Determine os valores de m, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.

Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =x+\dfrac{1}{x}$.

Estude a função $f\left( x\right) =\sin x+\cos x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =x^{3}+3x^{2}+1$.

1. Dom$\left(  f\right)  =\mathbb{R}$
2. $f\left(  0\right)  =1$ e $f\left(  x\right)  =0$ se, e somente se, $\cos x=\sin x$ se, e somente se,
     $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ com $k\in\mathbb{Z}$
3. $f$ é periódica, com período $2\pi$
4. A função não possui assíntotas verticais (pois é contínua na reta) e tampouco horizontais (pois é periódica)
5. \begin{align*}
     f^{\prime}\left(  x\right)    & =-\sin x-\cos x=0\text{ se, e somente se,}\\
     \cos x  & =-\sin x\text{ se, e somente se, }x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\text{ com }k\in
     \mathbb{Z}\text{.}
     \end{align*}
     Considerando no período $\left[  0,2\pi\right]  $ temos que
     \begin{align*}
     f^{\prime}\left(  x\right)    & >0\text{ se }x\in\left(  \frac{3\pi}{4}
     ,\frac{7\pi}{4}\right)  \text{ (intervalo de crescimento)}\\
     f^{\prime}\left(  x\right)    & <0\text{ se }x\in\lbrack0,\frac{3\pi}{4}
     )\cup(\frac{7\pi}{4},2\pi]\text{ (intervalo de crescimento)}
     \end{align*}
6. Novamente considerando no período $\left[  0,2\pi\right]  $ temos que $\frac{3\pi}{4}$ é ponto de mínimo e $\frac{7\pi}{4}$ é ponto de máximo.
7. \begin{align*}
     f"\left(  x\right)    & =-\cos x+\sin x=0\text{ se, e somente se,}\\
     \cos x  & =\sin x\text{ se, e somente se, }x=\frac{\pi}{4}+k\pi\text{ com }k\in
     \mathbb{Z}\text{.}
     \end{align*}
     Considerando no período $\left[  0,2\pi\right]  $ temos que
     \begin{align*}
     f"\left(  x\right)    & >0\text{ se }x\in\left(  \frac{\pi}{4},\frac{5\pi}
     {4}\right)  \text{ (concavidade para cima)}\\
     f"\left(  x\right)    & <0\text{ se }x\in\lbrack0,\frac{\pi}{4})\cup
     (\frac{5\pi}{4},2\pi]\text{ (concavidade para baixo)}
     \end{align*}
8. Esboço do Gráfico:
   
   
   
   

Encontre $a$ e $b$ tais que a função $f(x)=x^3 +ax^2+b$ tenha um extremo relativo em $(2,4)$.

Se uma função racional $P(x)/Q(x)$ é tal que o grau do numerador excede o grau do denominador em $1$, então o gráfico de $P(x)/Q(x)$ terá uma assíntota oblíqua, isto é, uma assíntota que não é nem horizontal nem vertical. Para ver por quê, efetuamos a divisão de $P(x)$ por $Q(x)$ obtendo $$ \dfrac{P(x)}{Q(x)}= (ax+b) + \dfrac{R(x)}{Q(x)}, $$ onde $(ax+b)$ é o quociente e $R(x)$ é o resto. Use o fato de que o grau do resto $R(x)$ é menor do que o grau do divisor $Q(x)$ para auxiliá-lo a provar que $$ \lim_{x\to \infty}\left[\dfrac{P(x)}{Q(x)}-(ax+b)\right] = 0 \quad \text{e} $$ $$ \lim_{x\to -\infty}\left[\dfrac{P(x)}{Q(x)}-(ax+b)\right] = 0. $$ Este resultado nos diz que o gráfico da equação $\displaystyle y =P(x)/Q(x)$ "tende"  à reta $y=ax+b$ (assíntota oblíqua) quando $x\rightarrow +\infty$ ou $x\rightarrow -\infty$.

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo retângulo com catetos de comprimento $3$ e $4cm$, se dois lados do retângulo estiverem sobre o cateto.

Encontre, se existirem, o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função $f(x)= \sqrt[3]{x^3-x^2},$ no intervalo $[0,1].$

Estude a função  $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}-9x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Deixa-se cair de um balão um objeto de massa $m$. Se a força de resistência do ar é diretamente proporcional à velocidade $v(t)$ do objeto no instante $t$, então pode-se mostrar que $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k>0$ e $g$ é uma constante gravitacional. Determine $\lim\limits_{k \to 0^+}s(t)$.

