Quantos lados possui um polígono regular de ângulo interno medindo 108°?

Questão 3

Das alternativas a seguir, marque aquela que é incorreta.

A) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.

B) Todo polígono convexo possui diagonal.

C) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.

D) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que 180º.

E) O pentágono possui 5 diagonais.

Questão 11

Sobre o conceito de polígono convexo e não convexo, marque a alternativa correta.

A) Um polígono é convexo quando todos os seus lados e também os seus ângulos são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.

B) Um polígono é convexo quando possui diagonais.

C) Um polígono é convexo quando, dados quaisquer dois pontos (A e B) pertencentes ao polígono, o segmento de reta AB também pertence ao polígono.

D) Um polígono é convexo quando a quantidade de diagonais é igual à quantidade de lados.

Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa B.

Utilizando a fórmula da diagonal, temos que d = n.

O polígono que possui 5 lados é o pentágono.

Resposta Questão 2

Alternativa E.

Sabemos que os divisores de 70 são:

D(70) = 1, 2, 5, 7,10,14, 35, 70.

Dos valores possíveis, o único que faz com que a equação seja verdadeira é n = 10, pois:

10 · (10 – 3 ) = 10 · 7 = 70

Resposta Questão 3

Alternativa B. O único polígono que não possui diagonal é o triângulo, o que torna a alternativa B a única incorreta.

Resposta Questão 4

Alternativa E. Esse polígono possui oito lados. Para calcular o valor de cada um dos ângulos, vamos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos.

Si = (n – 2) · 180

Si = ( 8 – 2) · 180

Si = 6 · 180

Si = 1080

Como o polígono é regular, todos os ângulos são congruentes, então a medida de cada um é igual a:

1.080 : 8 = 135º

Resposta Questão 5

Alternativa B.

Utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:

Si = ( n – 2 ) 180

720 = ( n – 2) 180

720 / 180 = n – 2

4 = n – 2

n = 4+2

n = 6

Resposta Questão 6

Alternativa D. A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360º, então, para descobrir o número de lados, faremos 360 : 20 = 18.

Como esse polígono possui 18 lados, então basta substituir na fórmula das diagonais.

Resposta Questão 7

Alternativa B.

Sabendo que a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180º, sejam a, b e c os ângulos internos do triângulo, então:

a + b + c = 180

Por proporção, temos que:

a = 3k

b = 5k

c = 7k

Assim sendo, podemos escrever que:

3k + 5k + 7k = 180

15k = 180

k = 180/ 15

k =12

O maior ângulo é 7k → 7 ·12 = 84.

Resposta Questão 8

Alternativa B.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.

3x – 45 + 2x + 10 + 2x + 15 + x + 20 = 360

8x – 10 = 360

8x = 360

x = 360 : 8

x = 45

O menor ângulo é 45 + 20 = 65º.

Resposta Questão 9

Alternativa C.

Analisando a figura, é possível perceber que ela possui 6 lados. Então, utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:

Si = ( n – 2 ) 180º

Si = (6 – 2 ) 180º

Si = 4 · 180º

Si = 720º

A medida de um ângulo é, portanto, 720 : 6 = 120º.

Resposta Questão 10

Alternativa D.

35 – 20 = 15

Resposta Questão 11

Alternativa C.

Resposta Questão 12

Alternativa E. Para ser regular, os ângulos e os lados têm que ser congruentes. Dos polígonos listados, o único que é regular é o quadrado, que possui lados e ângulos congruentes.

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Matemática

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Raimunda Silveira De Souza Carneiro Eem

