Qual a probabilidade de cair cara?

A fra��o foi constru�da para mostrar a rela��o entre a parte e o todo. A experi�ncia mais conhecida � com o n�mero fracion�rio, para resolver o problema de repartir ou dividir determinadas quantidades.

Para retomar essa importante id�ia da matem�tica, vamos imaginar o cl�ssico problema de dividirmos duas ma��s entre tr�s crian�as. Nessa situa��o, dividimos cada ma�� em tr�s partes iguais, dando um total de seis peda�os. Logo depois, dividimos esses seis peda�os em tr�s partes, tendo como resultado dois peda�os para cada crian�a. Assim, a parte para cada crian�a fica sendo de dois peda�os, em um total de seis. Ent�o, registramos que cada crian�a recebeu duas partes em seis. Numericamente, 2/6.

Esse importante conceito produziu o n�mero fracion�rio - e pode ser aplicado em outras situa��es, como � o caso da probabilidade. Conhecida como ci�ncia do acaso, o estudo da probabilidade motivou a investiga��o de v�rios problemas e experi�ncias. O jogo � uma dessas experi�ncias que causa bastante curiosidade e ajuda a entender com facilidade essa forma de investigar o mundo.

Em um �nico lan�amento de um dado podemos obter face 1, face 2, face 3, face 4, face 5 ou face 6. No entanto, s� � poss�vel obter uma dessas faces como resposta. De todas as possibilidades que o dado oferece, o n�mero de respostas para este caso ser� 1. A fra��o das respostas poss�veis em rela��o ao total de possibilidades que s�o oferecidas nessa experi�ncia ser� de 1 por 6, de 1 em 6, ou um sexto. Al�m disso, todas as faces ter�o a mesma chance, descritas pela mesma fra��o, se n�o houver nada de errado com o dado.

O conceito de fra��o � aplicado na probabilidade para indicar a rela��o entre a parte e o todo, registrando a quantidade de fatos ou eventos que s�o poss�veis de acontecer diante de um determinado conjunto de possibilidades.

Outros exemplos

Podemos fazer tamb�m o lan�amento, ao mesmo tempo, de duas moedas. Cada moeda possui duas faces, definidas como "cara" e "coroa". E como s�o duas, as respostas s�o analisadas em pares, tendo como possibilidades: (cara, cara) - (cara, coroa) - (coroa, cara) - e - (coroa, coroa).

Da forma como o problema est� estruturado, a probabilidade de dar uma cara e uma coroa � de 2/4 ou, se voc� preferir, 1/2. Essa simplifica��o retoma o conceito de fra��o equivalente e possibilita reescrever a resposta na forma de porcentagem igual a 50%.

Explorando um pouco mais esse problema, num �nico lan�amento de duas moedas, qual � a probabilidade de obtermos duas caras? A resposta ser� igual a 1/ 4 - ou 25%:

A porcentagem passa, assim, a ser um tipo de linguagem aplicada � probabilidade. � uma forma de falar ou registrar a chance de que um determinado fen�meno possa ocorrer.

Qual � a chance de obtermos tr�s coroas em um �nico lan�amento de tr�s moedas? E de duas coroas?

Conjunto de possibilidades no lan�amento de tr�s moedas:
(cara, cara, cara), (cara, cara, coroa), (cara, coroa, cara), (coroa, cara, cara), (coroa, coroa, cara), (coroa, cara, coroa), (cara, coroa, coroa), (coroa, coroa, coroa)

N�mero de possibilidades de dar tr�s coroas= 1
N�mero de possibilidades de dar duas coroas= 3
N�mero de possibilidade de dar duas caras= 3
N�mero de possibilidades de dar tr�s caras= 1

A chance de obtermos tr�s coroas � de 1/8, enquanto que, para duas coroas, � de 3/8. Percentualmente, escrevemos:

A probabilidade � uma rela��o entre a parte e o todo, concentrada no mundo das possibilidades. Representada por um n�mero fracion�rio, podendo ser transformada em porcentagem, transformou-se em uma das ferramentas mais importantes para ci�ncia no nosso s�culo, permitindo descrever numericamente o que antes era simplesmente o acaso e a incerteza.

*Antonio Rodrigues Neto, professor de matem�tica no ensino fundamental e superior, � mestre em educa��o pela USP e autor do livro "Geometria e Est�tica: experi�ncias com o jogo de xadrez" (Editora da UNESP).

Os textos publicados antes de 1� de janeiro de 2009 n�o seguem o novo Acordo Ortogr�fico da L�ngua Portuguesa. A grafia vigente at� ent�o e a da reforma ortogr�fica ser�o aceitas at� 2012

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Lisbeth K. Cordani
IMEUSP

Quando se fala em introduzir probabilidade e estatística na escola básica, paira uma dúvida a respeito do conteúdo que cada área vai abordar: é o mesmo ou são diferentes? Como se aproximam e como se distanciam essas duas áreas? “Hoje tive aula de probabilidade, mas... será que não foi de estatística?” O apoio do professor para dirimir as dúvidas é fundamental para a grande parcela dos alunos, e pretendemos ajudar nessa direção.

