As relações envolvendo grandezas são analisadas do ponto de vista das funções matemáticas. As funções possuem inúmeras características e detalham desde cálculos cotidianos até situações de maior complexidade. No caso da Matemática Financeira, as funções são relacionadas às aplicações de capitais nos regimes de juros simples e compostos, os quais utilizamos as funções do 1º grau e exponencial respectivamente. Os gráficos representativos das funções citadas servem de
análise sobre o andamento do montante formado mês a mês, observando qual aplicação é mais vantajosa dentro de um determinado período. Observe os gráficos das situações a seguir, eles representarão o andamento da aplicação de acordo com o tipo de capitalização escolhida. Suponhamos que o capital de R$ 500,00 foi aplicado a uma taxa de 2% ao mês nos regimes de juros simples e compostos. Vamos representar a função de cada aplicação e os gráficos correspondentes aos primeiros meses.
Juros simples M = C + j Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Montante ao final do quarto mês será igual a R$ 540,00. Juros compostos M = C * (1 + i)t
 Montante ao final do quarto mês será igual a R$ 541,22
Ao compararmos os dados e os gráficos percebemos que na capitalização simples os juros crescem de forma linear, enquanto na capitalização composta os juros crescem de forma exponencial. De acordo com os gráficos percebemos que a aplicação utilizando juros compostos é mais rentável que a capitalização simples, pois no regime simples os juros são fixos, isto é, calculados somente sobre o montante inicial. No caso dos compostos, são aplicados juros sobre juros, dessa forma, o valor de cada juro mensal é sempre maior que o do mês anterior. Por Marcos Noé Funções - Matemática - Brasil Escola Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja: SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Funções e Matemática Financeira "; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-matematica-financeira.htm. Acesso em 14 de novembro de 2022. De estudante para estudanteMande sua perguntaAtualidadesO regime de juros compostos é o mais utilizado no mercado por oferecer maior rentabilidade financeira. Essa maior rentabilidade ocorre pelo fato de esse regime de capitalização ser calculado sempre com base no valor do montante do período anterior, o que faz com que o valor final cresça de maneira exponencial. Leia também: Média, moda e mediana – medidas de posicionamento numérico Fórmula do juro compostoA fórmula para calcular o valor do juro ao final de um período de tempo é a seguinte:
Lembre-se de que o montante é sempre a soma do capital com os juros. M = C + J Para melhor entendermos a fórmula, vamos imaginar a seguinte situação-problema: um capital de R$ 3.000,00 foi aplicado em uma poupança durante 4 anos sob uma taxa de juros de 3% ao ano. No final desse período, qual o montante arrecadado?
3182,7 + 95,4 = 3000 · (1 + 0,03)3= 3278,1 Nas igualdades acima, o montante destacado em roxo está escrito assim como na fórmula.
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Observando a tabela acima, podemos entender melhor o funcionamento da fórmula e, consequentemente, os fatores que influenciam o valor do montante final. Para isso, basta observar quais fatores variam na tabela. O primeiro fator é o tempo, uma vez que quanto mais o tempo passa, maior é o rendimento da aplicação. O outro fator é o capital que é investido inicialmente. Claro que a taxa também influencia o valor final do montante. Se o problema trabalhado acima mantivesse as mesmas condições e fosse alterada apenas a taxa, os demais resultados seriam diferentes. Leia também: Porcentagem – razão centesimal de um determinado valor Cálculo do juro compostoPara realizar o cálculo de juros compostos, devemos substituir as informações fornecidas pela situação-problema na fórmula, mas sempre atentos às unidades de medida da taxa de juros (i) e do tempo (t). As unidades de medida da taxa de juros podem ser ao ano (a.a), ao mês (a.m) ou ao dia (a.d), e assim por diante. Já as unidades de medida para representar o tempo são as já conhecidas: anos, meses, dias ou horas. O que devemos observar antes de substituir as informações é a correspondência entre as unidades de medida da taxa e tempo, ou seja, se a taxa está em anos, o tempo também deve estar.
Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado em uma poupança sob taxa de juros compostos de 5% ao mês durante 1,5 ano. Determine o valor do montante dessa aplicação. (Dado: log1,052,466190 = 18) Resolução Com base no enunciado, podemos retirar as seguintes informações: C = R$ 10.000,00 i = 5% a.m t = 1,5 ano → 18 meses Veja que a taxa e o tempo estão em unidades de medida diferentes. Antes de substituir na fórmula, devemos transformar uma das unidades de medida. Em geral, transformar a unidade de medida de tempo é uma tarefa mais fácil. 1,5 ano → (1 + 0,5) ano Em um ano, temos 12 meses, logo, em meio ano (0,5), vamos ter 6 meses, assim: 1,5 ano → (1 + 0,5) ano 1,5 ano → 12 + 6 meses 1,5 ano → 18 meses Outra observação: a taxa deve ser sempre escrita em sua forma decimal ou fracionária. Feitas as mudanças, vamos substituir na fórmula. M = C · (1 + i)t M = 10.000 · (1 + 0,05)18 M = 10.000 · (1,05)18 M = 10.000 ·2,406619 M = 24.066,19 reais Observe que, para calcular a potência (1,05)18,necessitamos do logaritmo fornecido no enunciado do exercício. Veja que resolvendo o logaritmo a seguir, temos que: log1,052,406619 = 18 (1,05)18 = 2,406619 Para entender melhor as operações com logaritmos, leia nosso texto específico: logaritmos.