Um funil de volume especificado deve ter a forma de um cone circular reto. Encontre a razão da altura pelo raio da base para que a quantidade de material empregado em sua fabricaçao seja a menor possível.

Um atleta percorreu as $26,2$ milhas da maratona de Nova York em $2,2$ horas. Demonstre que em pelo menos duas ocasiões o maratonista correu a exatas $11mi/h$, supondo que as velocidades inicial e final tenham sido zero.

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}}{x^{2}-1}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

O que se pode dizer sobre os pontos de inflexão de uma curva cúbica? Justifique.

Um retângulo tem sua base no eixo $x$ e seus dois vértices superiores na parábola $y=-x^2$. Qual é a maior área que esse retângulo pode ter? Quais são suas dimensões?

Você está planejando construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão de $8 \times 15 pol$ recortando quadrados congruentes dos vértices da folha e dobrando suas bordas para cima. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que você pode fazer dessa maneira? Qual é o volume?

Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio de definição, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.

Uma lata cilíndrica, sem tampa (mas com fundo), é feita para receber um volume de $900ml$ . Encontre as dimensoes que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

Ache os extremos da função $f(x)=x+3x^{3/2}$.

Um peso de massa $m$ é preso a uma bola suspensa a partir de um suporte. O peso é posto em movimento movendo-se o suporte para cima e para baixo de acordo com a fórmula $h=A \cos(\omega t)$, onde $A$ e $\omega$  são constantes positivas e $t$ é o tempo. Se as forças de atrito são desprezíveis, então o deslocamento $s$ do peso em relação à sua posição inicial no instante $t$ é dada por $s=\dfrac{A \omega^2}{\omega_0^2-\omega^2}(\cos(\omega t)-\cos(\omega_0 t))$ com $\omega_0=\sqrt{k/m}$ para uma constante $k$ e com $\omega \neq \omega_0$. Calcule $\lim\limits_{\omega \to \omega_0}s$ e mostre que as oscilações resultantes aumentam em magnitude.

Se uma quantia $P$ é aplicada à taxa de juros de $100r \%$ ao ano, composta $m$ vezes por ano, então o montante, ao cabo de $t$ anos, é dado por $P(1+rm^{-1})^{mt}$. Considerando $m$ como um número real e fazendo m crescer indefinidamente, diz-se que a taxa é composta continuamente. Mostre que, neste caso, o montante após $t$ anos é $Pe^{rt}$.

1. Dom$f=\left\{  x\in\mathbb{R}|x\neq\pm1\right\}  $

2. $f\left(  x\right)  =0$ se, e somente se, $x=0$

3. A função é par: $f\left(  -x\right)  =f\left(  x\right)  $

4. Usando L'Hopital ou colocando-se $x^{2}$ em evidêncai no numerador e
     denominador, obtemos que
     \[
     \lim_{x\rightarrow\infty}f\left(  x\right)  =\lim_{x\rightarrow-\infty
     }f\left(  x\right)  =2/3
     \]
     \begin{align*}
     \lim_{x\rightarrow-1^{+}}f\left(  x\right)    & =-\infty\\
     \lim_{x\rightarrow-1^{-}}f\left(  x\right)    & =\infty\\
     \lim_{x\rightarrow1^{+}}f\left(  x\right)    & =\infty\\
     \lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left(  x\right)    & =-\infty
     \end{align*}

5. \begin{align*}
     f^{\prime}\left(  x\right)    & =\frac{4x\left(  3x^{2}-3\right)
     -2x^{2}\left(  6x\right)  }{\left(  3x^{2}-3\right)  ^{2}}\\
     & =\frac{-12x}{\left(  3x^{2}-3\right)  ^{2}}
     \end{align*}
     logo a derivada é positiva se $x<0$ e negativa se $x>0$, ou seja $f$ é crescente para $x<0$ e decrescente para $x>0$
   

6. $x=0$ é ponto de máximo da função.

