Quais as principais diferenças que você observou entre uma progressão aritmética é progressão geométrica?

Na matemática moderna, a teoria dos números é usada, que basicamente faz todas as operações em números, e o método mais básico de resolver sistemas numéricos decimais na teoria dos números é a aritmética. A aritmética lida com cálculos como adição, subtração, multiplicação, exponencial, etc. Existem sequências e progressões na teoria dos números que são basicamente números alinhados de uma maneira que oferecem uma certa relação. Vamos dar uma olhada no que são as progressões,

Progressão

A progressão pode ser definida como uma lista de números com um padrão específico. O próximo número em uma progressão pode ser calculado usando uma fórmula. A relação entre os números deve ser sempre a mesma e relevante. As progressões são usadas principalmente para identificar o enésimo termo na sequência. Com base no tipo de relação entre os números, as progressões são divididas em três tipos.

1. Progressão aritmética
2. Progressão geométrica 
3. Progressão Harmônica.

Neste artigo, vamos discutir as progressões aritméticas e geométricas. 

O que são progressão aritmética e progressão geométrica?

A progressão aritmética e geométrica vem sob o tópico de seqüência e série. A série / progressão aritmética é basicamente a progressão em que a diferença entre dois números consecutivos é sempre a mesma, conhecida como diferença comum, denotada por “d”. A progressão geométrica é aquela em que a razão de dois números consecutivos é sempre a mesma, assinalada por “r”. Vamos dar uma olhada mais aprofundada nisso,

Progressão Aritmética (AP)

A progressão aritmética pode ser definida como uma sequência de números em que dois termos consecutivos na série terão a mesma diferença comum ou uma sequência de números em que exatamente o mesmo número é adicionado a cada termo à medida que a progressão continua. Exemplo: 2, 4, 6, 8, 10 esta série está em progressão aritmética porque cada termo consecutivo é obtido adicionando algum número constante 2 ao termo anterior. 

Termos relacionados à progressão aritmética

Existem alguns termos principais relacionados à progressão aritmética que encontramos com frequência, eles são:

Primeiro termo (a) - O primeiro termo na progressão é representado como 'a'. O primeiro termo na progressão é usado para calcular o enésimo termo e a soma dos números na progressão. A progressão é representada como

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, ... n termos

Diferença comum (d) - A diferença comum é definida como a diferença entre dois termos consecutivos. Isso é representado como d e pode ser obtido como 

d = a 2 -a 1 = a 3 -a 2 = a 4 -a 3 =… .. = a n -a n-1 

n th prazo (um n ) - O termo enésimo é definido como o termo que vem no lugar de ordem n na sequência. É representado como um n obtido como

a n = a + (n-1) d

Onde,

a - Primeiro termo na progressão

n - número de termos

d - diferença comum 

Pergunta: Calcular 27 th termo da Aritmética Progressão 3, 7, 11, 15, 19, 23, ...?

Solução:

a = 3

diferença comum (d) = a 2 - a 1 = 7 - 3 = 4

Uma vez que, o enésimo termo na progressão é dado pela fórmula

a n = a + (n-1) d

aqui n = 27

a 27 = 3 + (27-1) (4)

a 27 = 3 + (26) (4)

a 27 = 107

Portanto, o 27º mandato na progressão é 107.

Soma dos primeiros n termos (S n ): A soma dos n termos é definida como a soma dos primeiros n elementos na progressão. É denotado por S n e pode ser obtido usando a fórmula,

S n = (n / 2) (2a + (n-1) d)

Onde,

a - Primeiro termo na progressão

n - número de termos

d - diferença comum 

Pergunta: Calcule a soma dos primeiros 100 termos na Progressão Aritmética 3, 7, 11, 15, 19, 23,….?

Solução: 

a = 3

diferença comum (d) = a 2 - a 1 = 7 - 3 = 4

Uma vez que, a soma dos primeiros n termos em uma progressão é dada pela fórmula 

S n = (n / 2) (2a + (n-1) d)

Aqui n = 100

S 100 = (100/2) (2 × 3 + (100-1) × 4)

S 100 = (50) (6 + 396)

S 100 = 20100

Portanto, a soma dos primeiros 100 termos na progressão dada é 20100

Progressão geométrica (GP)

A progressão geométrica é definida como uma sequência de termos em que dois consecutivos têm uma proporção comum. Nesta sequência, o próximo termo é obtido multiplicando um termo constante pelo termo anterior e o termo anterior pode ser obtido dividindo um termo constante no termo. Exemplo : 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458,… Esta sequência está em Progressão Geométrica com uma proporção constante de 3. Quando termos consecutivos são divididos, obtemos um termo constante 3 que é chamado de proporção comum.

Existem dois tipos de progressão geométrica, progressão finita e infinita,

Progressão geométrica finita: Este tipo de progressão tem um número finito de termos e o último termo é definido

Progressão Geométrica Infinita: Este tipo de Progressão Geométrica possui um número infinito de termos e o último termo não está definido.