Um capital foi investido em uma caderneta de poupança sob uma taxa de juros compostos de 0,6% ao mês durante um ano. Ao retirar o dinheiro, percebeu-se que o montante da aplicação foi de R$ 150.000,00. Determine o capital aplicado. (Dados: Utilize log1,0061,074424 = 12) Do enunciado, temos as seguintes informações: C = ? i = 0,6% a.m → 0,006 t = 1 ano → 12 meses M = R$ 150.000,00 As unidades de medida do tempo e taxa estão diferentes, assim, vamos transformar a unidade de tempo de anos para meses. 1 ano → 12 meses Agora substituindo na fórmula, temos: M = C · (1 + i)t 150.000 = C · (1 + 0,006 )12 150.000 = C · ( 1,006 )12 150.000 = C · 1,074424 Para resolver a potência (1,006)12,é necessário utilizar o dado fornecido pelo exercício. Veja: log1,0061,074424 = 12 (1,006)12 = 1,074424 Diferença entre juros composto e simplesA diferença entre o regime de juros simples e compostos está na forma de capitalização. No regime de juros simples, o montante do período seguinte é sempre calculado com base no valor do capital inicial, ou seja, independentemente do tempo, isso sempre vai ocorrer. No regime de juros compostos, o valor do montante é sempre calculado baseado no valor do capital do mês anterior, o que faz com que o montante cresça de maneira exponencial. Vamos comparar um capital de R$2.000,00 aplicado em taxa de 5% ao mês durante 4 meses no regime de juro simples e composto. Juros simples
Juros compostos
Exercícios resolvidosQuestão 1 (IFSC) – Uma empresa financiou R$ 100.000,00 por 1 ano. O montante do financiamento foi de R$ 172.000,00. Determine a taxa de juros mensal cobrada da empresa. Resolução Substituindo os dados do exercício na fórmula, temos: Elevando ambos os lados da igualdade a 1/12, vamos eliminar o expoente 12 localizado no lado direito da igualdade. Podemos realizar esse procedimento graças ao princípio da equivalência, o qual afirma que, se operarmos um lado da igualdade, devemos realizar a mesma operação do outro lado. Multiplicando o 0,0462 por 100 para escrever na forma percentual, temos: 0,0462 · 100 4,62% ao mês Questão 2 (IFSC) – Carlos aplicou R$ 20.000,00 a uma taxa de juros de 0,6% a.m e, após um tempo, verificou que o saldo estava em R$23.600,00. Determine quanto tempo o dinheiro de Carlos ficou aplicado. [Dados: log (1,18) = 0,07188; log (1,006) = 0,002597] Resolução Substituindo na fórmula, temos que: Para determinar o valor da incógnita, devemos resolver a equação exponencial utilizando logaritmos. O tempo em que o dinheiro de Carlos ficou aplicado foi de 28 meses ou 2 anos e 4 meses. Como são calculados os juros no regime de capitalização simples?A fórmula é a seguinte: J = Pv x i x n. Sendo que, J são os juros, Pv é o Presente Valor (o valor investido inicialmente), i é a taxa de juros e por fim, n é o período de tempo.
Como funciona o regime de capitalização simples?Capitalização simples é uma forma de remuneração sobre uma quantia de dinheiro investida. Ela funciona como juros simples. Ou seja, o retorno sobre o investimento se dá apenas sobre o capital que, inicialmente, foi aplicado. Dessa forma, a taxa de juros é calculada sobre a primeira quantia investida.
Como funciona regime de juros simples?O que são juros simples? O juro simples é uma taxa previamente definida e que incide somente sobre o valor inicial. Por exemplo: Se você emprestar R$1000,00 com uma taxa de 2% ao mês no juro simples, a taxa será sempre 2% de R$1000 ao longo do prazo.
Como funciona a capitalização de juros?A capitalização de juros, também chamada de anatocismo, ocorre quando os juros são calculados sobre os próprios juros devidos. Outras denominações para “capitalização de juros”: “juros sobre juros”, “juros compostos” ou “juros frugíferos”.
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Qual a forma que os juros crescem no regime de capitalização simples?
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