7. A função não tem pontos de inflexão pois $\pm1\notin
     Dom\left(  f\right)  $
     \begin{align*}
     f"\left(  x\right)    & =\frac{-12\left(  3x^{2}-3\right)  ^{2}+12x2\left(
     3x^{2}-3\right)  6x}{\left(  3x^{2}-3\right)  ^{4}}\\
     & =\frac{-12\left(  3x^{2}-3\right)  +12x2\cdot6x}{\left(  3x^{2}-3\right)
     ^{3}}\\
     & =\frac{-36x^{2}+36+12^{2}x^{2}}{\left(  3x^{2}-3\right)  ^{3}}\\
     & =\frac{-12x^{2}+12+48x^{2}}{\left(  x^{2}-1\right)  ^{3}}\\
     & =12\frac{3x^{2}+1}{\left(  x^{2}-1\right)  ^{3}}
     \end{align*}
     Observando que $3x^{2}+1>0,\forall x$, temos que $f"\left(  x\right)  >0$ se, e somente se,
     $x^{2}-1>0$ se, e somente se, $x>1$ ou $x<-1$ logo $f$ tem concavidade para cima se
     $x\in(-\infty,-1)\cup\left(  1,\infty\right)  $ e concavidade par baixo se
     $x\in\left(  -1,1\right)  $.

8. Esboço do Gráfico:
   

   

Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e, nos outros três lados, por uma cerca elétrica feita de um fio. Com $800 m$ de fio à disposição, qual é a maior área que você pode cercar e quais são suas dimensões?

Estude a função   $f\left( x\right) =xe^{-3x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Ache os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função $f(x)=x+3x^{2/3}$.

A altura de um corpo em movimento vertical é dada por
$s = -\frac{1}{2}gt^2+v_0t+s_0,\quad g>0$
com $s$ em metros e $t$ em segundos. Determine a altura máxima do corpo em função da velocidade inicial $v_0$, da aceleração da gravidade $g$ e da posição inicial $s_0$.

Um termômetro de mercúrio demorou $14s$ para subir de $-19° C$ para $100° C$ após ser retirado de um congelador e colocado em água fervendo. Considerando que, no termômetro em questão, a distância entre dois graus subsequentes é de $1mm$, demonstre que em algum instante a coluna de mercúrio subia a $8,5mm/s$.

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+1$.

Esboce neste mesmo gráfico a reta $y=2x+3$. Indique a região delimitada por esta reta e pelo gráfico de $f\left(x\right) $, para $2\leq x\leq 3$. Calcule a área desta região.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{e^x}{x^n}$.

$\infty$.

 Algumas curvas são tão planas que, na prática, o Método de Newton não consegue se aproximar da raiz suficientemente para fornecer uma aproximação útil. Tente utilizar o Método de Newton em $f(x)=\left(x-1\right)^{40}$ com a estimativa inicial $x_0=2$ para observar a qualidade das aproximações. Utilizando recursos computacionais, observe o gráfico da função.

Prove o seguinte resultado: Se $f$ tiver um mínimo absoluto em um intervalo aberto $(a,b)$, então ele precisa ocorrer em um ponto crítico de $f$.

Estude a função $f\left( x\right) =e^{\dfrac{x-1}{x^{2}}}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x}{1+\tan x},x\in \lbrack 0,\dfrac{\pi }{2})$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Estude a função $f\left( x\right) =e^{x}-e^{3x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Um fabricante de óleo deseja confeccionar latas cilindricas de volume igual a $1,5$ litro. Quais são as dimensões da lata para que o consumo de material seja o mínimo possível?

Esboce o gráfico completo da função $\displaystyle f(x)=x\tan x,\ -\pi/2<x<\pi/2$, e localize todos os extremos relativos e pontos de inflexão. Utilize um recurso computacional gráfico a fim verificar seu resultado.

Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo.

Estude a função  $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

O que se pode dizer sobre os pontos de inflexão de uma curva quadrática? Justifique.

Os pontos de inflexão são os pontos nos quais a curvatura de uma curva troca de sinal, portanto, está associado com trocas de sinal da segunda derivada da função associada à curva. Curvas quadráticas terão derivadas lineares e segundas derivadas constantes. Sendo assim, como a segunda derivada de uma curva quadrática nunca trocará de sinal, uma curva quadrática nunca apresentará pontos de inflexão

Use o método de Newton para calcular a raiz positiva de $x^2+x-1=0$ com duas casas decimais de precisão.

Determine $a$ para que a equação $x^{3}+3x^{2}-9x+a=0$ admita uma única raiz real.