Termos relacionados à progressão geométrica

Primeiro termo (a): O primeiro termo na progressão é representado como 'a'. O primeiro termo na progressão é usado para calcular o enésimo termo e a soma dos números na progressão. A progressão é representada como

a, ar, ar 2 , ar 3 ,…. n termos

Razão comum (r): A razão comum na progressão pode ser obtida dividindo-se quaisquer dois termos consecutivos na progressão. É representado por 'r' e pode ser positivo ou negativo.

Razão comum = (termo) / (termo anterior) = a 2 / a 1 = a 3 / a 2 = a n / a n-1

enésimo termo (a n ): o enésimo termo é definido como o termo que vem na enésima casa na sequência. É representado como obtido como

a n = ar n-1

Onde,

a - Primeiro termo

r - Razão comum

n - número de termos

Pergunta: Calcule o 16º termo na dada progressão geométrica 3, 9, 27, 81, ……… ..?

Solução: 

a = 3

Razão comum (r) = a 2 / a 1 = 9/3 = 3

Uma vez que, o enésimo termo na progressão geométrica é dado pela fórmula

a n = ar n-1

Aqui n = 16

a 16 = 3 × (3) 16-1

a 16 = 43.046.721

Portanto, o 16º termo na progressão é 43046721

4. Soma dos primeiros n termos (Sn): A soma dos n termos é definida como a soma dos primeiros n elementos na progressão. É denotado por Sn e pode ser obtido usando a fórmula,

Progressão geométrica finita:

S n = a (1-r n ) / (1-r) quando r <1

S n = a (r n -1) / (r-1) quando r> 1

Progressão geométrica infinita:

S n = a / (1-r), quando | r | <1

Onde,

a - Primeiro termo

r - Razão comum

n - número de termos

Exemplos de perguntas

Questão 1: Verifique se a sequência 5, 10, 15, 20, 25, 30,… está em Progressão Aritmética ou não?

Solução:

a = 5

Para verificar se a sequência dada está em Progressão Aritmética, a sequência deve seguir a condição,

a 2 - a 1 = a 3 -a 2

10-5 = 15-10

5 = 5

Visto que a condição é satisfeita, a sequência acima está em Progressão Aritmética.

Pergunta 2: Calcule o 20º termo da progressão aritmética 2, 6, 10, 14, 18, 22,….?

Solução: 

a = 2

diferença comum (d) = a 2 - a 1 = 6 - 2 = 4

Uma vez que, o enésimo termo na progressão é dado pela fórmula

a n = a + (n-1) d

aqui n = 20

a 20 = 2 + (20-1) (4)

a 20 = 2 + (19) (4)

a 20 = 78

Portanto, o 20º termo na progressão é 78.

Pergunta 3: Calcule o 10º termo na progressão geométrica dada 2, 8, 32, 128,….?

Solução: 

a = 2

Razão comum (r) = a 2 / a 1 = 8/2 = 4

Uma vez que, o enésimo termo na progressão geométrica é dado pela fórmula

a n = ar n-1

Aqui n = 10

a 10 = 2 × (4) 10-1

a 10 = 524288

Portanto, o 10º termo na progressão é 524288.

Questão 4: Verifique se a sequência 5, 20, 80, 320… .está em Progressão Geométrica ou não?

Solução:

a = 5

Para verificar se a sequência dada está em Progressão Geométrica, a sequência deve seguir a condição,

a 2 / a 1 = a 3 / a 2

20/5 = 80/20

4 = 4

Uma vez que a condição é satisfeita, a sequência acima está em Progressão Geométrica.

Questão 5: Calcule a soma dos primeiros 10 termos na Progressão Aritmética 2, 6, 10, 14, 18, 22,…?

Solução: 

a = 2

diferença comum (d) = a 2 - a 1 = 6 - 2 = 4

Uma vez que, a soma dos primeiros n termos em uma progressão é dada pela fórmula 

S n = (n / 2) (2a + (n-1) d)

Aqui n = 10

S 10 = (10/2) (2 * 2 + (10-1) * 4)

S 10 = (5) (4 + 36)

S 10 = 200

Portanto, a soma dos primeiros 10 termos na progressão dada é 200

Questão 6: Calcular a soma dos primeiros 5 termos na Progressão Geométrica 128, 32, 8, 2, ……… ..?

Solução: 

a = 128

Razão comum (r) = a 2 / a 1 = 32/128 = 1/4 = 0,25

Uma vez que a soma dos primeiros n termos em uma Progressão Geométrica Infinita é dada pela fórmula,

S n = a / (1-r), quando | r | <1

Aqui n = 5

S 5 = 128 / (1-0,25)

S 5 = 170,6

Portanto, a soma dos primeiros 5 termos na progressão dada é 170,6

Questão 7: Calcular a soma dos primeiros 7 termos na Progressão Geométrica 5, 20, 80, 320… 20480?

Solução: 

a = 5

Razão comum (r) = a 2 / a 1 = 20/5 = 4

Uma vez que, a soma dos primeiros n termos em uma Progressão Geométrica Finita é dada pela fórmula

Sn = a (r n -1) / (r-1) r> 1

Aqui n = 7

S 7 = (5) (4 7 -1) / (4-1)

S 7 = 27305

Portanto, a soma dos primeiros 7 termos na progressão dada é 27305

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