Qual a diferença entre um sistema numérico posicional é um sistema numérico não posicional?

Introdução à Folha

O inventor Leaf criou um dispositivo para transmitir números. Seu dispositivo transmitia mensagens na forma de uma cadeia de sinais curtos e longos. Em suas anotações, Listik denotou um sinal curto com o número “0” e um longo com o número “1”. Ao transmitir números, ele usou o seguinte código para cada dígito:

O número 12, composto pelos números 1 e 2, Listik anotou para transmissão da seguinte forma:

O dispositivo transmitiu esta mensagem em uma cadeia de tais sinais: três curtos, um longo, dois curtos, um longo e um curto.

O número 77 de acordo com o sistema Listik foi codificado da seguinte forma:

Codificação é a transferência de informações em uma forma conveniente para transmissão ou armazenamento.

Por exemplo, os textos são codificados usando letras e sinais de pontuação. Ao mesmo tempo, o mesmo registro pode ser codificado de diferentes maneiras: em russo, em inglês, em chinês ...

Os números são codificados com dígitos. Os números com os quais estamos acostumados são chamados de arábicos. Às vezes, são usados ​​algarismos romanos. Nesse caso, a forma como as informações são codificadas muda. Por exemplo, 12 e XII são formas diferentes de escrever o mesmo número.

A música pode ser codificada usando sinais especiais - notas. Os sinais de trânsito são mensagens codificadas para motoristas e pedestres usando pictogramas.

Os produtos da loja são marcados com um código de barras que contém informações sobre o produto e seu fabricante.

Um código de barras é uma sequência de listras pretas e brancas que codifica as informações de uma forma fácil de ler por dispositivos técnicos. Além disso, um código na forma de uma série de números pode ser colocado sob o código de barras.

As informações são sempre armazenadas e transmitidas na forma de códigos. Você não pode armazenar apenas informações, sem um meio. Da mesma forma, não se pode simplesmente armazenar e transmitir a informação: ela sempre tem alguma forma, ou seja, é codificada.

A codificação binária é a codificação de informações usando zeros e uns. Para a informática, esta forma de apresentação da informação revelou-se muito conveniente.

O fato é que os computadores são construídos sobre elementos que podem estar em dois estados possíveis. Um desses estados é denotado pelo número 0, o outro pelo número 1.

Um exemplo de dispositivo binário é uma lâmpada elétrica convencional. Ele pode estar em um dos dois estados: ligado (estado 1) ou desligado (estado 0).

É possível construir uma memória elétrica em lâmpadas e armazenar nela, por exemplo, números usando o código binário do Leaf.

Quatro lâmpadas são necessárias para armazenar cada dígito decimal. É assim que você pode se lembrar do número 6:

Colocamos os interruptores na posição certa - e fomos tomar chá! Se a eletricidade não for desligada, as informações serão salvas.

Lâmpadas, é claro, não são adequadas para a produção de computadores: são grandes, queimam rapidamente, são caras (são milhões) e o ambiente é muito quente.

Nos computadores modernos, um dispositivo eletrônico - um transistor - é usado como elemento de memória.

O transistor pode passar corrente por si mesmo (estado 1) ou não (estado 0).

Houve um tempo em que cada transistor era feito separadamente e era significativo em tamanho.

Agora os transistores, como outros componentes eletrônicos, são feitos de maneira semelhante à impressão de fotos. Um microchip do tamanho de uma unha, vários milhões de transistores podem ser impressos.

O código que o Leaf codifica as mensagens é realmente usado para trabalhar com números em um computador.

Com a codificação binária, você não pode olhar para esta tabela, mas lembre-se de uma regra simples para converter um código binário em um dígito decimal.

A unidade no código em primeiro lugar à direita dá o número
lo 1, no segundo - 2, no terceiro - 4, no quarto - 8. Para obter um dígito decimal, os números são adicionados. Por exemplo, o código “0101” é traduzido para o número 5 (a soma dos números 4 e 1).

A mesma regra pode ser usada para decodificação. Por exemplo, o número 6 é escrito como a soma dos números 4 e 2, o que significa que seu código será “0110”.

Um tablet com números escritos no sistema numérico usado na antiga Babilônia. Aproximadamente 1700 aC Decifrado em 1945

A lição anterior mostrou como escrever números usando zeros e uns. Codificações de folha cada dígito numero quatro binário sinais.

Assim, o número 102 é escrito com o código Leaf usando 12 caracteres binários:

Codificações de folha separadamente cada um dos 10 dígitos e usa 4 dígitos binários para isso. Mas quatro caracteres binários podem codificar não 10, mas 16 valores:

Acontece que 6 códigos Leaf (que é mais da metade de 10) são desperdiçados!

É possível codificar de forma mais econômica?

É possível se você codificar não números(a partir do qual o número é coletado), e imediatamente números! Portanto, o número 102, com este método de codificação, pode ser escrito não com doze, mas apenas com sete caracteres binários (salvamos 5 dígitos):

Essa codificação será abordada neste tutorial. Mas vamos começar em ordem.

Como você sabe, os números são construídos a partir de dígitos e existem apenas dez dígitos, aqui estão eles:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Como, então, com a ajuda de apenas dez dígitos, escrever números grandes? Veremos isso agora, mas primeiro lembre-se da definição:

A forma como os números são escritos é chamada sistema numérico.

palavra aprendida acerto de contas, consoante com a palavra "cálculo", já significa "uma forma de escrever números". Mas parecia aos matemáticos que a frase notação soa melhor. Nada, também vamos dominar este termo de duas palavras! Agora vamos dar uma olhada nisso sistema numérico a que estão acostumados.

Observe o número 253. Nesta entrada, o primeiro número da direita (chamado dígito baixo) significa “três unidades”, cinco significa “cinco dezenas” e dois ( dígito mais alto) - "duzentos".