Primeiramente, calculamos $f'(x)$ e $f''(x)$. Temos então

$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$

$f''(x)=6x+6$

Pela análise de sinal da segunda derivada, vemos que $f(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<-1$ e uma concavidade para cima para $x>-1$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que há um máximo local em $x=-3$ e um mínimo local em $x=1$. Assim, avaliando a função em $x=-3$ tem-se $f(-3) = 27+ a$. Qualquer valor de $a$ que torne $f(-3)<0$ garante que $f(x)$ terá apenas uma única raiz real. Finalmente, portanto, tem-se:

$a<-27$

Mostre que $|\cos x-\cos y|\leq |x-y|$ quaisquer que sejam $x$ e $y$ reais, enunciando os teoremas utilizados.

Mostre que um polinômio de terceiro grau $p\left( x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ($a\neq 0$) sempre possui uma raiz real. Ilustre através de contra-exemplo que isto não é válido para polinômios de grau par, ou seja, para todo $n=2k$ par, existem polinômios de grau $n$ que não possuem raiz real.

Suponha que, em uma aplicação do Método de Newton, o valor de $x_0$ escolhido coincidiu com uma raiz. Suponho que $f'(x_0)$ exista e não seja nula, o que acontecerá com $x_1$ e as aproximações subsequentes?

A média geométrica de dois números reais positivos $a$ e $b$ é definida como $\sqrt{ab}$. Prove que $\sqrt{ab}=\lim\limits_{x \to \infty}\left(\dfrac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)^x$.

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 7}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{7}}{\sqrt{x+7}-\sqrt{14}}$ usando uma estratégia algébrica simples e, em seguida, usando a regra de L'Hospital. Compare os resultados.

Para calcular as coordenadas espaciais de um planeta, temos de resolver equações do tipo $x=1+0,5\sin(x)$. O traçado da função $f(x)=x-1-0,5\sin(x)$ sugere que a função possui uma raiz próxima de $x=1,5$. Utilize uma iteração do Método de Newton para melhorar essa estimativa, com $x_0=1,5$.

Prove que a conclusão do Teorema do Valor Médio de Cauchy pode ser escrita da seguinte forma $$ \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(x)}{g'(x)}, $$ sob as hipóteses adicionais de que $g(b)\neq g(a)$ e que $f'(x)$ e $g'(x)$ nunca são simultaneamente nulas sobre $(a,b)$.

Se um corpo de peso $P$ é arrastado ao longo de um piso horizontal  por meio de uma força de grandeza $F$ e orientada segundo um  ângulo $\theta$ radianos com o plano do piso, então $F=\frac{kP}{k\sin \theta +\cos \theta}$, onde $k$ é  uma constante. Encontre $\cos \theta$, quando $F$ for mínimo.

Estude a função $f\left( x\right) =x\ln x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Jane está em um barco a $2 km$ da costa e deseja chegar a uma cidade litorânea, localizada $6 km$ ao longo de uma linha costeira retilínea desde o ponto (na costa) mais próximo do barco. Ela rema a $2 km/h$ e caminha a $5 km/h$. Em que ponto da costa ela deve aportar para chegar à cidade no menor tempo possível?

Prove que a equação $x^{3}-3x^{2}+6=0$ admite uma única raiz real, enquanto $x^{3}+x^{2}-5x+1=0$ admite $3$ raízes.

Para $f(x)=x^{3}-3x^{2}+6$ e $g(x)=x^{3}+x^{2}-5x+1$, queremos mostrar que $f(x)=0$ admite uma única raiz real enquanto $g(x)=0$ admite $3$ raízes.  Primeiramente, analisemos as raízes de $f(x)=0$. Temos:

$f'(x)= 3x^2-6x=x(x-2)$

$f''(x)=6(x-1)$

Portanto, a segunda derivada nos diz que $f(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<1$ e uma concavidade para cima para $x>1$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que $f(x)$  apresenta um máximo local em $x=0$ e um mínimo local em $x=2$. Como $f(2)=2$, temos que não há raiz alguma para $x>1$, dado que a função é uma concavidade para baixo neste intervalo. A única raiz real, portanto, é algum valor $x<1$. O conhecimento do máximo local em $x=0$ nos permite inclusive dizer que é algum valor $x<0$.

