Quantos números de dois algarismos podemos formar sabendo que o algarismo das dezenas corresponde a um múltiplo de 2?

a) Na palavra UFPEL, que possui 5 letras, temos duas vogais (U,E). Segundo o exercício, deveremos ter estas vogais sempre juntas, restando 3 letras para combinarmos com estas vogais.

Com isso, se permutarmos estas 3 consoantes (F,P,L), teremos;

P3 = 3! = 3.2.1  =6

Como são duas vogais, teremos duas maneiras de permutá-las entre si (UE ou EU), entretanto devemos verificar as possíveis posições destas vogais na palavra.

_____   _____   _____   _____   _____  

Como as vogais têm que estar juntas, consideraremos uma só letra. Sendo assim, ao invés de termos 5 letras, as vogais se tornarão uma só, com isso, teremos 4 letras.

_____   _____   _____   _____, sendo que as vogais poderão ocupar qualquer um desses 4 espaços, ou seja, existem 4 possibilidades para as vogais aparecerem nas combinações.

Uma outra forma de analisar essa possibilidade para as vogais, seria descrever os possíveis casos.

   U   _  __E _   _____   _____   _____;
_____      U   _       E   _    _____   _____;
   _____   _____      U   _       E   _    _____;
  _____   _____   _____      U   _       E   _;

Ou seja, 4 possibilidades.

Finalizando as contas teremos a seguinte expressão para as possibilidades.

Possibilidades = 4.P2 .P3

P3 = Permutação das letras (FPL) ; P2 = Permutação das vogais (U,E)

Possibilidades = 4.P2 .P3 = 4.2.3 = 48

b) As letras PEL tornam-se uma única palavra, sem permutação entre as letras, pois elas devem estar juntas e na mesma ordem, restando apenas UF para permutarmos.
Devemos, então, calcular quantas maneiras diferentes teremos para combinar as letras PEL em toda a palavra.

PEL ____ ____
____ PEL ____
____ ____ PEL

Ou seja, há três combinações para as letras PEL nesta palavra.

Possibilidades = 3.P2  

P2 = Permutação das letras (UF)

Possibilidades = 3 .P2 = 3.2 = 6
Temos então 6 possibilidades.
 

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79 
 5 . 4 . 3 = 60 maneiras (D) 
Sanduíche Refrigerante Sorvete 
 
06. Quantos números de dois algarismos podemos formar 
sabendo que o algarismo das dezenas corresponde a um múltiplo 
de 2 ( diferente de zero) e o algarismo das unidades a um 
múltiplo de 3? 
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 
Múltiplos de 2 (diferente de zero) = {2, 4, 6, 8} 
Múltiplos de 3= {0, 3, 6, 9} 
 4 . 4 = 16 números (D) 
Dezenas Unidades 
 
Para a resolução das questões de 07 a 11, considere 
somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 : 
 
07. Quantos números de 2 algarismos podemos formar? 
a) 20 b) 26 c) 25 d) 30 e) 36 
Dezenas: 6 possibilidades. 
Unidades: também 6 possibilidades (os números podem ser 
repetidos, pois não há a palavra “distintos” no enunciado). 
 6 . 6 = 36 números (E) 
Dezenas Unidades 
 
08. Quantos números pares de 2 algarismos podemos formar? 
a) 18 b) 17 c) 16 d) 15 e) 14 
Unidades: 3 possibilidades (para ser par tem que terminar em 
2, 4 ou 6) 
Dezenas: 6 possibilidades (os números podem ser repetidos, 
pois não há a palavra “distintos” no enunciado). 
 6 . 3 = 18 números (A) 
Dezenas Unidades 
 
09. Quantos números ímpares de 2 algarismos podemos formar? 
a) 18 b) 17 c) 16 d) 15 e) 14 
Unidades: 3 possibilidades (para ser ímpar tem que terminar 
em 1, 3 ou 5) 
Dezenas: 6 possibilidades (os números podem ser repetidos, 
pois não há a palavra “distintos” no enunciado). 
 6 . 3 = 18 números (A) 
Dezenas Unidades 
 
10. Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar? 
a) 20 b) 26 c) 25 d) 30 e) 36 
Dezenas: 6 possibilidades. 
Unidades: A palavra distintos, significa que os algarismos não 
podem ser repetidos. Como um número já foi escolhido para as 
dezenas, restam 5 possibilidades. ( A6,2) 
 6 . 5 = 30 números (D) 
Dezenas Unidades 
 