Acontece: 253 = 2 100 + 5 10 + 3 1.

Nós estamos falando: "duzentos e cinquenta e três". Isso significa o número que é obtido por adição:

duzentos (2 100 = duzentos),

cinco dezenas (5 10 = cinquenta) e

três unidades (3 1 = três).

Vemos que o valor de um dígito em uma entrada numérica depende de posições em que o dígito está localizado. As posições dos números são chamadas de forma diferente descargas números.

O dígito inferior significa unidades:

O segundo dígito da direita significa dezenas:

O terceiro dígito da direita significa centenas:

Vemos que a contribuição de um dígito para um número aumenta da direita para a esquerda.

Sistemas numéricos nos quais a contribuição de um dígito para um número depende posições os números no registro são chamados sistemas numéricos posicionais.

O sistema numérico que nos é familiar é posicional, como vimos. Observe que em baseé atribuído o número 10 - o número de dígitos usados.

O dígito inferior mostra o número de unidades no número, o segundo da direita - o número de dezenas (1 10). O terceiro - mostra centenas (10 10), o quarto - milhares (10 100) e assim por diante.

Contamos por unidades, unidades são adicionadas às dezenas (dez unidades são substituídas por uma dezenas), dezenas são adicionadas às centenas (dez dezenas são substituídas por cem) e assim por diante.

O número 10 é a base do sistema numérico usual, por isso é chamado sistema decimal, ou o sistema numérico de acordo com Fundação 10.

Veja novamente como a entrada 2789 se traduz em um número.

O número é obtido somando-se depósitos os números nele incluídos:

A contribuição de cada dígito é obtida pela multiplicação desse dígito por um multiplicador que depende da posição e está associado à base do sistema.

Os multiplicadores de posição são calculados de acordo com a seguinte regra:

1. O multiplicador da primeira posição (direita) é igual a 1 .

2. O multiplicador de cada posição seguinte é obtido pela multiplicação da base do sistema (número 10 ) pelo multiplicador da posição anterior.

Os multiplicadores de posição serão chamados pesos de posição, ou escalas posicionais.

O número é igual à soma dos depósitos. A contribuição é igual ao produto do dígito pelo peso posicional. O peso da primeira posição é 1, a segunda é 10, a terceira é 100 e assim por diante. Ou seja, o peso de cada posição (exceto a primeira) é obtido a partir do peso da anterior multiplicando-se pela base do sistema. O peso da primeira posição é igual a um.

É assim: eles se multiplicaram, somaram e não desconfiaram! Acontece que escrevemos números em sistema de numeração posicional base dez! Por que a base do nosso sistema é igual a 10? Bem, isso é compreensível: afinal, temos 10 dedos, é conveniente contar dobrando-os em ordem.

Mas para um computador, como você já sabe, o sistema binário é mais familiar, ou seja, sistema de numeração posicional base dois.

Existem apenas dois dígitos no sistema numérico binário:

Se no sistema decimal os pesos de posição são obtidos multiplicando por dez, então no sistema binário - multiplicando por dois:

Acontece: 1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 .

No sistema binário, eles contam como unidades, unidades somam dois (duas unidades são substituídas por um dois), dois são adicionados a quatros (dois dois são substituídos por um quatro) e assim por diante.

Quando você precisa esclarecer em qual sistema um número está escrito, a base do sistema é atribuída a ele abaixo:

1011 2 - o número é escrito no sistema binário.

Não é difícil convertê-lo para o sistema decimal, você só precisa realizar operações de multiplicação e adição:

1011 2 = 1 2 · 4 + 0· 2 · 2 + 1 2 · 1 + 1 1 =

1 8 + 0 4 + 1 2 + 1 1 = 11 10 .

No sistema binário, a contribuição de um em primeiro lugar da direita é o número 1, no segundo - 2, no terceiro - 4, no quarto - 8 e assim por diante. As contribuições dos zeros são, obviamente, iguais a zero, independentemente de suas posições.

Obtemos a seguinte regra:

Para converter de binário para decimal, você precisa anotar o peso de sua posição sobre cada dígito binário e adicionar os números escritos sobre as unidades.

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10 .

Outro exemplo, o número 100110:

100110 2 = 32 + 4 + 2 = 38 10 .

Para converter de decimal para binário, usaremos o esquema anterior com pesos de posição:

Seja necessário converter para o sistema binário o número 26. Selecionamos o início do número binário (dígito mais alto) de acordo com o esquema. 32 é muito, então começamos com 16:

Parte do número original, ou seja, 16, está codificado, resta codificar 26 - 16 = 10. Tomamos 8 (o maior dos pesos posicionais possíveis):

Resta codificar 10 - 8 = 2. Quatro é muito. Escrevemos na posição 0 e tomamos 2:

Codificamos o número inteiro, então o último dígito deve ser zero:

Acontece: 26 10 \u003d 11010 2.

A regra de conversão decimal para binário pode ser formulada da seguinte forma.

Para entender melhor esse algoritmo, trabalhe na bancada de testes. Clique no botão Redefinir, Disque o número. Em seguida, pressione o botão Começar: você verá como o Testador executa o algoritmo para converter um número em um sistema binário em etapas.

Atenção: no registro do algoritmo, o item que será executado é destacado depois pressionando um botão Começar. Por exemplo, se o item estiver destacado “Repita até o número chegar a zero”, depois de pressionar Começar O testador verificará o número atual para zero e decidirá se continua a repetição.

(Realize o testador na página do aplicativo eletrônico.)

Vasya adora o sistema decimal, seu computador adora binário, e matemáticos curiosos adoram sistemas numéricos posicionais diferentes, porque você pode tomar qualquer número como base, não apenas 2 ou 10.

Vamos pegar o sistema de numeração ternário como exemplo.

