Os juros simples são calculados com base no capital inicial (C), período a período. Por isso o valor dos juros simples é constante em cada período de tempo. Observe o exemplo a seguir: Show
Carlos aplicou R$ 500,00 a taxa de 3% no regime de juros simples. Qual será o montante no fim de 8 meses de aplicação?
Após 8 meses, Carlos terá um montante de R$ 620,00 Exemplo 2 Fernando aplicou R$ 1.200,00 em uma instituição bancária que paga juros simples de 2,5% ao mês. Qual será o montante no final de 10 meses? O montante do juro simples e dado pela expressão: M = C + J Dados do exercício: Desenvolvendo M = 1200 + 300 O montante ao final de 10 meses será de R$1.500,00. Exemplo 3 Um capital de R$ 2.000,00, aplicado no sistema de juros simples, produziu um montante de R$ 2.720,00 após 12 meses de aplicação. Qual foi a taxa de juros? J
= C * i * t A taxa de juros usada foi de 3%. Exemplo 4 Um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou no montante de R$ 1.300,00 após certo tempo. Qual o tempo da aplicação? C = 1.000 J = C * i * t O tempo de aplicação foi de 15 meses. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante um período de tempo. O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o dinheiro ficará emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor. Diferença entre juros simples e compostosNos juros simples a correção é aplicada a cada período e considera apenas o valor inicial. Nos juros compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos. Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre um valor que já foi corrigido. Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com que o valor final a ser recebido ou pago seja maior que o valor obtido com juros simples. Diferença entre juros simples e compostos com o passar do tempo.A maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se restringem as operações de curto período. Fórmula de juros simplesOs juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula: Sendo, J: juros Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado (no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado. Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja: Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante: A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em função do tempo. ExemploSe o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema de juros simples? SoluçãoPrimeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no problema. C = R$ 1 000,00 Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula dos juros: Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos: i = 2,5.12= 30% ao ano Fórmula de juros compostosO montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula: Sendo, M: montante Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores. ExemploCalcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, no sistema de juros compostos. SoluçãoIdentificando as informações dadas, temos: C = 2 000 Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos: Observação: o resultado será tão melhor aproximado quanto o número de casas decimais utilizadas na potência. Portanto, ao final de um ano o montante será igual a R$ 2 339,71. Exercícios ResolvidosQuestão 1Cálculo do montante Qual o montante de uma aplicação de R$500,00, a uma taxa de 3% ao mês, em um período de 1 ano e 6 meses, nos sistemas de juros simples e compostos? Juros simples Ver Resposta Dados: C = 500 i = 0,03 t = 18 meses (1ano + 6meses) O montante será o capital inicial mais os juros. M = C + J Sendo o juro: J = C.i.t J = 500.0,03.18 = 270 Assim, o montante será: M = C+J M = 500+270 M = 770 Resposta: O montante dessa aplicação será de R$770,00. Juros compostos Ver Resposta Aplicando os valores na fórmula, temos: Resposta: O montante do investimento no regime de juros compostos é de R$851,21. Questão 2Cálculo do capital Um certo capital foi aplicado por um período de 6 meses. A taxa foi de 5% ao mês. Após esse período, o montante era de R$5000,00. Determine o capital. Juros simples Ver Resposta Colocando C em evidência na fórmula de juros simples: M = C + J M = C + C.i.t M = C(1+i.t) Isolando C na equação: Juros compostos Ver Resposta Isolando C na fórmula dos juros compostos e substituindo os valores: Resposta: O capital deve ser de R$4201,68. Questão 3Cálculo da taxa de juros Qual seria a taxa mensal de juros de um investimento de R$1000,00 em um período de oito meses que obteve um montante de R$1600,00. Juros simples Ver Resposta Aplicando a fórmula e colocando C em evidência: M = C + J M = C + C.i.t M = C(1+i.t) Substituindo os valores e fazendo os cálculos numéricos: Em porcentagem I = 7,5% Juros compostos Ver Resposta Vamos usar a fórmula para juros compostos e dividir o montante pelo capital. Em porcentagem i = 6,051% Questão 4Cálculo do período da aplicação (tempo) Um capital de R$8000,00 foi investido a juro mensal de 9%, obtendo um montante de R$10360,00. Quanto tempo esse capital ficou investido? Juros simples Ver Resposta Utilizando a fórmula Portanto, o tempo é de, aproximadamente, 3,27 meses. Juros compostos Ver Resposta Nesta etapa, nos deparamos com uma equação exponencial. Para resolvê-la, iremos utilizar o logaritmo, aplicando um logaritmo de mesma base, nos dois lados da equação. Usando uma propriedade dos logaritmos no lado direito da equação, temos: Questão 5UECE - 2018 Uma loja vende um aparelho de TV, com a seguintes condições de pagamento: entrada no valor de R$ 800,00 e um pagamento de R$ 450,00 dois
meses depois. Se o preço do televisor à vista é de R$1.200,00, então, a taxa de juros simples mensal embutida no pagamento é Ver Resposta Ao comparar o valor do televisor à vista (R$1.200,00) e o valor pago em duas parcelas, observamos que houve um acréscimo de R$ 50,00, pois o valor pago foi igual a R$1.250,00 (800 +450). Para encontrar a taxa cobrada, podemos aplicar a fórmula de juros simples, considerando que os juros foram aplicados sobre o saldo devedor (valor da TV à vista menos o valor da entrada). Assim, temos: C = 1200 - 800 = 400 J = C.i.t Alternativa: a) 6,25% Equivalência de capitaisEm Matemática financeira é fundamental termos em mente que as quantias envolvidas em uma transação serão deslocadas no tempo. Diante deste fato, fazer uma análise financeira implica comparar valores presentes com os valores futuros. Assim, devemos ter uma forma de fazer a equivalência de capitais em diferentes momentos. Quando calculamos o montante, na fórmula de juros compostos, estamos encontrando o valor futuro para t períodos de tempo, segundo uma taxa i, a partir de um valor presente. Isto é feito através da multiplicação do termo (1+i)n pelo valor presente, ou seja: Ao contrário, se quisermos encontrar o valor presente conhecendo o valor futuro, iremos fazer uma divisão, isto é: Exemplo:Para comprar uma moto aproveitando um ótimo preço, uma pessoa pediu um empréstimo de R$ 6 000,00 a uma financeira a juros mensais de 15%. Dois meses depois, pagou R$ 3 000,00 e liquidou a dívida no mês seguinte. Qual foi o valor da última prestação pago pela pessoa? SoluçãoSe a pessoa conseguiu liquidar o valor devido pelo empréstimo, então o valor pago na primeira parcela mais a segunda parcela são iguais ao valor devido. Entretanto, as parcelas foram corrigidas ao longo do período por juros mensais. Sendo assim, para igualar essas quantias temos que conhecer seus valores equivalentes em uma mesma data. Iremos fazer a equivalência considerando o momento do empréstimo, conforme o esquema abaixo: Usando a fórmula para dois e três meses: Portanto, o último pagamento efetuado foi de R$ 5 675,25. Exercício resolvidoQuestão 6Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas iguais a P. O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela. A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é: Ver Resposta Resposta: Letra a Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais. Qual o valor do montante produzido por um capital de 1.200 aplicado no regime de juros simples e uma taxa mensal de 2% durante 10 meses?Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses? i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.) O montante produzido será de R$ 1.440,00.
Qual o valor do montante produzido por um capital de 1500 aplicado no regime de juros simples?Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.500,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 3%, durante 11 meses? i = 3% = 3/100 = 0,03 ao mês (a.m.) O montante produzido será de R$ 1.995,00.
Qual será o valor do montante produzido por um capital de 2000 aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 3% durante 8 meses?Qual será o valor do montante produzido por um capital de R$ 2.000,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 3% durante 8 meses? O montante produzido é de R$ 2.480,00.
Qual o montante gerado por um capital de 1000 aplicado em uma taxa de 1% am por um ano?𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑡𝑒 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 Temos : C : capital i : taxa (nesse caso, 1% ao mês ) t : tempo (nesse caso, 12 meses) Nesse caso, temos 𝑀 = 1.000(1 + 1%)12 𝑀 = 1.000(1,01)12 𝑀 = 1.126,82 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 Gostou? Deixe o seu like e salve esse material!
|