11. Quantos números de 2 algarismos pares podemos formar? 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 
Os dois algarismos tem que ser pares, ou seja, formados pelos 
algarismos 2, 4 ou 6. 
Dezenas:3 possibilidades 
Unidades: 3 possibilidades (eles podem ser repetidos, não há a 
palavra “distintos”). 
 3 . 3 = 9 números (C) 
Dezenas Unidades 
 
12. Quantas palavras (com significado ou não) podemos formar 
com as letras A, L e I? 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 
Permutação de 3 letras: P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 (A) 
 
13. Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO que 
começam com P e terminam com O? 
A) 20 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30 
P _4 3 _2 _1 O 
Permutar 4 letras não fixas: 
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 anagramas (B) 
 
14. Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO que P e O 
aparecem nos extremos? 
a) 24 b) 48 c) 72 d) 96 e) 120 
P _4 3 _2 _1 O ou O 4 3 _2 _1 P 
Temos: 2.P4 = 2.(4 . 3 . 2 . 1) = 48 anagramas (B) 
 
15. Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que as 
letras à e O aparecem juntas e nessa ordem (ÃO)? 
a) 40 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120 
É como se a expressão ÃO fosse uma letra só PERD(ÃO) assim 
temos que permutar 5 letras não fixas. 
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 anagramas (E) 
 
16. Quantos anagramas distintos podem ser feitos com as letras 
da palavra BANANA? 
a) 6 b) 60 c) 120 d) 360 e) 720 
Temos 6 letras = P6 , porém temos 3 As repetidos devemos 
dividir por P3 e 2 Ns repetidos devemos dividir por P2: 
 P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3! = 6 . 5 . 4 = 60 (B). 
P3 . P2 3! . 2! 3! . 2! 2 
 
17. Quantos anagramas diferentes podem ser formados com as 
letras da palavra ESAF? 
a) 20 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30 
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 anagramas (B) 
 
18. Quantos anagramas da palavra ESAF começam com uma 
consoante e terminam com uma vogal? 
a) 48 b) 24 c) 16 d) 12 e) 8 
1ª letra = Consoante = 2 possibilidades (S ou F) 
4ª letra = Vogal = 2 possibilidades (E ou A) 
2ª letra = restam 2 possibilidades. 
3ª letra = resta 1 possibilidade. 
 2 . 2 . 1 . 2 = 8 (E) 
consoante 2ª letra 3 letra vogal 
 
19. Em quantos anagramas da palavra ESAF as letras S e A 
aparecem juntas e nessa ordem? 
a) 6 b) 8 c) 12 d) 16 e) 24 
É como se a expressão SA fosse uma letra só E(SA)F assim 
temos que permutar 3 letras não fixas. 
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 anagramas (A) 
 
20. Em quantos anagramas da palavra ESAF as letras S e A 
aparecem juntas e em qualquer ordem? 
a) 6 b) 8 c) 12 d) 16 e) 24 
É como se a expressão SA fosse uma letra só E(SA)F assim 
temos que permutar 3 letras não fixas. Porém a ordem não é 
especificada podemos então, ter também AS, E(AS)F e assim 
temos que multiplicar por 2. 
2. P3 = 2. 3! = 2( 3 . 2 . 1) = 12 anagramas (C) 
 
21. Em quantos anagramas da palavra PROVA as letras P e R 
não estão juntas? 
a) 12 b) 24 c) 48 d) 72 e) 120 
Cálculo do Total de anagramas: 
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 anagramas 
Total de anagramas que P e R aparecem juntas: 
É como se a expressão PR fosse um letra só (PR)OVA assim 
temos que permutar 4 letras não fixas. Porém a ordem não é 
importante assim podemos ter também RP, (RP)OVA e assim 
temos que multiplicar por 2. 
2. P4 = 2. 4! = 2(4. 3 . 2 . 1) = 48 anagramas 
Agora é só diminuir os dois valores: 120 – 48 = 72 (D)

Qual é o total de números de 2 algarismos distintos sabendo que o algarismo das dezenas obviamente deve ser não nulo?

Quantos números de dois algarismos podem ser formados nos quais o algarismo das dezenas é um número ímpar maior que 1?

Quantos números de dois algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto 1 2 3 é 4?

Quantos números de dois algarismos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 é 5?