O sistema de numeração ternário usa, você adivinhou, três dígitos:

No sistema ternário, eles contam como unidades, unidades somam trigêmeos (três unidades são substituídas por um triplo), trigêmeos em noves (três trigêmeos são substituídos por um nove) e assim por diante.

Curiosamente, em 1958, sob a liderança de N.P. Brusentsov, o computador Setun foi criado na Universidade Estadual de Moscou, e funcionava com números não em binário, mas no sistema de numeração ternário! O primeiro protótipo do "Setun" é mostrado na foto:

Vamos designar as contribuições posicionais dos dígitos no sistema de numeração ternário no diagrama:

Para converter para o sistema decimal, somamos os números multiplicados por seus pesos posicionais (posições com zero dígitos, é claro, podem ser omitidas):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

No sistema binário, fizemos sem multiplicação (não faz sentido multiplicar por 1). Há um número 2 no sistema ternário, então você tem que dobrar os pesos posicionais correspondentes.

Seja necessário traduzir para o sistema ternário o número 196. Selecionamos o início do número ternário de acordo com o esquema. 243 é muito, então começamos com 81 e o número 2 (2 81< 196):

Parte do número original, ou seja, 162 = 2 81, está codificado, resta codificar 196 - 162 = 34. Tomamos 27 e o número 1 (o número 2 dá 54, que é demais):

Resta codificar 34 - 1 27 = 7. A posição com peso 9 dá muito, escrevemos 0 nela e pegamos uma posição com peso 3 e o número 2:

Resta codificar 7 - 2 3 = 1. Este é apenas o valor do dígito menor restante:

Acontece: 196 10 \u003d 21021 3.

Vamos formular as regras gerais para construir números em sistemas numéricos posicionais.

O número é escrito em números, por exemplo:

Para determinar o valor de um número, você precisa multiplicar os dígitos pelos pesos de suas posições e adicionar os resultados.

As posições são numeradas da direita para a esquerda. O peso da primeira posição é 1.

O peso de cada posição seguinte é obtido a partir do peso da anterior multiplicando pela base do sistema.

Acontece que o peso da segunda posição é sempre igual à base do sistema.

A base do sistema mostra o número de dígitos que é usado neste sistema. Portanto, em um sistema com base de 10 a dez dígitos, em um sistema com base de 5 a cinco dígitos.

Considere um exemplo. Se a entrada

significa um número no sistema com base 5, então é igual a

3242 5 = 3 125 + 2 25 + 4 5 + 2 1 = 447 10 .

A mesma notação na base 6 significa um número

3242 6 = 3 216 + 2 36 + 4 6 + 2 1 = 746 10 .

Os sistemas numéricos posicionais não apareceram imediatamente, os povos primitivos denotavam o número de alguns objetos por um número igual de outros (considerados seixos, paus, ossos).

Métodos de contagem mais convenientes também foram usados: entalhes em uma vara, traços em uma pedra, nós em uma corda.

Às vezes, as pessoas modernas também usam esse sistema numérico, marcando, por exemplo, o número de dias que passaram por entalhes.

Isso é um exemplo sistema de número de unidade não posicional: usado para contar 1 dígito (pedra, pau, osso, traço, nó...), e a contribuição deste dígito não depende de seu lugar (posição), é sempre igual a uma unidade.

É claro que usar sistemas numéricos posicionais é muito mais conveniente.

As operações em números no sistema posicional com qualquer base são realizadas da mesma maneira que no sistema decimal: são baseadas nas tabelas de adição e multiplicação dos dígitos dos sistemas numéricos correspondentes.

Seria estranho se em sistemas diferentes somar, subtrair, multiplicar e dividir tivesse que ser diferente! De fato, em todos os sistemas numéricos, os números são construídos da mesma maneira, o que significa que as ações sobre eles devem ser executadas da mesma maneira.

Vejamos alguns exemplos.

5 + 7 = 12. Escrevemos 2 no dígito menos significativo e adicionamos um ao próximo dígito.

Vamos construir uma tabela de adição octal:

De acordo com a tabela de adição 5 + 7 \u003d 14 8. Escrevemos 4 no dígito menos significativo e adicionamos um ao próximo dígito.

Tomamos 1 no segundo dígito e subtraímos 7 do número 15. Da mesma forma, no sistema octal:

Pegamos 1 no segundo dígito e subtraímos 7 do número 15 8 . De acordo com a tabela de adição na linha 7, encontramos o número 15. O número da coluna correspondente fornece o resultado da diferença - o número 6.

Isso provavelmente é conveniente para as aranhas usarem
sistema de numeração octal!

Multiplicação

2 7 = 14. Escrevemos 4 e 1 vai para a “mente” (adicione à próxima categoria). 4 7 \u003d 28. Escrevemos 9 (8 mais 1 da “mente”) e transferimos 2 para o próximo dígito.

Vamos construir uma tabela de multiplicação octal:

2 7 = 16 8 . Escrevemos 6 e 1 vai para a “mente” (adicione ao próximo dígito). 4 7 = 34 8 . Escrevemos 5 (4 mais 1 da “mente”) e transferimos 3 para o próximo dígito.

3 5< 17 < 4·5, поэтому первая цифра результата - 3. Из 17 вычитаем 5·3 = 15. К разности 2 приписываем цифру 5, получается 25. 25 = 5 ·5. Из 25 вычитаем 25=5·5, получается 0 - деление закончено.

Na tabela de multiplicação na linha 5 encontramos o número apropriado 17 8 = 5 3:

Isso significa que o primeiro dígito do resultado é 3. De 17 8 subtraímos 17 8 = 5 3. Atribuímos o último dígito 5 à diferença 0. 5 \u003d 5 1. Subtraia 5 de 5, resulta 0 - a divisão está concluída.