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mais próxima de cada ângulo externo do 
heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é:
a) 60° d) 83°
b) 45° e) 51°
c) 36°
260. FGV-SP
Analise as intruções a seguir.
I. Andar 4 metros em linha reta.
II. Virar x graus à esquerda.
III. Andar 4 metros em linha reta.
IV. Repetir y vezes os comandos II e III.
Se as instruções são utilizadas para a construção de 
um pentágono regular, pode-se afirmar que o menor 
valor positivo de x · y é:
a) 144 d) 288
b) 162 e) 324
c) 216
261. Uneb-BA
Dizemos que um polígono pavimenta ou ladrilha um plano 
se cópias congruentes desse polígono, adaptadas lado a 
lado, cobrem o plano sem deixar buracos e sem a necessi-
dade de superposições. Assinale a alternativa que contém 
um polígono que pavimenta ou ladrilha um plano.
a) pentágono
b) eneágono
c) pentadecágono
d) hexágono
e) octógono
262. UFSCar-SP
A figura 1 representa um determinado encaixe no plano 
de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexágono, 2 triân-
gulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes.
Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados 
perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado 
na figura 2, é correto dizer que
a) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos 
isósceles de ângulo da base medindo 15°.
b) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos 
isósceles de ângulo da base medindo 30°.
c) 2 são triângulos isósceles de ângulo de base me-
dindo 50° e 4 são triângulos isósceles de ângulo 
da base medindo 30°.
141
PV
2
D
-0
7
-M
A
T-
2
4
d) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos 
retângulos isósceles.
e) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos 
escalenos.
263.
Qual o polígono regular que tem ângulos internos 
com 156°?
264.
O ângulo externo de um polígono regular é igual ao 
dobro do seu ângulo interno.
Determine o número de diagonais desse polígono.
265. Fuvest-SP
Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. A 
medida, em graus, do ângulo α é:
 
a) 32°
b) 34°
c) 36°
d) 38°
e) 40°
266. Fuvest-SP
Os pontos B, P e C pertencem a uma mesma circunfe-
rência γ e BC é lado de um polígono regular inscrito em 
γ. Sabendo que o ângulo BPC mede 18°, podemos con-
cluir que o número de lados de um polígono é igual a:
 
a) 5
b) 6
c) 7
d) 10
e) 12
267. Mackenzie-SP
Na figura, ABCDE é um pentágono regular, EF é 
paralelo a AB e BF é paralelo a AE. A medida do 
ângulo α é:
 
