O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. É calculado através da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial de um número de acordo com as condições impostas pelo problema.
Exemplo 1
Vamos determinar os anagramas da palavra:
a) ESCOLA
A palavra possui 6 letras, dessa forma, basta determinarmos
o valor de 6! (seis fatorial).
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
b) ESCOLA que inicia com E e termina com A.
E ___ ___ ___ ___ A
Vamos permutar as 4 letras não fixas.
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
Exemplo 2
a) Determinar os anagramas da palavra REPÚBLICA.
A palavra possui 9 letras, então devemos calcular 9!.
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362.880
b) REPÚBLICA que inicia com R e termina com A.
R ___ ___ ___ ___
___ ___ ___ A
Vamos permutar as 7 letras não fixadas.
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040
Exemplo 3
Determinar os anagramas da palavra CONQUISTA, que tem as letras CON juntas e na mesma ordem: C O N ___ ___ ___ ___ ___ ___ .
Temos 6 letras não fixadas que permutarão entre si, e a expressão CON que se unirá às permutações.
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040
Exemplo 4
A palavra MATEMÁTICA é formada por 10 letras. Determine o número possível de anagramas dessa palavra.
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Temos que das 10 letras, 3 se repetem. Essas repetições estão nas letras: M, A e T. Nesse caso, devemos retirar a repetição de letras para que a contagem de anagramas não fique comprometida. Para que isso seja feito, devemos dividir a quantidade equivalente ao fatorial do total de letras pelo produto dos fatoriais das
repetições. Veja:
Quantidade de repetições das letras: M --> Repeti 2 vezes, logo devemos calcular o 2!
A --> Repeti 3 vezes, logo devemos calcular o 3!
T --> Repeti 2 vezes, logo devemos calcular o 2!
Cálculo da quantidade de anagramas da palavra MATEMÁTICA
10!=
10 * 9 . 8 * 7 . 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1=
= 151200
2! . 3! . 2! (2 * 1) * ( 3 * 2 * 1) * (2 * 1 ) 24
A palavra MATEMÁTICA possui 151200 anagramas.
Exemplo 5
Quantas palavras de 3 letras podemos formar com as letras O, L e A? Quais são essas palavras? As palavras não precisam necessariamente terem siginificado.
A quantidade de palavras será dada por 3!
3 * 2 * 1 = 6 palavras
As palavras são:
OLA
OAL
ALO
AOL
LOA
LAO
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1 Grupo Potência - Sistema GPI Data: 14/07/2017 APOSTILA – EsSA (Matemática II) FUTURO SARGENTO: ________________________________________________ Prof.: Sandro Carvalho Analise Combinatória e Probabilidade Pouco conhecimento faz com que as pessoas se sintam orgulhosas. Muito conhecimento, que se sintam humildes. É assim que as espigas sem grãos erguem desdenhosamente a cabeça para o Céu, enquanto que as cheias as baixam para a terra, sua mãe. Permutação e Permutação com Repetição 01 – Quantos são os anagramas da palavra ESTUDAR? a) 720 b) 5020 c) 3260 d) 1820 e) 540 02 – [EEAR] O número de anagramas da palavra SARGENTO que começam com S e terminam com O é: a) 1540 b) 720 c) 120 d) 24 03 – Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nessa ordem. a) 60 b) 24 c) 120 d) 20 e) 80 04 – Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação3a baixo. Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a: a) 20 b) 15 c) 12 d) 10 05 – [EsSA "Música e Saúde"] Assinale a alternativa cuja palavra possui 60 anagramas. a) AMEIXA b) BRANCO c) BANANA d) PARQUE e) PATETA 06 – [EEAR] Se permutarmos as letras da palavra TELHADO, quantas começarão e acabarão por vogal? a) 720 b) 120 c) 1080 d) 2160 07 – [EEAR] O número de anagramas da palavra ESCOLA, que começam por S e terminam por L, é: a) 720 b) 120 c) 24 d) 12 08 – [EsSA] Com as letras da palavra SARGENTO foram escritos todos os anagramas iniciados por vogais e com as consoantes todas juntas. Quantos são esses anagramas? a) 120.960 c) 40.320 c) 2.160 d) 720 e) 120 09 – Um casal tem três meninos e duas meninas. De quantos modos distintos pode ser ocorrido a ordem dos nascimentos das crianças? a) 6 b) 8 c) 5 d) 10 e) 12 10 – Calcule o número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam com a letra O. a) 9400 b) 9600 c) 9800 d) 10200 e) 10800 11 – O número de anagramas que podem ser formados com as letras de PAPAGAIO, começando por consoante e terminando por O, é igual a: a) 120. b) 180. c) 240. d) 300. e) 320. 