1. Defina o termo “sistema de numeração”.

2. Defina o termo “sistema de numeração posicional”.

3. Explique os princípios da construção de números no sistema de numeração decimal usando o exemplo do número 548.

4. O que é chamado de peso de posição? Informe o algoritmo para encontrar o peso da posição. Qual é o peso da terceira posição a partir da direita na representação decimal do número? E em binário? E em ternário?

5. O que se entende por quitação? Em que dígito está o número 5 no número decimal 1532?

6. O que é chamado de contribuição de uma figura? Qual é a contribuição do número 7 no número 1745 10 ? E a contribuição do número 4 no número 1432 5 ?

7. Defina o termo “base do sistema de numeração posicional”. Como a base do sistema está relacionada ao número de dígitos neste sistema? Quantos dígitos existem no sistema de numeração de 5 casas decimais? E em hexadecimal? E a base 25?

8. Onde está o dígito mais baixo na entrada do número? E o mais velho?

9. Informe o algoritmo para converter um número binário em um sistema de numeração decimal e execute este algoritmo para o número 101101 2.

10. Diga o algoritmo para converter um número decimal em um sistema numérico binário e execute este algoritmo para o número 50 10.

11. Como converter um número de qualquer sistema numérico posicional para um sistema decimal? Construa uma explicação usando o exemplo de um sistema com base 4.

Opção 1. Realizado sem computador, “no papel”

1. Leia trava-línguas, substituindo números binários por decimais:

2. Resolva quebra-cabeças de letras binárias:

3. Faça os cálculos e anote a resposta em notação decimal:

1) 100 2 5 8 =

2) 100 3 + 100 5 =

3) 10 9 10 100 – 10 900 =

4) 33 4 + 44 5 =

5) 15 6 + 51 8 =

4. Traduza os números fornecidos para os sistemas numéricos indicados:

1. Escreva uma expressão aritmética para resolver o seguinte problema e calcule a resposta:

Nossa esperta Malvina
Guardiões de Pinóquio
E comprei para ele
O que ele mais precisa:
10 2 tampas, 11 2 réguas
E adesivos por 111 2 rublos.
Nas capas - Barmaley,
O preço de cada um é 101 2 rublos.
Na linha que eu comprei
101010 2 rublos foi o suficiente.
Quanto custaram as compras?
Pensando por meio minuto.

2. Tente usar o programa padrão da Calculadora para converter os números de um poema em uma notação decimal familiar ( Visualizar- Engenharia, Caixa- representação binária de um número, dezembro- representação decimal de um número). Anote algoritmos para converter números usando a Calculadora de binário para decimal e vice-versa, de decimal para binário.

Opção 3. Para os curiosos

1. Prove que a entrada 10 em qualquer sistema de numeração posicional significa um número igual à base desse sistema.

2. Determine a base do sistema numérico posicional b para cada igualdade:

1) 10 b = 50 10 ;

2) 11 b = 6 10 ;

3) 100 b = 64 10 ;

4) 101 b = 26 10 ;

5) 50 b = 30 10 ;

6) 99 b = 909 10 ;

7) 21 b = 15 6 ;

8) 10 2 b = 100 b ;

9) 12 2 b = 22 b ;

10) 14 b· b = 104 b .

p ALINHAR="JUSTIFICAR">3. O sistema de numeração hexadecimal usa 16 dígitos. Os primeiros dez dígitos coincidem com os dígitos do sistema decimal, e os últimos são indicados pelas letras do alfabeto latino:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Vamos traduzir, por exemplo, o número A8 16 para o sistema decimal:

A8 16 = 10 16 + 8 1 = 168 10 .

Em cada tarefa, encontre o valor do número x:

1) 25 16 = x 10 ; 4) 170 10 = x 16 ;

2) AB 16 = x 10 ; 5) 2569 10 = x 16 ;

3) FD 16 = x 10 ; 6) 80 32 = x 16 .

4. Conclua as seguintes tarefas.

1) Encontre o peso da terceira posição na entrada numérica, se souber que o peso da segunda posição é 7. A numeração das posições é da direita para a esquerda.

2) O sistema numérico usa 5 dígitos. Encontre o peso da quarta posição da direita na entrada do número.

3) O número é escrito como duas unidades: 11. Em que sistema numérico ele é escrito se for 21 em decimal?

4) Em um determinado sistema numérico, o número se parece com 100. Quantos dígitos esse sistema numérico usa se o número for 2500 em decimal?

5) Dois números são escritos como 100, mas em sistemas com bases diferentes. Sabe-se que a base do primeiro sistema é o dobro da base do segundo. Qual número é maior e em quanto?

6) Encontre a base do sistema se for conhecido que o número 101 escrito neste sistema significa o número decimal 37.

7) Em que sistema numérico você precisa adicionar zero à direita de seu registro para dobrar um número?

8) Multiplicar por 10 em decimal significa adicionar zero à direita do número. Formule a regra para multiplicar por 10 b em um sistema com base b.

5. Formule um algoritmo para converter um número de decimal para sistema de numeração ternário.

6. Construir tabelas de adição e multiplicação para o sistema de numeração quaternário. Usando essas tabelas, execute as seguintes ações em números em uma coluna (permanecendo no sistema de numeração quaternário):

1. a) 1021 4 + 333 4 ;

b) 3333 4 + 3210 4 ;

2. a) 321 4 - 123 4 ;

b) 1000 4 - 323 4 ;

3. a) 13 4 12 4 ;

b) 302 4 23 4 ;

4. a) 1123 4:13 4 ;

b) 112003 4:101 4 .