a) 72°
b) 54°
c) 60°
d) 76°
e) 36°
268.
Determine o número de lados de um polígono regular 
convexo cujo ângulo externo é a quinta parte do 
ângulo interno.
269.
Num polígono regular a medida de cada ângulo inter-
no excede a medida de cada ângulo externo em 108°. 
Quantas diagonais tem esse polígono?
270. Mackenzie-SP
Na figura, α = 30°, O é o centro da circunferência e AB 
é o lado do polígono regular inscrito na circunferência. 
Se o comprimento da circunferência é 4π, a área desse 
polígono é:
a) 4 3
b) 6 3
c) 8 3
d) 12 3
e) 16 3
271. 
Determine a medida do ângulo formado pelos pro-
longamentos dos lados AB e CD de um polígono 
ABCDE... regular de 30 lados.
272.
As mediatrizes de dois lados consecutivos de um 
polígono regular formam um ângulo de 18°.
Determine o número de diagonais desse polígo-
no.
273.
Dado um decágono regular ABCDE..., as bissetrizes 
internas dos ângulos A e D interceptam-se no ponto 
P; então, a medida do ângulo APD é:
a) 68° 
b) 82° 
c) 108°
d) 112°
e) 120°
274.
Na figura, AB é lado do pentadecágono regular e 
PQ o lado do hexágono regular, inscritos na mesma 
circunferência. Determine AQP, sendo AB e PQ 
paralelos.
142
275. UFRR
Na figura abaixo, AD é o diâmetro da circunferência, 
a corda AB é o lado de um pentágono e o ângulo A do 
triângulo ABC mede 15°.
O ângulo obtuso que as bissetrizes internas dos ângu-
los B e C do triângulo ABC formam entre si é igual a:
a) 82° 30’ d) 98° 
b) 96° e) 98° 30’ 
c) 97° 30’
276.
Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são 
prolongados para formar uma estrela. Dê a expressão 
que fornece a medida de cada um dos ângulos internos 
das pontas da estrela.
277.
Os números de lados de três polígonos regulares são 
a, b e c e estão dispostos conforme figura a seguir:
a) Prove que 
1 1 1 1
2a b c
   .
b) Se um polígono regular tem 12 lados e outro 
tem 6 lados, quantos lados tem o terceiro po-
lígono?
278. ITA-SP
Considere três polígonos regulares tais que os núme-
ros que expressam a quantidade de lados de cada um 
constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que 
o produto destes três números é igual a 585 e que a 
soma de todos os ângulos internos dos três polígonos 
é igual a 3.780°. O número total das diagonais nestes 
três polígonos é igual a:
a) 63 d) 97
b) 69 e) 106
c) 90
279. UFG-GO
Mostre que, para revestir um piso com ladrilhos cuja 
forma é um polígono regular de n lados, é necessário 
que 
2
2
n
n seja um número inteiro.
280.
Na figura, ABCDE é um pentágono regular e AEF é um 
triângulo eqüilátero. Seja P um ponto sobre o segmento 
BF, no interior de ABCDE, e tal que o ângulo PEA mede 
12°, como mostra a figura abaixo.
Calcule a medida, em graus, do ângulo PAC.
Capítulo 6 
281. 
Determine o valor de x nos casos a seguir, sendo r, s 
e t retas paralelas.
a) b) 
143
PV
2
D
-0
7
-M
A
T-
2
4
c) 
d) 
282.
Nas figuras, as retas r, s e t são paralelas. Determine 
os valores de x e y.
a) 
b) 
c) 
283. UFR-RJ
Pedro está construindo uma fogueira representada 
pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 
42 e que as retas r, s e t são paralelas.
A diferença x – y é
a) 2. d) 10. 
b) 4. e) 12. 
c) 6.
284. 
Na figura as retas r, s, t e u são paralelas. Sendo AB = 8; 
BC = 9; CD = 10; CG = x; CF = y e EF = k (x + y), 
determine k.
a) 8
19
 d) 17
27
b) 9
19
 e) 8
27
c) 1
2
285. 
Três terrenos têm frente para a rua A e para rua B, 
como mostra a figura. As divisas laterais são perpen-
diculares à rua A. Qual a medida da frente para a rua 
B de cada lote, sabendo-se que a frente total para 
essa rua é 120 m?
286. Unicamp-SP
A figura mostra um segmento AD dividido em três par-
tes: AB = 2 cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento 
AD’ mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas 
a DD'. Determine os comprimentos dos segmento 
AB B C e C D', ' ' ' '.
287. 
Um feixe de quatro paralelas determina sobre uma 
transversal três segmentos que medem 5 cm, 6 cm e 
9 cm, respectivamente. Determine os comprimentos 
dos segmentos que esse mesmo feixe determina so-
bre uma outra transversal, sabendo que o segmento 
compreendido entre a primeira e a quarta paralela 
mede 60 cm.
144
288. UFMG
Observe a figura. 
O triângulo ABC é equilátero, AD DE EF FB= = = , 
DG EH FI BC// // // , DG EH FI+ + = 18.
O perímetro do triângulo ABC é:
a) 12 d) 48
b) 24 e) 54
c) 36
289. 
No trapézio da figura AE = 4 cm, ED = 8 cm, 
AB = 3 cm e BF = 5 cm. Calcule CD.
290. 
Se AS é bissetriz de A, calcule x nos casos:
a) 
b) 
c) 
291. 
Na figura, calcule os valores de x e y, respectivamente, 
sendo BS a bissetriz interna do ângulo B .
292. 
O perímetro de um triângulo ABC é 100 cm. A bissetriz 
interna do ângulo A divide o lado oposto BC em dois 
segmentos de 16 cm e 24 cm. Determine os lados 
desse triângulo.
293. 
Determine a medida do lado AB do DABC sabendo que 
AS é bissetriz, e que o perímetro do DABC mede 75 cm.
294. UFRGS-RS
Na figura 1, BC é paralelo a DE e, na figura 2, DE é 
paralelo a . Então, x e y valem, respectivamente:
a) ab e a
b
 d) b
a
 e ab 
b) ab e b
a
 e) a
b
 e 1
b
c) a
b
 e ab
295. Mackenzie-SP
Na figura temos r//r’ e s//s’. Então, para todo a > 1, o 
valor da abscissa x é:
145
PV
2
D
-0
7
-M
A
T-
2
4
a) 2a d) a + 1
b) a2 e) a + 1
c) (a + 1)2
296. Unicamp-SP
No triângulo abaixo, obter a medida AB.
297. 
No triângulo ABC da figura, AB = 5 cm, AC = 10 cm 
e BC = 9 cm. Sendo AD bissetriz do ângulo BAC e 
DE AB// , calcule DE.
298. 
Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A; 
AM é a mediana relativa à hipotenusa; AD é a bissetriz 
do ângulo BÂC. Então, DM vale:
a) 5/2 d) 5/7 
b) 2/5 e) 1 
c) 7/20
299. 
No triângulo

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Qual o polígono regular onde a medida de cada ângulo interno é 108?

Quantos lados possui um polígono regular de um ângulo interno medindo 108?

Qual polígono regular tem ângulo interno de 180 graus?

Quantos lados tem um polígono regular cujo o ângulo interno mede?