Qual o volume do prisma reto de base?

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Geometria

Prismas

Daniela Harmuch e Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Prisma
• 2 Se��es de um prisma
• 3 Prisma regular
• 4 Planifica��o do prisma
• 5 Volume de um prisma
• 6 �rea lateral do prisma reto com base poligonal regular
• 7 Tronco de prisma

1 Prisma

Prisma � um s�lido geom�trico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto � inclina��o das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou obl�quos.

Aspectos comuns a estes prismas:

1. As bases s�o regi�es poligonais congruentes.
2. As alturas (dist�ncia entre as bases) s�o iguais.
3. As arestas laterais s�o paralelas com as mesmas medidas.
4. As faces laterais s�o paralelogramos.

Quanto � base, os prismas mais comuns s�o:

1. Prisma triangular, cuja base � um tri�ngulo:
   
2. Prisma quadrangular, cuja base � um quadrado:
   
3. Prisma pentagonal, cuja base � um pent�gono:
   
4. Prisma hexagonal, cuja base � um hex�gono:
   

2 Se��es de um prisma

Se��o transversal: � a regi�o poligonal obtida pela interse��o do prisma com um plano paralelo �s bases, sendo que esta regi�o poligonal � congruente a cada uma das bases.

Se��o reta (se��o normal): � uma se��o determinada por um plano perpendicular �s arestas laterais.

Princ�pio de Cavalieri: Seja um plano \(P\) sobre o qual est�o apoiados dois s�lidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os s�lidos com se��es de �reas iguais, ent�o os volumes dos s�lidos tamb�m ser�o iguais.

3 Prisma regular

� um prisma reto cujas bases s�o regi�es poligonais regulares.

Exemplos: Um prisma triangular regular � um prisma reto cuja base � um tri�ngulo equil�tero. Um prisma quadrangular regular � um prisma reto cuja base � um quadrado.

4 Planifica��o do prisma

Um prisma � um s�lido formado por todos os pontos do espa�o localizados dentro dos planos que cont�m as faces laterais e os planos das bases.

As faces laterais e as bases formam a envolt�ria deste s�lido. Esta envolt�ria � uma superf�cie que pode ser planificada no plano cartesiano.

Tal planifica��o se realiza como se cort�ssemos com uma tesoura esta envolt�ria exatamente sobre as arestas para obter uma regi�o plana formada por �reas congruentes �s faces laterais e �s bases.

A planifica��o � �til para facilitar os c�lculos das �reas lateral e total.

5 Volume de um prisma

Se (A) � a �rea da base e (h) � a altura, o volume do prisma, denotado pela letra (V) � dado por:

\[\begin{equation} V = A \cdot h \end{equation}\]

6 �rea lateral do prisma reto com base poligonal regular

A �rea lateral denotada por (A(lat)) de um prisma reto que tem por base uma regi�o poligonal regular com (n) lados � a soma das �reas das faces laterais indicadas por (A(face)). Como neste caso todas as �reas das faces laterais s�o iguais, basta tomar a �rea lateral como:

\[\begin{equation} A(lat) = n A(Face) \end{equation}\]

Uma forma alternativa para obter a �rea lateral de um prisma reto tendo como base um pol�gono regular com (n) lados � tomar (P) como o per�metro da base desse pol�gono e (h) como a altura do prisma:

\[\begin{equation} A(lat) = P \cdot h \end{equation}\]

7 Tronco de prisma

Quando seccionamos um prisma por um plano n�o paralelo aos planos das bases, a regi�o espacial localizada dentro do prisma, acima da base inferior e abaixo do plano seccionante � denominada tronco do prisma.

Para calcular o volume do tronco de prisma, multiplicamos a m�dia aritm�tica das arestas laterais do tronco de prisma pela �rea da base.

Qual é o volume de um prisma reto de base?

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