7. Construir tabelas de adição e multiplicação para o sistema de numeração binário. Usando essas tabelas, execute as seguintes ações em números em uma coluna (permanecendo no sistema de numeração binário):

1. a) 1001 2 + 1010 2 ;

b) 101112 + 11102;

2. a) 1110 2 - 101 2 ;

b) 10000 2 - 111 2;

3. a) 101 2 11 2 ;

b) 1110 2 101 2 ;

4. a) 1000110 2:1012;

b) 100000100 2:1101 2 .

Nas páginas do aplicativo eletrônico, trabalhe com o Codificador performer.

Os exercícios contêm os seguintes grupos de tarefas:

1. De binário para decimal

2. De ternário para decimal

3. Do quinário ao decimal

4. Hex para Decimal

1. De decimal para binário

2. De decimal para ternário

3. De decimal para quinário

4. De decimal para hexadecimal

2. 1101 2 = ? 10

3. 11101 2 = ? 10

10. 1001 2 = ? 16

Material do professor

Sistemas de números posicionais

No sistema de numeração posicional, um número é escrito como uma sequência de caracteres especiais:

a n a n–1 ... uma 2 uma 1 (1)

Símbolos um eu chamado figuras. Eles denotam quantidades ordinais contáveis, começando de zero e descendo até o valor de um número a menos. q chamado base sistemas numéricos. Ou seja, se q- base, então os valores dos dígitos estão no intervalo (incluindo os limites).

A posição do dígito na notação do número (1) é chamada posição, ou descarga.

Nota 1. Nestas páginas, o termo “posição” é preferido. Em primeiro lugar, a palavra “posição” está em boa concordância com o conceito de “sistema numérico posicional” e, em segundo lugar, o termo “peso posicional” ou “peso posicional” soa melhor, mais claro e simples do que “peso dígito” ou “peso dígito”. ”. No entanto, o professor pode e deve lembrar aos alunos de tempos em tempos que "posição" e "classificação" são termos equivalentes.

Nota 2. A definição do sistema numérico posicional dada nos textos para o aluno não é totalmente precisa. A mera dependência da contribuição de um dígito na posição não é suficiente. Por exemplo, no sistema de numeração romano, a contribuição de um dígito também depende da posição (os números IV e VI são diferentes), mas esse sistema não é posicional. A definição exata pode ser considerada todo o conjunto de regras para a construção de um número, dado neste contexto para o professor (ou seja, junto com o fato da dependência posicional, a definição inclui: a finitude do conjunto de dígitos e a regra para encontrar um número pelo seu registro).

As posições são numeradas da direita para a esquerda. O número na primeira posição é chamado júnior dígito do número, no último - Senior.

Cada posição tem um número associado a ela, que chamaremos de seu peso ( peso da posição).

Os pesos de posição são determinados pela seguinte regra recursiva:

1. O peso da posição mais baixa é 1.

2. O peso de cada posição seguinte é obtido a partir do peso da anterior multiplicando pela base do sistema.

Deixe ser q- a base do sistema numérico. Então a regra para calcular pesos posicionais eu pode ser escrito de forma mais concisa como uma fórmula recursiva:

1. W 1 = 1.

2. eu = eu-1 · q(para todos eu > 1).

No sistema de numeração posicional, a notação

a n a n–1 ... uma 2 uma 1 (1)

significa número N, igual à soma dos produtos dos dígitos por seus pesos posicionais:

N= a· w n + a-1 · w n–1 + ... + uma 2 · W 2 + uma 1 · W 1 . (2)

O produto de um dígito e seu peso posicional (ou seja, um eu· eu) será chamado contribuição posicional do dígito.

A fórmula (2) é a base para as regras de transferência de números de um sistema para outro, propostas nos textos para o aluno.

No sistema de numeração decimal, os números são escritos usando dez caracteres arábicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Os pesos posicionais deste sistema são: ..., 1000, 100, 10, 1.

4627 10 = 4 1000 + 6 100 + 2 10 + 7 1.

No sistema de numeração binário, os números são escritos usando dois caracteres arábicos: 0 e 1. Os pesos posicionais deste sistema são: ..., 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Por exemplo, a entrada 10101 é “decodificada” da seguinte forma:

10101 2 = 1 16 + 0 8 + 1 4 + 0 2 + 1 1.

Observe que a regra recursiva para calcular pesos implica que eu = q eu–1 e, portanto, a notação (2) é equivalente à notação tradicional na forma de um polinômio de potência:

N= a· q n–1 + a-1 · q n–2 + ... + uma 2 · q + uma 1 . (3)

Vamos provar por indução. base de indução no eu= 1 é verificado diretamente: W 1 = q 0 = 1.

Hipótese de indução: seja a afirmação verdadeira para alguns n:

wn = q n–1 .

Vamos provar que vale para n + 1.
Ou seja, provamos a validade da igualdade:

w+1 = q n.

De fato, w n+1 = w n· q(de acordo com a determinação recursiva do peso da posição), e w n = q n–1 pela hipótese de indução. Acontece que:

w+1 = w n· q = q n-1 · q = q n.

Vamos provar que qualquer número pode ser representado na forma (1) (Teorema 1) de forma única (Teorema 2).

Teorema 1 (existência). Qualquer número m pode ser representado na forma (1) para qualquer q > 1.

Prova. Vamos provar por indução. Por m = 0
e m= 1 é fácil construir a representação desejada - são 0 e 1, respectivamente (para qualquer q> 1). Digamos que conseguimos representar o número m na forma (1). Vamos então encontrar uma representação para m+ 1. Para isso, basta transformar a soma

a q n–1 + a-1 · q n–2 + ... + uma 2 · q + uma 1 + 1 para formar (1).

Se um uma 1 < (q–1), então a representação desejada é obtida substituindo o dígito uma 1 em uma " 1 = uma 1 + 1.

Se um uma 1 = (q–1), obtemos a transferência da unidade para a próxima posição:

a q n F–1+ a-1 · q n–2 + ... + (uma 2 + 1) q + 0.