A proposta é ajudar o aluno a reconhecer as diferenças através de uma simples aplicação e, neste artigo, ampliamos a discussão entre valores que “podem acontecer” e valores que “aconteceram”.

Para iniciar, recorremos a um exemplo de Noether (ver [3]), que chama a atenção para a “diferença essencial” entre o raciocínio matemático e o raciocínio estatístico; a probabilidade foi incluída na discussão em [1], pois ela é a balizadora de nossas decisões no campo da estatística.
Voltando às diferenças recém-mencionadas, apresentamos o seguinte esquema:

Sentença Matemática (SM): Todos os números primos são ímpares.

Sentença Probabilística (SP): A probabilidade de se obter cara em um lançamento de uma moeda honesta (no sentido de perfeita) é ½.

Hipótese Estatística (HE): Esta moeda que tenho em mãos e que apresentou cinco caras em cinco lançamentos independentes não é honesta.

Para a primeira sentença (SM), basta que apresentemos um contraexemplo (2 é par e é primo) para determinar que SM é falsa. Para a SP, ao falar de moeda “perfeita” fisicamente, estamos dizendo que a chance de cair cara é a mesma de cair coroa (desconsiderado o caso de cair de pé), e, portanto, um caso favorável em dois possíveis daria o valor ½. Portanto, SP é verdadeira nessas condições. Duas tarefas simples e já definidas.

No entanto, dizer que uma moeda que tenho em mãos não é honesta não é uma tarefa simples, e não teremos uma resposta “definitiva”: por um lado, uma moeda honesta pode, sim, apresentar cinco caras em cinco lances, mas, por outro, o “senso comum” nos faz desconfiar dessa moeda. Evidentemente, não vamos dar um aval ao senso comum para a tomada de decisão, mas já vemos que a tarefa não é simples. Ou seja, dizer se uma HE é falsa requer uma tomada de decisão que tem um risco envolvido – posso acertar ou errar. Nessa noção de risco é que temos que lançar mão da probabilidade.

Voltando ao nosso propósito inicial de entender a diferença entre probabilidade e estatística, vamos propor um problema simples que seria o de lançar uma moeda duas vezes e analisar a versão probabilística e a versão estatística da situação.

Abordagem probabilística

Sob o ponto de vista de probabilidade, podemos representar os dois lances por um diagrama de árvore, e a notação que utilizaremos será p = P (cara) e (1 − p) = P (coroa). Vamos definir nosso interesse pelo número de caras e analisaremos como ele se comporta no primeiro lance e nos dois lances juntos.

Se estivermos tratando de uma moeda honesta, o valor de p no diagrama de árvore apresentado (e correspondentes tabelas) será ½. Esse é um cenário dos valores que podem acontecer em dois lançamentos de uma moeda, com as correspondentes probabilidades. Sempre considerando o número de caras (X) como a variável de interesse, se p = ½, vemos que, para um lançamento (tanto somente o primeiro quanto somente o segundo), sair uma cara é tão provável quanto não sair nenhuma cara. No entanto, se considerarmos os dois lançamentos juntos, o mais provável é sair uma cara, e é menos provável termos zero cara ou duas caras (e, nesses dois casos, cada uma das probabilidades vale ¼).

A propósito de notação, para o primeiro lançamento podemos associar o valor X1 = 0 (coroa) ou X1= 1 (cara), para o segundo, X2 = 0 (coroa) ou X2= 1 (cara), e assim por diante. Em termos formais, cada Xi tem uma distribuição de Bernoulli, com probabilidade de cara = p. Se continuássemos o diagrama de árvore para n lançamentos independentes, com P(cara) = p, poderíamos construir a distribuição de probabilidade da variável número de caras (binomial), que pode vir a ser útil para o confronto com eventuais resultados a serem obtidos. O leitor interessado encontrará em [2] material mais detalhado.

Até o momento, como já dissemos, não realizamos experimento nenhum e nem estamos diante de nenhuma coleta de dados. O que temos é um modelo probabilístico que reproduz um cenário de possíveis resultados da moeda (cara ou coroa) ou então (1 ou 0), sendo que esta última representação diz respeito a considerar o número de caras, e não o desenho da face superior da moeda, quer para cada lançamento isolado da moeda (Bernoulli), quer para o número total de caras em n lançamentos independentes da moeda (binomial).