Repetiremos a análise para $g(x). Temos, portanto:

$g'(x)= 2x^2+2x-5=2(x+5/3)(x-1)$

$g''(x)=6(x+1/3)$

Portanto, a segunda derivada nos diz que $g(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<-1/3$ e uma concavidade para cima para $x>-1/3$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que $g(x)$ apresenta um máximo local em $x=-5/3$ e um mínimo local em $x=1$. Como $g(0)=1$ e $g(1)=-2$, sabemos que há duas raízes reais  de $g(x)$ no intervalo aberto $x>0$. Como $g(x)$ claramente tende para $-\infty$ para $x\rightarrow \infty$, o valor de $g(0)$ nos diz que a terceira raiz real está localizada no intervalo $x<0$. O conhecimento do máximo local em $x=-5/3$ nos permite inclusive dizer que é algum valor no intervalo aberto $x<-5/3$

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x+\cosh(x)}{x^2+1}$.

$\infty$.

Um fazendeiro planeja cercar um pasto retangular vizinho a um rio. O pasto deve conter $180000$ metros quadrados para fornecer grama suficiente para o rebanho. Quais as dimensões do pasto para gastar a quantidade mínima de cerca se não há necessidade de cerca ao longo do rio?

O número relativo de moléculas de gás em um recipiente que se movem a uma velocidade de $v$ $cm/s$ pode ser calculado por meio da distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann, $F(v)=cv^2e^{-mv^2/(2kT)}$, sendo que $T$ é a temperatura em Kelvins, $m$ é a molécula e  e $c$ e $k$ são constantes positivas. Mostre que o valor máximo de $F$ ocorre quando $v=\sqrt{2kT/m}$.

Esboce o gráfico da funçao $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =e^{2x}-e^{x}$.

Estime $\pi$ através da aplicação do Método de Newton na equação $tg(x)=0$. Qual cuidado deve ser tomado, neste caso, em relação à escolha do valor inicial?

Esboce o gráfico de $f(x)=x^3-x^2+1$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

Estude a função $f\left( x\right) =\sqrt{x^{2}-4}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Prove a seguinte generalização do Teorema do Valor Médio: Se $f$ é contínua e diferenciável sobre o intervalo $(a,b)$ e os limites $\displaystyle \lim_{y\to a^+}f(y)$ e $\displaystyle \lim_{y\to b^-}f(y)$ existem, então existe $x\in (a,b)$ tal que $$f'(x)=\dfrac{\displaystyle \lim_{y\to b^-}f(y)-\lim_{y\to a^+}f(y)}{b-a}.$$ (Sua prova deve começar mais ou menos assim: "Esta é uma conseqüência do Teorema do Valor Médio porque ...".)

Estude a função $f\left( x\right) =\sqrt[3]{x^{3}-x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x^{2}+1}$.

Em estatística, a função densidade de probabilidade para a distribuição normal é definida por $f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-z^2/2}$ com $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ para números reais $\mu$ e $\sigma>0$ ($\mu$ é a média e $\sigma^2$ é a variância da distribuição). Obtenha os extremos locais de $f$ e determine onde $f$ é crescente ou decrescente. Discuta a concavidade, ache os pontos de inflexão, determine $\lim\limits_{x \to \pm \infty}f(x)$ e esboce o gráfico de $f$.

Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =\dfrac{x^{2}-x+1}{2x-2}$, determinando o domínio, pontos de máximo e de mínimo, pontos de inflexão e assíntotas. Explicite o valor que a função assume nos pontos em questão. Justifique o seu raciocínio.

O modelo logístico de crescimento populacional prevê o tamanho $y(t)$ de uma população no instante $t$ por meio da fórmula $y(t)=\dfrac{k}{1+ce^{-rt}}$, onde $r$ e $k$ são constantes positivas e $c=\dfrac{k-y(0)}{y(0)}$. Os ecologistas denominam $k$ a capacidade de suporte e o interpretam como o número máximo de indivíduos que o ambiente pode sustentar. Calcule $\lim\limits_{t \to \pm \infty}y(t)$ e discuta o significado gráfico desses limites.

Esboce o gráfico de $f(x)=x^3-6x^2 +9x+1$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x \ln{x}}{x+\ln{x}}$.

$\infty$.

Esboce o gráfico de $f(x)=x^2\sqrt{4-x}$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

Encontre os valores máximo e mínimo da função $f\left(x\right)  =xe^{-x}$ no intervalo $\left[  -10,10\right]$.

