ ⋅ q5
a₃ + a₅ = a₁ ⋅ q2 + a₁ ⋅ q4
90 = a₁ ⋅ q2 ⋅ (1 + q2) (I)
a₄ + a₆ = a₁ ⋅ q3 + a₁ ⋅ q5
270 = a₁ ⋅ q3 ⋅ (1 + q2)
270 = a₁ ⋅ q2 ⋅ q ⋅ (1 + q2) (II)
Dividindo (II) por (I) tem-se:
3 = qAlternativa "c".
R10 — Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. :
(– 8, 16, – 32, . . . , aₙ)
Calculando a razão:
q =
q =
Sₙ =
S10 =
S10 =
S10 =
S10 = – 8 ⋅ (– 341)
S10 = 2728
Portanto, o 10º termo é 2728.
R11 — Numa P.G. a soma é S8 = 1530 e a razão q = 2. Calcule o quinto termo.
Neste caso:
A razão é q = 2, n = 8 e S8 = 1530
Sₙ =
1530 =
1530 =
1530 = a₁ ⋅ 255
6 = a₁
Logo, o primeiro termo é a₁ = 6
a₅ = a₁ ⋅ 24
a₅ = 6 ⋅ 24
a₅ = 6 ⋅ 16
a₅ = 96
Portanto, o quinto termo é 96.
R12 — Calcule a soma: 8 + 16 + 32 + . . . + 32768.
A razão é:
q =
q =
aₙ = a₁ ⋅ qn – 1
32768 = 8 ⋅ 2n – 1
4096 = 2n – 1
212 = 2n – 1 (equação exponencial) 12 = n – 1 12 + 1 = n 13 = n Logo, n = 13
Sₙ =
S13 =
S13 =
S13 = 8 ⋅ 8191
S13 = 65528
R13 — Determine a soma dos termos da P.G. infinita (9, 3, 1, . . . ).
Encontrando a razão:
q =
q =
q =
S∞ =
S∞ =
S∞ =
S∞ = 9 ⋅
S∞ =
Exercícios Propostos
P01 — Encontre o 8° termo da sequência: (5, 10, 20, . . . )
P02 — Qual o primeiro termo da P.G. em que: a₃ = 24 e a₇ = 384?
P03 — Qual o primeiro termo da P.G. em que: a₃ = 12 e a₇ = 192?
P04 — Obtenha o valor de x sabendo que a sequência:
2 – x, 3, 8 x + 1 é uma P.G.
P05 — Determine o primeiro termo da P.G. em que:
a₈ = 4374 e a razão é q = 3.
P06 — A soma de três termos consecutivos de uma P.G. é 21 e o produto, 216.
Sabendo-se que a razão é um número inteiro, calcule esses números.
P07 — Quantos termos tem a P.G. (3, 6, 12, . . . , 3072)?
P08 — Insira sete meios geométricos entre 3 e 768.
P09 — Determine o valor de x para que:
( 2 x, 2 x + 9,
P10 — O preço de certa mercadoria aumenta anualmente em 100%. Se o preço atual é de R$ 100,00, daqui a três anos, o preço será:
a) R$ 300,00 b) R$ 400,00 c) R$ 600,00 d) R$ 800,00 e) n.d.a
P11 — Determine a posição ocupada pelo termo de valor 13122 na P.G. onde:
a1 = 2 e a razão é 3.
P12 — O número de termos da P.G. (
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
P13 — (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a₃ = 40 e a₆ = – 320. A soma dos oito primeiros termos é:
a) – 1700 b) – 850 c) 850 d) 1700 e) 750
P14 — Sabendo-se que a sucessão (x – 1, x + 2, 3 x, . . . ) é uma P.G. crescente.
Determine x.
P15 — Qual é o valor de x na P.G. (x – 40, x, x + 200)?
P16 — Qual o produto dos cinco primeiros termos da P.G. (2, 4, . . . )?
P17 — O produto dos 8 termos de uma P.G. é igual a 4096. Qual é o quinto termo?
P18 — O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se inicialmente existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas o número será:
a) 27 b) 28 c) 210 d) 212 e) 215
P19 — Qual é a soma dos termos da P.G. (1, 3, 9, . . . , 6561)?
P20 — Encontre a soma dos 9 primeiros termos da P.G. 4, 12, . . . , aₙ.
P21 — O sétimo termo de uma P.G. é igual a 1458 e o nono é igual a 13122.
Qual a soma dos 6 primeiros?
P22 — Quanto é a soma dos termos da P.G. em que o 1º termo é
P23 — A soma dos termos de uma P.G. infinita é 32 e o primeiro termo, 16.
Encontre a razão.
P24 — A soma dos termos de uma P.G. infinita é 8 e a razão é
P25 — O 1º membro da equação: x +
Calcule o valor de x.
P26 — Uma bola elástica cai de uma altura de 4 metros, e cada vez que bate no chão,
sobe metade do que caiu anteriormente. Qual o espaço percorrido por essa bola?
P27 — A soma dos termos de ordem ímpar de uma P.G. infinita é 81 e, a soma dos termos de ordem par é 27. O primeiro termo dessa progressão é:
a) 9 b) 18 c) 54 d) 72 e) 81
P28 — Resolva a equação: x +
P29 — O 1º termo e a soma dos termos de uma P.G. decrescente infinita são,
respectivamente, 4 e 12. Escreva essa P.G.
P30 — A soma dos termos de uma P.G. decrescente infinita é 128 e a razão é
Calcule o segundo termo.