Abordagem estatística

Agora vamos realizar um experimento, como pegar uma moeda, jogá-la um certo número de vezes e registrar o resultado: cara ou coroa. Vamos realizar dez lançamentos e colocar os resultados na notação sugerida (essa geração pode ser feita jogando de fato uma moeda e registrando o resultado):

Temos, então, dez resultados de um lançamento de uma moeda, e o número de caras foi 3.

Podemos especular se a moeda é ou não honesta. Esse é um problema estatístico. A pergunta pode ser: há motivos para duvidar da “honestidade” da moeda? Isso diz respeito à probabilidade de cara dessa moeda. A teoria de probabilidade nos conta como uma moeda honesta se comporta, mas, ao olhar a sequência experimental das caras e coroas geradas acima, não sabemos se foi produzida por uma moeda honesta ou não.

A partir da distribuição binomial, para dez lançamentos independentes, com P(cara) = p, temos que o resultado que obtivemos (três caras e sete coroas) ocorre com probabilidade igual a 120p3(1 − p)7. Se a moeda for honesta (p = ½), essa probabilidade é de 0,117 (11,7%); isso significa que, quando fazemos dez lançamentos independentes de uma moeda honesta, há probabilidade de aproximadamente 12% de dar o resultado três caras (e sete coroas).

É aí que entra o raciocínio estatístico, o qual, respaldado pela probabilidade, toma decisões com certa dose de risco. Ou seja, grosso modo, se optarmos por dizer que a moeda não é honesta devido ao resultado obtido (três caras em dez lançamentos), sabemos (pelos resultados da distribuição binomial – ou mesmo pelo diagrama de árvore em dez lançamentos) que o risco que corremos de errar é de quase 12%! Na HE considerada acima, obtivemos cinco caras em cinco lançamentos independentes da moeda – para n = 5, um resultado de cinco caras e zero coroa ocorre com probabilidade 0,03125 (3,125%). Já se optarmos por dizer que a moeda não é honesta nesse último caso, o risco de errar é de 3,125%, bem menor do que o anterior.

Então, para decidir se rejeitamos ou não a hipótese de que a moeda que temos em mãos é honesta, o que foi colocado na nossa hipótese estatística HE do início, realizamos um experimento de n lançamentos independentes da moeda e registramos o número de caras. Conforme for o valor da probabilidade associada ao número obtido de caras, sob a hipótese de honestidade da moeda, tomamos a decisão de rejeitar (ou não) a honestidade (se grande, não rejeitamos, se pequeno, rejeitamos). Então, para tomar decisões sobre uma HE, lançamos mão da teoria de probabilidades que nos dá uma medida do risco associado. Grande? Pequeno? Essa é uma questão que não será discutida aqui.

correspondência entre as abordagens

O modelo teórico assume um valor de p, que é a probabilidade de cara. A teoria estatística nos oferece algo para estimar p a partir da amostra, e um bom candidato é a frequência relativa de caras, ou seja, o quociente [número observado de caras)/n].

Chamamos de estimador (pontual)

No exemplo de dez lançamentos descrito acima, como já visto, a estimativa obtida para p foi

Voltando à moeda propriamente dita, desconhecendo sua estrutura (p = ?), vamos usar sequências de n lançamentos para obter informações, ou seja, vamos usar a estatística. Por um lado, a Lei dos Grandes Números nos habilita a usar o valor de

Observações finais

Não é raro nos depararmos com frases do tipo “a probabilidade de que chova amanhã é 70%”, “levantamentos estatísticos indicam que os moradores de uma cidade rejeitam a nova proposta da prefeitura para ordenamento urbano” e outras semelhantes, o que dá ensejo, por parte dos alunos, a perguntas que remetem ao título do artigo. Procurou-se então dar uma ideia bem geral do que trata a probabilidade e do que trata a estatística num contexto simples para sala de aula.

Grosso modo, podemos pensar na probabilidade como algo relativo à prospecção e na estatística como algo relativo a dados históricos. Nessa mesma abordagem incluímos exemplos sobre geração aleatória de resultados de lançamentos de uma moeda, tanto com uma moeda propriamente dita como com sequências de números aleatórios. Esse último caso se refere aos passos iniciais de simulação. A autora agradece a Simone Harnik pela leitura e sugestões de forma.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] CORDANI, L. Estatística para todos: atividades para sala de aula. CAEM/IMEUSP, 2012.

[2] MORETTIN, P. A. ; BUSSAB W. O. Estatística básica. 7a ed. São Paulo: Saraiva, 2012.

[3] NOETHER, G. Introdução à estatística: uma abordagem não paramétrica. 2a ed. Guanabara Dois, 1983.

Qual é a chance de cair cara?

Qual a probabilidade de cair pelo menos uma cara?

Qual a probabilidade de sair cara 6 vezes?

Qual a probabilidade de sair cara 3 vezes?