12 – Uma urna contém duas bolas brancas e algumas bolas pretas. Retirando-se todas as bolas da urna, uma de cada vez e sem reposição, o número de sequências possíveis de cores, na ordem de retirada, é 21. Determine o número de bolas pretas que essa urna contém. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 13 – Uma urna contém 8 bolas: 5 azuis e 3 cinzas. De quantas maneiras é possível retirar, uma a uma, as 8 bolas dessa urna? a) 56; b) 64; c) 128; d) 150. e) 162 14 – Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas possíveis é: a) 10 b) 24 c) 30 d) 60 e) 120 15 – Uma cesta contém 10 frutas: 6 maçãs e 4 peras. Daniela quer retirar, uma a uma, as 10 frutas dessa cesta. De quantas maneiras ela poderá retirá-las? a) 200 b) 210 c) 220 d) 230 e) 240 16 – [EsSA] O número de anagramas diferentes com as letras da palavra MILITAR que não possuem consoantes consecutivas que se pode obter é: a) 60 b) 72 c) 120 d) 186 e) 224 17 – As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73a palavra nessa lista é: a) PROVA b) VAPOR c) RAPOV d) ROVAP e) RAOPV 18 – Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os valores de x e y são, respectivamente: a) 48 e 36. b) 48 e 72. c) 72 e 36. d) 24 e 36. e) 72 e 24. 2 19 – [EsPCEx] Se todos os anagramas da palavra ESPCEX forem colocados em ordem alfabética, a palavra ESPCEX ocupará, nessa ordenação, a posição a) 144 b) 145 c) 206 d) 214 e) 215 20 – [EsPCEx] Permuta-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. A soma de todos os números assim formados é igual a: a) 1.000.000 b)1.111.100 c) 6.000.000 d) 6.666.000 e) 6.666.600 21 – [Simulado - 2013] Considere os anagramas a partir da palavra CONUISTS. Quantos anagramas existem com a letra C antes da Letra A? a) 5040 b) 161.280 c) 362.080 d) 100,800 e) 181.440 22 – [EsSA] Quantos anagramas da palavra CONSOANTES podem ser formados com as vogais juntas e em ordem alfabética? a) !2!2!2 !10 b) !2!2 !10 c) !3!7 !10 d) !2!2!2 !7 e) !2!2 !7 23 – [EsSA "Música e Saúde"] Colocando-se em ordem alfabética os anagramas da palavra FUZIL, que posição ocupará o anagrama ZILUF. a) 103 b) 104 c) 105 d) 106 e) 107 Combinação e Arranjo 24 – [EEAR] Dentre 8 candidatos, 5 devem ser selecionados para compor uma comissão de formatura O número de formas distintas de se compor essa comissão é: a) 56 b) 48 c) 46 d) 38 25 – [EEAR] Um sargento da FAB tem 8 soldados sob seu comando. Tendo que viajar a serviço, deixa a seus comandados uma determinação: “Ao chegar, quero encontrar no mínimo um de vocês no pátio, fazendo Educação Física.” Dessa forma, o sargento tem ______ maneiras de encontrar seus soldados fazendo Educação Física. a) 256 b) 255 c) 64 d) 16 26 – [EEAR] Uma lanchonete tem em sua dispensa 5 espécies de frutas. Misturando 3 espécies diferentes ,pode- se preparar _____ tipos de suco a) 20 b) 15 c) 10 d) 8 27 – [EEAR] Ao calcular 3 10 3 10 C A , obtém-se: a) 3! b) 4! c) 5! d) 5! 28 – [EEAR] Sendo, na análise combinatória, A (arranjos simples), P (permutações simples) e C ( combinações simples), o valor da expressão A5,2 + P3 − C5,3 é a) 16. b) 1. c) 6. d) 56. 29 – [EsSA] Um colégio promoveu numa semana esportiva um campeonato interclasses de futebol. Na primeira fase, entraram na disputa 8 times, cada um deles jogando uma vez contra cada um dos outros times. O número de jogos realizados na 1ª fase foi a) 8 jogos b) 13 jogos c) 23 jogos d) 28 jogos e) 35 jogo 30 – [EsSA] Para o time de futebol da EsSA, foram convocados 3 goleiros, 8 zagueiros, 7 meios de campo e 4 atacantes. O número de times diferentes que a EsSA pode montar com esses jogadores convocados de forma que o time tenha 1 goleiro, 4 zagueiros, 5 meios de campo e 1 atacante é igual a a) 84. b) 451. c) 981. d) 17 640. e) 18.560. 31 – [EEAR] Dentre 8 candidatos, 5 devem ser selecionados para comporem uma comissão de formatura. O número
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