$f^{\prime}\left(  x\right)  =e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}\left(  1-x\right)  $.

Como $e^{-x}>0$ temos que $f\left(  x\right)  =0$ se e somente se $1-x=0$, ou seja, se $x=1$.

Os pontos de máximo e mínimo devem ser pontos onde $f^{\prime}\left(  x\right)  =0$ ou os extremos do intervalo.

Avaliamos:

$f\left(  -10\right)     =-10e^{10}$

$f\left(  1\right)    =\frac{1}{e}$

$f\left(  10\right)     =\frac{10}{e^{10}}$

Como

$-10e^{10}<\frac{10}{e^{10}}<\frac{1}{e}$

temos que o valor máximo é $f\left(  1\right)  =\frac{1}{e}$ e o valor mínimo é $f\left(  -10\right)  =-10e^{10}$.

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =x+\dfrac{1}{x^{2}}$.

Temos, primeiramente:

$f'(x)=3x^2-4$

$f''(x)=6x-4$

É possível ver portanto que $f(x)$ tem dois pontos críticos: $x=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Como $f''(x)>0$ para $x>0$ e $f''(x)<0$ para $x<0$, $f(x)$ tem uma concavidade para baixo em $x=-\frac{2}{\sqrt{3}}$ e uma concavidade para cima em $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$. 

Temos que $f(0)=2$. Como na concavidade em $x=\frac{2}{\sqrt{3}}$ temos $f(x)<0$, sabemos que a primeira raiz está entre $0$ e $\frac{2}{\sqrt{3}}$. É fácil observar que $\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\infty$, o que nos mostra uma segunda raiz. Finalmente, como $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$, temos uma terceira raiz para algum valor $x<0$, provando então que a função em questão tem três raízes distintas.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x^n}{e^x}$.

$0$.

A velocidade, no tempo $t$, de um objeto de massa $m$ em queda é $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k$ é uma constante e $g$ denota a força da gravidade. Calcule $\lim\limits_{m \to \infty}v(t)$ e conclua que $v(t)$ é aproximadamente proporcional ao tempo $t$ se a massa é muito grande.

Seja $f(x)=(x^3+1)/x$. Mostre que o gráfico de $y=f(x)$ tende à curva $y=x^2$ "assintotamente" no sentido de que $$ \lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-x^2\right] = 0. $$ Esboce o gráfico de $y=f(x)$ mostrando o seu comportamento assintótico.

Sejam $f$ e $g$  funções contínuas em $[a,b]$ e diferenciáveis em $(a,b)$. Prove:  se $f(a)=g(a)$ e $f(b)=g(b)$, então há um ponto $c$ em $(a,b)$ onde $f'(c)=g'(c)$.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x-\cos(x)}{x}$.

$1$.

Estude a função  $f\left( x\right) =1-e^{-x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Uma caixa com base quadrada e sem tampa deve ser feita a partir de uma folha de metal, de forma que o seu volume seja de $500$ cm$^3$. Seja $S$ a área da superfície da caixa e $x$ o comprimento de um lado da base quadrada. Mostre que $\displaystyle S=x^2+2000/x$, para $x>0$, e esboce o gráfico de $S$ em função de $x$ para este caso.

Discuta as hipóteses necessárias para que se possa aplicar a Regra de L'Hospital.

Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\ln(tg{x}+\cos{x})}{\sqrt{\ln(x^2+1)}}$.

$1$.

Uma página impressa deve ter $24$ $cm^{2}$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1 cm$ nos lados. Discuta a existência das dimensões (e calcule quando existir) daquelas que tem área total máxima e área total mínima.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x \sin^{-1}(x)}{x- \sin(x)}$.

$-\infty$.

Um agricultor possui $140$ metros de cerca para construir dois currais: um deles quadrado eu outro retangular, com comprimento igual ao quádruplo da largura. Se a soma das áreas dos currais deve ser a menor possível, calcule a área do curral quadrado, apresentando todos os cálculos e/ou justificativas.

Dentre todos os retângulos de perímetro fixo $L$, determine aquele de maior área. Justifique a resposta.

A soma dos perímetros de um triângulo equilátero e de um quadrado é $10$. Ache as dimensões do triângulo e do quadrado que produzem a área total mínima.

Se uma função ímpar $f(x)$ possui um valor máximo local em $x=c$, pode-se dizer algo sobre o valor de $f$ quando $x=-c$?

