Na matemática moderna, a teoria dos números é usada, que basicamente faz todas as operações em números, e o método mais básico de resolver sistemas numéricos decimais na teoria dos números é a aritmética. A aritmética lida com cálculos como adição, subtração, multiplicação, exponencial, etc. Existem sequências e progressões na teoria dos números que são basicamente números alinhados de uma maneira que oferecem uma certa relação. Vamos dar uma olhada no que são as progressões,
Progressão
A progressão pode ser definida como uma lista de números com um padrão específico. O próximo número em uma progressão pode ser calculado usando uma fórmula. A relação entre os números deve ser sempre a mesma e relevante. As progressões são usadas principalmente para identificar o enésimo termo na sequência. Com base no tipo de relação entre os números, as progressões são divididas em três tipos.
- Progressão aritmética
- Progressão geométrica
- Progressão Harmônica.
Neste artigo, vamos discutir as progressões aritméticas e geométricas.
O que são progressão aritmética e progressão geométrica?
A progressão aritmética e geométrica vem sob o tópico de seqüência e série. A série / progressão aritmética é basicamente a progressão em que a diferença entre dois números consecutivos é sempre a mesma, conhecida como diferença comum, denotada por “d”. A progressão geométrica é aquela em que a razão de dois números consecutivos é sempre a mesma, assinalada por “r”. Vamos dar uma olhada mais aprofundada nisso,
Progressão Aritmética (AP)
A progressão aritmética pode ser definida como uma sequência de números em que dois termos consecutivos na série terão a mesma diferença comum ou uma sequência de números em que exatamente o mesmo número é adicionado a cada termo à medida que a progressão continua. Exemplo: 2, 4, 6, 8, 10 esta série está em progressão aritmética porque cada termo consecutivo é obtido adicionando algum número constante 2 ao termo anterior.
Termos relacionados à progressão aritmética
Existem alguns termos principais relacionados à progressão aritmética que encontramos com frequência, eles são:
Primeiro termo (a) - O primeiro termo na progressão é representado como 'a'. O primeiro termo na progressão é usado para calcular o enésimo termo e a soma dos números na progressão. A progressão é representada como
a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, ... n termos
Diferença comum (d) - A diferença comum é definida como a diferença entre dois termos consecutivos. Isso é representado como d e pode ser obtido como
d = a 2 -a 1 = a 3 -a 2 = a 4 -a 3 =… .. = a n -a n-1
n th prazo (um n ) - O termo enésimo é definido como o termo que vem no lugar de ordem n na sequência. É representado como um n obtido como
a n = a + (n-1) d
Onde,
a - Primeiro termo na progressão
n - número de termos
d - diferença comum
Pergunta: Calcular 27 th termo da Aritmética Progressão 3, 7, 11, 15, 19, 23, ...?
Solução:
a = 3
diferença comum (d) = a 2 - a 1 = 7 - 3 = 4
Uma vez que, o enésimo termo na progressão é dado pela fórmula
a n = a + (n-1) d
aqui n = 27
a 27 = 3 + (27-1) (4)
a 27 = 3 + (26) (4)
a 27 = 107
Portanto, o 27º mandato na progressão é 107.
Soma dos primeiros n termos (S n ): A soma dos n termos é definida como a soma dos primeiros n elementos na progressão. É denotado por S n e pode ser obtido usando a fórmula,
S n = (n / 2) (2a + (n-1) d)
Onde,
a - Primeiro termo na progressão
n - número de termos
d - diferença comum
Pergunta: Calcule a soma dos primeiros 100 termos na Progressão Aritmética 3, 7, 11, 15, 19, 23,….?
Solução:
a = 3
diferença comum (d) = a 2 - a 1 = 7 - 3 = 4
Uma vez que, a soma dos primeiros n termos em uma progressão é dada pela fórmula
S n = (n / 2) (2a + (n-1) d)
Aqui n = 100
S 100 = (100/2) (2 × 3 + (100-1) × 4)
S 100 = (50) (6 + 396)
S 100 = 20100
Portanto, a soma dos primeiros 100 termos na progressão dada é 20100
Progressão geométrica (GP)
A progressão geométrica é definida como uma sequência de termos em que dois consecutivos têm uma proporção comum. Nesta sequência, o próximo termo é obtido multiplicando um termo constante pelo termo anterior e o termo anterior pode ser obtido dividindo um termo constante no termo. Exemplo : 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458,… Esta sequência está em Progressão Geométrica com uma proporção constante de 3. Quando termos consecutivos são divididos, obtemos um termo constante 3 que é chamado de proporção comum.
Existem dois tipos de progressão geométrica, progressão finita e infinita,
Progressão geométrica finita: Este tipo de progressão tem um número finito de termos e o último termo é definido
Progressão Geométrica Infinita: Este tipo de Progressão Geométrica possui um número infinito de termos e o último termo não está definido.