A seguir, argumentamos de forma semelhante. Se um uma 2 < (q–1), então a representação desejada é obtida substituindo o dígito uma 2 em uma " 2 = uma 2 + 1. Se uma 2 = (q-1), então uma Substituímos 2 por zero e movemos a unidade para a próxima posição.

Ou em algum eu < n terminaremos a construção, ou obteremos o recorde de 1000...0 - um e n zeros à direita. A prova está completa.

Vamos provar o lema antes do Teorema 2.

Lema. A contribuição de cada dígito diferente de zero no registro (1) excede a soma das contribuições dos dígitos localizados à sua direita.

a n a n–1 ... uma 2 uma 1 . (1)

Prova. Vamos provar que para qualquer n > 1:

a q n–1 > a-1 · q n–2 + ... + uma 2 · q+ uma 1 .

Números um eu encontram-se no intervalo , então é suficiente provar a desigualdade para o menor dígito diferente de zero no lado esquerdo e os dígitos máximos no lado direito:

q n–1 > ( q-1)· q n–2 + ... + (q-1)· q + (q–1).

No lado direito tiramos o multiplicador ( q-1) fora do suporte:

(q-1)· q n–2 + ... + (q-1)· q + (q–1) =

= (q-1)·( q n–2 + ... + q + 1).

A soma da progressão geométrica no último parêntese é calculada usando a fórmula bem conhecida:

(q-1)·( q n–2 + ... + q + 1) =

= (q-1)·( q n–1 –1)/(q–1) = q n–1 – 1.

Obtemos uma desigualdade óbvia que prova o lema:

q n–1 > q n–1 – 1.

Teorema 2 (unicidade). Um número na forma (1) é representado de forma única.

Prova. Segue-se do lema que os números que têm um número diferente de dígitos em sua notação (zeros insignificantes à esquerda não são levados em consideração) não podem ser iguais: um número com um grande número de dígitos é sempre maior. Portanto, só precisamos provar que se um eu não igual b eu para todos eu de 1 a n, então os registros

a n a n–1 ... uma 2 uma 1 (4)

b n b n–1 ... b 2 b 1 (5)

não pode representar o mesmo número.

Vejamos as entradas (4) e (5) da esquerda para a direita procurando por dígitos incompatíveis. Deixe estar a k e bk deixa para lá a k – bk = d.

No k-º lugar no recorde revelou uma diferença d· q-1 . Essa diferença deve ser compensada pelas contribuições das posições à direita. Mas isso é impossível, pois pelo lema a soma das contribuições das posições à direita é sempre menor que a contribuição da posição atual. O teorema foi provado.

Converter para decimal

Para converter números de um sistema básico q para o sistema decimal, você pode usar a fórmula (2) realizando multiplicações e adições nela.

N= a· w n + a-1 · w n–1 + ... + uma 2 · W 2 + uma 1 · W 1 (2)

Ao traduzir do sistema binário, apenas a adição está envolvida (porque você não pode multiplicar por 1). Assim, obtemos a regra de tradução formulada na Sala de Leitura:

Para converter de binário para decimal, você precisa anotar o peso de sua posição sobre cada dígito binário e adicionar os números escritos sobre as unidades.

Assim, por exemplo, para o número 10111 temos:

10111 2 = 16 + 4 + 2 + 1 = 23 10

A regra geral para a transferência de q-ary sistema para decimal soa assim:

Para transferir de q-ário em decimal, você precisa escrever o peso de sua posição sobre cada dígito e encontrar a soma dos produtos dos dígitos por seus pesos posicionais (ou seja, encontrar a soma das contribuições posicionais).

Assim, por exemplo, para o número 10212 3 temos:

Somamos os números multiplicados por seus pesos posicionais (posições com zero dígitos, é claro, podem ser omitidas):

10212 3 = 1 81 + 2 9 + 1 3 + 2 1 = 104 10 .

Transferir para q-ic

Para converter números de decimal para base q continuaremos a confiar na fórmula (2):

N= a· w n + a-1 · w n–1 + ... + uma 2 · W 2 + uma 1 · W 1 . (2)

Algoritmo de tradução.

I. Repita até que o número vá para zero:

1. Encontre a primeira posição à esquerda, cujo peso não seja maior que o número atual. Escreva o dígito máximo possível na posição, de modo que sua contribuição posicional (o produto do dígito pelo peso) não exceda o número atual.

2. Diminua o número atual pela contribuição da posição construída.

II. Nas posições não ocupadas pelas figuras construídas, escreva zeros.

Em cada posição, é tomado o dígito máximo possível, pois, segundo o lema, a contribuição deste dígito não pode ser compensada pelos dígitos localizados à direita. O algoritmo funcionará devido à existência comprovada (Teorema 1) e unicidade (Teorema 2) da representação numérica na forma (1).

Para um sistema binário, obtemos uma variante do algoritmo fornecida no material para o aluno.

Para converter para binário, você precisa construir um modelo com pesos de dígitos binários:

A tradução de números é realizada de acordo com o seguinte algoritmo:

I. Repita até que o número vá para zero:

1. Escreva 1 na primeira posição à esquerda, cujo peso não seja maior que o número atual.

2. Diminua o número atual pelo peso da unidade construída.

II. Nas posições não ocupadas por uns, escreva zeros.

Este método de tradução na prática acaba por ser muito mais simples e rápido do que o algoritmo tradicional para encontrar resíduos.

Ao converter de um sistema decimal para um ternário, deve-se levar em conta os próprios pesos posicionais e sua duplicação. Para uma tradução rápida, você pode construir uma tabela, cujas linhas correspondem às posições dos dígitos, as colunas aos dígitos e as células às contribuições do dígito ao número, dependendo de sua posição na entrada do número :

Digamos que a contribuição do número 2 na posição 243 seja o número 486 e na posição 9 seja o número 18.