Ela terá um mínimo local em $x=-c$. É uma questão de simetria de seu gráfico em relação à origem.

Mostre que a funçao $y(x)$ com $y(0)=0$ que é definida implicitamente pela equaçao $y-x^{2}+y^{3}+xy^{2}+x^{2}y=0$ tem um extremo relativo no ponto $x=0$. Identifique esse extremo.

Encontre os intervalos abertos nos quais $f(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2$ é crescente e os intervalos abertos nos quais é decrescente.

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x^{2}+1}$.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\ln{x}}{cotg{x}}$.

Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =e^{-x^{2}}$ explicitando domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexdão, assíntotas, máximos e mínimos locais e globais.

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{3x^{2}+4x}{1+x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Dentre todos os retângulos inscritos numa circunferência de raio $R$, quais as dimensões daquele que tem a maior área?

Demonstre a Regra de L'Hospital para a indeterminação da forma $\displaystyle\dfrac{0}{0}$.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{\ln({\sin(x)})}{\ln({\sin(2x)})}$.

1. Domínio: Dom$\left(  f\right)  =\left\{  x|x\neq1\right\}  =\left(  -\infty,1\right)  \cup\left(  1,\infty\right)  $

2. Zeros e inteceptos: $f\left(  x\right)  =0\iff2x-1=0\iff  x=1/2$

3. Simetrias: Não há.

4. Assíntotas:

   \begin{align*}
     \lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(  x\right)   &  =\lim_{x\rightarrow
     \pm\infty}\frac{2x-1}{x-1}\\
     &  =\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2-1/x}{1-1/x}=2
     \end{align*}
     \begin{align*}
     \lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left(  x\right)   &  =\lim_{x\rightarrow1^{-}}
     \frac{2x-1}{x-1}=-\infty\\
     \lim_{x\rightarrow1^{+}}f\left(  x\right)   &  =\lim_{x\rightarrow1^{-}}
     \frac{2x-1}{x-1}=+\infty
     \end{align*}

5. Intervalos de crescimento e decrescimento:

    \begin{align*}
     f^{\prime}\left(  x\right)   &  =\frac{2\left(  x-1\right)  -\left(
     2x-1\right)  \left(  1\right)  }{\left(  x-1\right)  ^{2}}\\
     &  =\frac{-1}{\left(  x-1\right)  ^{2}}<0,\forall x\in Dom\left(  f\right)
     \end{align*}

     ou seja, $f$ é estritamente decrescente.

6. Valores máximo e mínimo locais: Não há, pois a derivada não se anula

7. Concavidade e pontos de Inflexão:

   
     \[

     f"\left(  x\right)  =\frac{2}{\left(  x-1\right)  ^{3}}>0\iff x-1>0\iff x>1

     \]

     ou seja, $f$ tem concavidade para cima para $x>1$ e concavidade para baixo para $x<1$

8. Esboço do Gráfico:
   

   

Um fabricante de óleo deseja confeccionar latas cilindricas de volume igual a $1$ litro. Quais são as dimensões da lata para que o consumo de material seja o mínimo possível? Se a lata fosse esférica, o gasto de material seria maior ou menor que o gasto de material da lata cilíndrica que voce encontrou? E se a lata fosse cúbica?

Estude a função $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+3x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Sabemos que a troca de calor entre um objeto a uma temperatura $T$ e o ambiente a uma temperatura $T_{a}$ é proporcional a diferença $(T-T_{a})$. Como a variação de temperatura é proporcional a troca de calor, temos a seguinte equação diferencial $\frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T-T_{a}\right)$ para $T\left( t\right) $ (temperatura em função do tempo. A  constante $\alpha >0$ depende do calor específico e da condutividade térmica do objeto. Ache a soluçao dessa equação em função de $\alpha $ assumindo que a temperatura do ambiente $T_{a}=20^{o}C$ e a temperatura inicial $T_{0}=100^{o}C$. Qual é o limite $\lim_{t\rightarrow +\infty }T\left( t\right) $?

Uma página impressa deve ter $24cm^2$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1cm$ nos lados. Quais as dimensões da página de menor área que preenche essas condições?

Suponha que em qualquer instante $t$ (em segundos) a corrente $i$ (em amperes) em um circuito de corrente alternada é $i = 2\ cos\ t+2\ sin\ t$. Qual a corrente de pico (magnitude máxim para este circuito?