Termos relacionados à progressão geométrica
Primeiro termo (a): O primeiro termo na progressão é representado como 'a'. O primeiro termo na progressão é usado para calcular o enésimo termo e a soma dos números na progressão. A progressão é representada como
a, ar, ar 2 , ar 3 ,…. n termos
Razão comum (r): A razão comum na progressão pode ser obtida dividindo-se quaisquer dois termos consecutivos na progressão. É representado por 'r' e pode ser positivo ou negativo.
Razão comum = (termo) / (termo anterior) = a 2 / a 1 = a 3 / a 2 = a n / a n-1
enésimo termo (a n ): o enésimo termo é definido como o termo que vem na enésima casa na sequência. É representado como obtido como
a n = ar n-1
Onde,
a - Primeiro termo
r - Razão comum
n - número de termos
Pergunta: Calcule o 16º termo na dada progressão geométrica 3, 9, 27, 81, ……… ..?
Solução:
a = 3
Razão comum (r) = a 2 / a 1 = 9/3 = 3
Uma vez que, o enésimo termo na progressão geométrica é dado pela fórmula
a n = ar n-1
Aqui n = 16
a 16 = 3 × (3) 16-1
a 16 = 43.046.721
Portanto, o 16º termo na progressão é 43046721
4. Soma dos primeiros n termos (Sn): A soma dos n termos é definida como a soma dos primeiros n elementos na progressão. É denotado por Sn e pode ser obtido usando a fórmula,
Progressão geométrica finita:
S n = a (1-r n ) / (1-r) quando r <1
S n = a (r n -1) / (r-1) quando r> 1
Progressão geométrica infinita:
S n = a / (1-r), quando | r | <1
Onde,
a - Primeiro termo
r - Razão comum
n - número de termos
Exemplos de perguntas
Questão 1: Verifique se a sequência 5, 10, 15, 20, 25, 30,… está em Progressão Aritmética ou não?
Solução:
a = 5
Para verificar se a sequência dada está em Progressão Aritmética, a sequência deve seguir a condição,
a 2 - a 1 = a 3 -a 2
10-5 = 15-10
5 = 5
Visto que a condição é satisfeita, a sequência acima está em Progressão Aritmética.
Pergunta 2: Calcule o 20º termo da progressão aritmética 2, 6, 10, 14, 18, 22,….?
Solução:
a = 2
diferença comum (d) = a 2 - a 1 = 6 - 2 = 4
Uma vez que, o enésimo termo na progressão é dado pela fórmula
a n = a + (n-1) d
aqui n = 20
a 20 = 2 + (20-1) (4)
a 20 = 2 + (19) (4)
a 20 = 78
Portanto, o 20º termo na progressão é 78.
Pergunta 3: Calcule o 10º termo na progressão geométrica dada 2, 8, 32, 128,….?
Solução:
a = 2
Razão comum (r) = a 2 / a 1 = 8/2 = 4
Uma vez que, o enésimo termo na progressão geométrica é dado pela fórmula
a n = ar n-1
Aqui n = 10
a 10 = 2 × (4) 10-1
a 10 = 524288
Portanto, o 10º termo na progressão é 524288.
Questão 4: Verifique se a sequência 5, 20, 80, 320… .está em Progressão Geométrica ou não?
Solução:
a = 5
Para verificar se a sequência dada está em Progressão Geométrica, a sequência deve seguir a condição,
a 2 / a 1 = a 3 / a 2
20/5 = 80/20
4 = 4
Uma vez que a condição é satisfeita, a sequência acima está em Progressão Geométrica.
Questão 5: Calcule a soma dos primeiros 10 termos na Progressão Aritmética 2, 6, 10, 14, 18, 22,…?
Solução:
a = 2
diferença comum (d) = a 2 - a 1 = 6 - 2 = 4
Uma vez que, a soma dos primeiros n termos em uma progressão é dada pela fórmula
S n = (n / 2) (2a + (n-1) d)
Aqui n = 10
S 10 = (10/2) (2 * 2 + (10-1) * 4)
S 10 = (5) (4 + 36)
S 10 = 200
Portanto, a soma dos primeiros 10 termos na progressão dada é 200
Questão 6: Calcular a soma dos primeiros 5 termos na Progressão Geométrica 128, 32, 8, 2, ……… ..?
Solução:
a = 128
Razão comum (r) = a 2 / a 1 = 32/128 = 1/4 = 0,25
Uma vez que a soma dos primeiros n termos em uma Progressão Geométrica Infinita é dada pela fórmula,
S n = a / (1-r), quando | r | <1
Aqui n = 5
S 5 = 128 / (1-0,25)
S 5 = 170,6
Portanto, a soma dos primeiros 5 termos na progressão dada é 170,6
Questão 7: Calcular a soma dos primeiros 7 termos na Progressão Geométrica 5, 20, 80, 320… 20480?
Solução:
a = 5
Razão comum (r) = a 2 / a 1 = 20/5 = 4
Uma vez que, a soma dos primeiros n termos em uma Progressão Geométrica Finita é dada pela fórmula
Sn = a (r n -1) / (r-1) r> 1
Aqui n = 7
S 7 = (5) (4 7 -1) / (4-1)
S 7 = 27305
Portanto, a soma dos primeiros 7 termos na progressão dada é 27305