Para converter para um sistema ternário, você precisa examinar a tabela linha por linha em busca do maior número que não exceda o valor atual.

Por exemplo, vamos converter o número 183 para o sistema ternário. Um valor adequado está localizado na terceira linha e primeira coluna:

Assim, o número ternário começa com o número 2:

183 10 = 202?? 3

Para o número 21–18 = 3, há um valor exato na tabela, a tradução está completa:

183 10 = 20210 3 .

Para sistemas com uma base grande, as tabelas correspondentes serão, obviamente, mais volumosas. Como último exemplo, vamos construir uma tabela para converter para o sistema de numeração hexadecimal:

Deixe o número 4255 precisar ser convertido em hexadecimal. Procuramos na tabela (da esquerda para a direita nas linhas, começando de cima) o primeiro número que não será maior que o número original 4255:

Obtemos o primeiro dígito 1 na posição 4096:

Resta codificar 4255 - 4096 = 159.

Pulamos a linha 256 (o valor correspondente será 0) e na linha 16 encontramos o valor apropriado 144:

Obtemos os números nas posições 256 e 16:

Resta codificar 159 - 144 = 15. É claro que este é o valor do dígito mais baixo:

Acontece: 4255 10 \u003d 109F 16.

Ações em números

Esta seção é apresentada no material para o aluno esquematicamente, de forma introdutória.

Você pode dedicar uma lição separada, grande e bastante interessante ao tópico, mas já há muito material - é difícil entender a imensidão!

Em uma versão simples e introdutória, mostra-se que as operações com números em qualquer sistema numérico são executadas exatamente da mesma maneira que no sistema decimal. Seria estranho se fosse de outra forma, porque os números em todos os sistemas posicionais são construídos de acordo com as mesmas regras, o que significa que as ações sobre eles devem ser realizadas da mesma maneira.

A secção é apoiada por trabalhos de casa da opção 3. Estes exercícios podem ser recomendados a alunos curiosos como trabalhos individuais.

Existem sistemas numéricos posicionais e não posicionais.

Em sistemas numéricos não posicionais o peso do dígito (ou seja, a contribuição que faz para o valor do número) não depende de sua posição na entrada do número. Assim, no sistema de numeração romano no número XXXII (trinta e dois), o peso do dígito X em qualquer posição é simplesmente dez.

Em sistemas numéricos posicionais o peso de cada dígito muda dependendo de sua posição (posição) na sequência de dígitos que representam o número. Por exemplo, no número 757,7, os primeiros sete significam 7 centenas, o segundo - 7 unidades e o terceiro - 7 décimos de uma unidade.

A própria entrada do número 757.7 significa uma expressão abreviada

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Qualquer sistema de numeração posicional é caracterizado por sua própria base.

Qualquer número natural - dois, três, quatro, etc. pode ser tomado como base do sistema. Conseqüentemente, um número infinito de sistemas posicionais são possíveis: binário, ternário, quaternário, etc. Escrevendo números em cada um dos sistemas numéricos com uma base q significa uma abreviação da expressão

uma n-1 q n-1 + um n-2 q n-2 + ... + um 1 q 1 + um 0 q 0 + um -1 q -1 + ... + um -m q -m ,

Onde uma eu- números do sistema numérico; n e m- o número de dígitos inteiros e fracionários, respectivamente. Por exemplo:

Que sistemas numéricos os especialistas usam para se comunicar com um computador?

Além do decimal, os sistemas com uma base que é uma potência inteira de 2 são amplamente utilizados, a saber:

binário(os dígitos 0, 1 são usados);

octal(são usados ​​os números 0, 1, ..., 7);

hexadecimal(para os primeiros inteiros de zero a nove, os dígitos 0, 1, ..., 9 são usados, e para os próximos inteiros, de dez a quinze, os símbolos A, B, C, D, E, F são usados como dígitos).

É útil lembrar a notação nestes sistemas numéricos das duas primeiras dezenas de inteiros:

De todos os sistemas numéricos especialmente simples e, portanto, interessante para implementação técnica no sistema de numeração binário de computadores.

Capítulo 4

4.1. O que é um sistema numérico?

Existem sistemas numéricos posicionais e não posicionais.

Em sistemas numéricos não posicionais o peso do dígito (ou seja, a contribuição que faz para o valor do número) não depende de sua posição na entrada do número. Assim, no sistema de numeração romano no número XXXII (trinta e dois), o peso do dígito X em qualquer posição é simplesmente dez.

Em sistemas numéricos posicionais o peso de cada dígito muda dependendo de sua posição (posição) na sequência de dígitos que representam o número. Por exemplo, no número 757,7, os primeiros sete significam 7 centenas, o segundo - 7 unidades e o terceiro - 7 décimos de uma unidade.

A própria entrada do número 757.7 significa uma expressão abreviada

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Qualquer sistema de numeração posicional é caracterizado por sua própria base.

Qualquer número natural - dois, três, quatro, etc. pode ser tomado como base do sistema. Conseqüentemente, um número infinito de sistemas posicionais são possíveis: binário, ternário, quaternário, etc. Escrevendo números em cada um dos sistemas numéricos com uma base q significa uma abreviação da expressão

uma n-1 q n-1 + um n-2 q n-2 + ... + um 1 q 1 + um 0 q 0 + um -1 q -1 + ... + um -m q -m ,

Onde uma eu- números do sistema numérico; n e m- o número de dígitos inteiros e fracionários, respectivamente.
Por exemplo:

4.2. Como os inteiros são gerados em sistemas numéricos posicionais?

Em cada sistema numérico, os dígitos são ordenados de acordo com seus valores: 1 é maior que 0, 2 é maior que 1 e assim por diante.