Se uma função par $f(x)$ possui um valor máximo local em $x=c$, pode-se dizer algo sobre o valor de $f$ quando $x=-c$?

Ela também terá um máximo local em $x=-c$. É uma questão de simetria de seu gráfico em relação ao eixo das ordenadas.

A função $f(x)=|x|$ tem valor mínimo absoluto quando $x=0$, mesmo que $f$ não seja derivável em $x=0$. Isto é consistente com o Teorema de Fermat sobre máximos e mínimos locais?

Uma grandeza física desconhecida é medida $n$ vezes, obtendo-se valores $x_1,x_2,\ldots,x_n$, cuja variação  depende de fatores imprevisíveis, tais como temperatura, pressão atmosférica etc. Desta forma, o cientista  enfrenta o problema de obter uma estimativa $\bar{x}$ de uma grandeza desconhecida $x$. Um método de se  obter estimativas está baseado no princípio dos mínimos quadrados, o qual estabelece que a estimativa $\bar{x}$  deve ser escolhida de forma a minimizar a função  $$ s= (x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots +(x_n-\bar{x})^2, $$que é a soma dos quadrados dos desvios entre a estimativa $\bar{x}$ e os valores medidos.  Mostre que a estimativa resultante do princípio dos mínimos quadrados é dada por  $$ \bar{x}= \dfrac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n), $$  ou seja, $\bar{x}$ é a média aritmética dos valores observados.

Um caminhoneiro estava em uma estrada cujo limite de velocidade era de $100km/h$. Ao passar no segundo pedágio, distante $120km$ do primeiro, o caminhoneiro recebeu uma multa, pois levou $30$ minutos para ir do primeiro ao segundo pedágio. Ele tentou contestar a multa, mas não obteve sucesso. Por que a multa foi justa?

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{2}}{x+1}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

1. Dom$\left(  f\right)  =\left\{  x\in\mathbb{R}|x\neq0\right\}  $

2. $f\left(  x\right)  \neq 0,\forall x$

3. A função não possui simetrias não triviais

4. $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{-x}}{x}=0,\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{e^{-x}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}-e^{-x}=-\infty$ (este por L'Hôpital), $\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{e^{-x}}{x}=-\infty$ e $\lim_{\times\rightarrow1^{+}}\frac{e^{-x}}{x}=+\infty$

5. \[
     f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{-e^{-x}x-e^{-x}}{x^{2}}=-e^{-x}\frac
     {x+1}{x^{2}}%
     \]
     e temos que
     \begin{align*}
     f^{\prime}\left(  x\right)    & >0\Leftrightarrow x<-1\\
     f^{\prime}\left(  x\right)    & <0\Leftrightarrow x>-1
     \end{align*}
     logo $f$ é crescente para $x<-1$ $\ $e decrescente para $x>-1$ (lembrando que $x\neq0$).

6. O único ponto crítico de $f$ é $x=-1$, o qual é ponto de máximo, pois a derivada passa de positiva a negativa.

7. \begin{align*}
     f"\left(  x\right)    & =\frac{\left(  e^{-x}x-e^{-x}+e^{-x}\right)
     x^{2}-\left(  -e^{-x}x-e^{-x}\right)  2x}{x^{4}}\\
     & =\frac{e^{-x}x^{3}+2e^{-x}x^{2}+2e^{-x}x}{x^{4}}\\
     & =\frac{e^{-x}}{x^{3}}\left(  x^{2}+2x+2\right)
     \end{align*}

     Como $e^{-x}$ e $x^{2}+2x+2$ são sempre positivos, temos que $f"\left(  x\right)  >0$ se $x>0$ e $f"\left(  x\right)  <0$ se $x<0$, ou
     seja, "concavidade para baixo" se $x<0$ e "concavidade para cima" se $x>0$

8. Esboço do Gráfico:
   
   

Um fabricante produzirá caixas fechadas (com tampa) de volume igual a $27$ litros e cuja base é um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Encontre as dimensões da caixa de forma que o consumo de material seja mínimo.

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da função  $f\left( x\right) =\left\{\begin{array}{cc} e^{-\dfrac{1}{x^{2}}} & \text{se }x\neq 0 \\ 0 & \text{se }x=0 \end{array} \right. $

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =x^{3}+x^{2}-5x$.