Calcule quantos lados tem o polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é

Questão 3

Das alternativas a seguir, marque aquela que é incorreta.

A) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.

B) Todo polígono convexo possui diagonal.

C) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.

D) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que 180º.

E) O pentágono possui 5 diagonais.

Questão 11

Sobre o conceito de polígono convexo e não convexo, marque a alternativa correta.

A) Um polígono é convexo quando todos os seus lados e também os seus ângulos são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

B) Um polígono é convexo quando possui diagonais.

C) Um polígono é convexo quando, dados quaisquer dois pontos (A e B) pertencentes ao polígono, o segmento de reta AB também pertence ao polígono.

D) Um polígono é convexo quando a quantidade de diagonais é igual à quantidade de lados.

Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa B.

Utilizando a fórmula da diagonal, temos que d = n.

O polígono que possui 5 lados é o pentágono.

Resposta Questão 2

Alternativa E.

Sabemos que os divisores de 70 são:

D(70) = 1, 2, 5, 7,10,14, 35, 70.

Dos valores possíveis, o único que faz com que a equação seja verdadeira é n = 10, pois:

10 · (10 – 3 ) = 10 · 7 = 70

Resposta Questão 3

Alternativa B. O único polígono que não possui diagonal é o triângulo, o que torna a alternativa B a única incorreta.

Resposta Questão 4

Alternativa E. Esse polígono possui oito lados. Para calcular o valor de cada um dos ângulos, vamos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos.

Si = (n – 2) · 180

Si = ( 8 – 2) · 180

Si = 6 · 180

Si = 1080

Como o polígono é regular, todos os ângulos são congruentes, então a medida de cada um é igual a:

1.080 : 8 = 135º

Resposta Questão 5

Alternativa B.

Utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:

Si = ( n – 2 ) 180

720 = ( n – 2) 180

720 / 180 = n – 2

4 = n – 2

n = 4+2

n = 6

Resposta Questão 6

Alternativa D. A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360º, então, para descobrir o número de lados, faremos 360 : 20 = 18.

Como esse polígono possui 18 lados, então basta substituir na fórmula das diagonais.

Resposta Questão 7

Alternativa B.

Sabendo que a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180º, sejam a, b e c os ângulos internos do triângulo, então:

a + b + c = 180

Por proporção, temos que:

a = 3k

b = 5k

c = 7k

Assim sendo, podemos escrever que:

3k + 5k + 7k = 180

15k = 180

k = 180/ 15

k =12

O maior ângulo é 7k → 7 ·12 = 84.

Resposta Questão 8

Alternativa B.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.

3x – 45 + 2x + 10 + 2x + 15 + x + 20 = 360

8x – 10 = 360

8x = 360

x = 360 : 8

x = 45

O menor ângulo é 45 + 20 = 65º.

Resposta Questão 9

Alternativa C.

Analisando a figura, é possível perceber que ela possui 6 lados. Então, utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:

Si = ( n – 2 ) 180º

Si = (6 – 2 ) 180º

Si = 4 · 180º

Si = 720º

A medida de um ângulo é, portanto, 720 : 6 = 120º.

Resposta Questão 10

Alternativa D.

35 – 20 = 15

Resposta Questão 11

Alternativa C.

Resposta Questão 12

Alternativa E. Para ser regular, os ângulos e os lados têm que ser congruentes. Dos polígonos listados, o único que é regular é o quadrado, que possui lados e ângulos congruentes.

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo pode ser determinada conhecendo o número de lados (n), bastando subtrair este valor por dois (n - 2) e multiplicar por 180°.

Um polígono é uma superfície fechada formada por uma linha poligonal, ou seja, os lados são segmentos de reta, e o encontro entre dois lados forma um ângulo. No caso do polígono ser convexo, todos os ângulos internos são menores que 180°.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Para somar os ângulos internos de um polígono convexo ou conhecemos os valores de todos os ângulos e somamos, ou podemos determinar a soma conhecendo o número de lados deste polígono.

Conhecer o total de lados de um polígono é, em muitos casos, uma informação mais fácil de obter do que os valores de cada ângulo.

Fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono

Para determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo conhecendo apenas o número de lados, utilizamos a fórmula:

Onde,
Si é a soma, o total de graus de todos os ângulos.
n é o número de lados.

Exemplo
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é:

Como um quadrilátero possui 4 lados, n será igual a 4.

Soma dos ângulos internos de um polígono regular

A soma dos ângulos internos de um polígono regular é calculada da mesma forma. Um polígono é regular quando possui todos os lados e ângulos com medidas iguais. O número de ângulos é sempre igual o número de lados.

Ângulo interno de um polígono regular

Como todos os ângulos possuem mesma medida, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de ângulos, portanto, número de lados.

Onde,
Si é a soma, o total de graus de todos os ângulos.
n é o número de lados.

Exemplo
A medida dos ângulos internos de um pentágono regular é:

Primeiro determinamos a soma de seus ângulos internos usando n = 5.

Agora, basta dividir pelo número de lados.

Nome de polígonos em função dos lados

Nome de alguns polígonos em função da quantidade de lados.

Dedução da fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono

Partimos da premissa de que todo triângulo possui 180° como soma de seus ângulos internos.

A partir de um vértice qualquer de um polígono convexo, podemos traçar diagonais e formar triângulos.

Como a soma dos ângulos internos de cada triângulo é igual a 180°, basta multiplicar o número de triângulos formados por 180°.

Podemos observar que a quantidade de triângulos formados é sempre igual ao número de lados menos 2.

Para um triângulo, n =3.

Para um quadrilátero, n = 4.

Para um pentágono, n = 5.

Desta forma, podemos generalizar e substituir o termo nº de triângulos por (n-2) e a fórmula fica assim:

Aprenda mais sobre polígonos e ângulos.

Exercícios

Exercício 1

Determine a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com 17 lados.

Exercício 2

Qual o nome de um polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 1 440°?

Ver Resposta

Resposta: O polígono cuja soma dos ângulos internos é 1 440° se chama decágono, e possui 10 lados.

Exercício 3

Determine o valor dos ângulos internos de um octógono regular.

Ver Resposta

Resposta: Em octógono regular, cada ângulo interno mede 135º.

Primeiro devemos determinar a soma dos ângulos internos de um octógono. Como possui oito lados, n = 8.

Como o polígono é regular, todos os ângulos internos possuem a mesma medida e, basta dividir o total por 8.

Pratique mais exercícios sobre polígonos.

Veja também:

• Área e Perímetro
• Área dos Polígonos
• Polígonos regulares
• Hexágono
• Quadriláteros
• Paralelogramo

Professor de Matemática, licenciado e pós-graduado em ensino da Matemática e da Física. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

Quantos lados tem um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos?

Quantos lados tem um polígono que a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 1440?

Como calcular quantos lados tem um polígono convexo?

Qual a soma dos ângulos internos polígono convexo?