Avançar 1 significa substituí-lo por 2, avançar 2 significa substituí-lo por 3 e assim por diante. Promoção dígito líder(por exemplo, 9 em decimal) significa substituí-lo por 0. Em um sistema binário que usa apenas dois dígitos, 0 e 1, avançar 0 significa substituí-lo por 1 e avançar 1 significa substituí-lo por 0.

Os inteiros em qualquer sistema de numeração são gerados usando Regras da conta [44 ]:

Aplicando esta regra, escrevemos os dez primeiros inteiros

em binário: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

no sistema ternário: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

no sistema quinário: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

em octal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

4.3. Que sistemas numéricos os especialistas usam para se comunicar com um computador?

Além do decimal, os sistemas com uma base que é uma potência inteira de 2 são amplamente utilizados, a saber:

binário(os dígitos 0, 1 são usados);

octal(são usados ​​os números 0, 1, ..., 7);

hexadecimal(para os primeiros inteiros de zero a nove, os dígitos 0, 1, ..., 9 são usados, e para os próximos inteiros, de dez a quinze, os símbolos A, B, C, D, E, F são usados como dígitos).

É útil lembrar a notação nestes sistemas numéricos das duas primeiras dezenas de inteiros:

De todos os sistemas numéricos especialmente simples e, portanto, interessante para implementação técnica no sistema de numeração binário de computadores.

4.4. Por que as pessoas usam o sistema decimal e os computadores usam o binário?

As pessoas preferem o sistema decimal, provavelmente porque desde os tempos antigos eles contavam nos dedos, e as pessoas têm dez dedos nas mãos e nos pés. Nem sempre e nem em todos os lugares as pessoas usam o sistema de numeração decimal. Na China, por exemplo, o sistema de numeração quinário foi usado por muito tempo.

E os computadores usam o sistema binário porque ele tem várias vantagens sobre outros sistemas:

necessários para a sua implementação dispositivos técnicos biestáveis(há uma corrente - não há corrente, magnetizada - não magnetizada, etc.), e não, por exemplo, com dez - como em decimal;

representação da informação por meio de apenas dois estados de forma confiável e resistente ao ruído;

possivelmente aplicação do aparelho de álgebra booleana realizar transformações lógicas de informações;

aritmética binária é muito mais simples que a aritmética decimal.

Desvantagem do sistema binário - aumento rápido do número de dígitos necessários para escrever números.

4.5. Por que os computadores também usam sistemas numéricos octais e hexadecimais?

O sistema binário, que é conveniente para computadores, é inconveniente para uma pessoa por causa de seu volume e notação incomum.

A conversão de números de decimal para binário e vice-versa é realizada por uma máquina. No entanto, para usar um computador profissionalmente, é preciso aprender a entender a máquina de palavras. É para isso que os sistemas octal e hexadecimal são projetados.

Os números nesses sistemas são lidos quase tão facilmente quanto os números decimais, eles exigem três (octal) e quatro (hexadecimal) vezes menos dígitos, respectivamente, do que no sistema binário (afinal, os números 8 e 16 são a terceira e quarta potências). do número 2, respectivamente).

Por exemplo:

Por exemplo,

4.6. Como converter um inteiro de um sistema decimal para qualquer outro sistema numérico posicional?

Exemplo: Vamos converter o número 75 do sistema decimal para binário, octal e hexadecimal:

Responda: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16 .

4.7. Como converter a fração decimal correta para qualquer outro sistema numérico posicional?

Para traduzir a fração decimal corretaF para o sistema de numeração baseqnecessárioFmultiplique porq, escrito no mesmo sistema decimal, então multiplique a parte fracionária do produto resultante porq, etc., até que a parte fracionária do próximo produto se torne igual a zero, ou a precisão necessária da representação do número seja alcançada Fdentroqsistema -ário. Representando a parte fracionária de um númeroF no novo sistema numérico haverá uma sequência de partes inteiras das obras recebidas, escritas na ordem em que foram recebidas e representadas em um q-dígito. Se a precisão de tradução necessária do númeroFékcasas decimais, então o erro absoluto limite é igual aq -(k+1) / 2.

Exemplo. Vamos traduzir o número 0,36 do sistema decimal para binário, octal e hexadecimal:

4.8. Como converter um número do sistema binário (octal, hexadecimal) para decimal?

Conversão de números decimaisxGravado emq-sistema numérico ário (q= 2, 8 ou 16) conformex q = (um n uma n-1 ...uma 0 , uma -1 uma -2 ...uma -m ) q reduz para calcular o valor do polinômio

x 10 = um n q n + um n-1 q n-1 + ... + um 0 q 0 + um -1 q -1 + um -2 q -2 + ... + um -m q -m

usando aritmética decimal.

Exemplos:

4.9. Tabela de resumo de traduções de inteiros de um sistema de numeração para outro

Considere apenas os sistemas numéricos usados ​​em computadores - decimal, binário, octal e hexadecimal. Por definição, vamos pegar um número decimal arbitrário, por exemplo 46, e para ele vamos realizar todas as traduções consecutivas possíveis de um sistema de numeração para outro. A ordem das transferências será determinada de acordo com a figura:

Esta figura usa a seguinte notação:

as bases dos sistemas numéricos são escritas nos círculos;

as setas indicam a direção da tradução;

o número ao lado da seta indica o número de série do exemplo correspondente na tabela de resumo 4.1.

Por exemplo: significa uma conversão de binário para hexadecimal, que possui o número de série 6 na tabela.

Tabela de resumo de traduções de números inteirosdoisSeções- a teoria da estatística ... estatística, informática como disciplinas ... KR (eletrônica versão edições). "... Estatísticas microeconómicas do PE: Proc. abono. - M.: Delo, 2000. ... revista. Internet Sites Rosstat...