Quantos números inteiros entre 100 a 300 tem somente algarismos ímpares?

[Dúvida] - Soma de números

Consideramos os números inteiros de 1 a 1000 inclusive. Somemos entre si todos os que tem todos os seus dígitos pares e somemos entre si todos os que tem todos seus dígitos ímpares. Qual soma é maior?

Gabarito:

Nem sei o que fazer

Re: [Dúvida] - Soma de números

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,31,33,35,37,39,51,53,55,57,59,71,73,75,77,79,91,93,95,97,99
2,4,6,8,22,24,26,28,42,44,46,48,62,64,66,68,82,84,86,88

Impares: 30
Pares: 20

Ou seja, até o 100, temos 10 impares a mais.
Temos 5 algarismo impares e 4 pares. Ou seja, temos mais numeros impares do que pares até qualquer numero natural.

Até mais!

Re: [Dúvida] - Soma de números

Um número ímpar é da forma: 2k+1

Um número par é da forma: 2k

Portanto:

Se somarmos todos os números de 1 até 1000(inclusive) notamos que:

500 números pares

500 números ímpares

Sequência dos números ímpares: 1,3,5.....999 ---> (1)

Sequência dos números pares: 2,4,6....1000 ---> (2)

Sn=(a1+an)*n/2

Onde:

an=a1+(n-1)*r

r(par)=2k

r(ímpar)=2k+1

Fazendo isso para números ímpares e pares, notamos que:

A soma dos ímpares sera maior.

Re: [Dúvida] - Soma de números

na verdade nenhum dos metodos está certo, o primeiro é muito incerto e o segundo ta com a interpretação errada

phellype0Iniciante

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Re: [Dúvida] - Soma de números

o certo seria considerar cada caso: numeros com um algarismo, com dois e com tres

para numeros com algarismos impares é facil, pra cada algarismo impar fixado na casa das dezenas, temos 5 possibilidades de numeros nas unidades, somando no total 5S*10 + 5S pros numeros de 2 algarismos, sendo S=1+3+5+7+9. Analogamente, temos 25S*100+25S*10+25S pros de 3 algarismos e S pra um algarismo. No total, somando isso, da 70875 pra soma com os impares

A logica é a mesma pra com algarismos pares, mas tomando cuidado com o zero na frente, dando uma soma de 55500

Ja conferi tudo numa calculadora, deu exatamente isso, pode testar

phellype0Iniciante

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Re: [Dúvida] - Soma de números

PedroX escreveu:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,31,33,35,37,39,51,53,55,57,59,71,73,75,77,79,91,93,95,97,99
2,4,6,8,20,22,24,26,28,40,42,44,46,48,60,62,64,66,68,80,82,84,86,88

Ímpares: 30
Pares: 24

Continuando, vemos que os ímpares serão os mesmos de antes para 1xx, 3xx, 5xx, 7xx e 9xx excetuando os x0x, e os pares serão os mesmos de antes incluindo para 2xx, 4xx, 6xx e 8xx e também 200, 400, 600 e 800.

A soma para os ímpares será: S + (100*25 + S - 25) + (300*25 + S - 25) + (500*25 + S - 25) + (700*25 + S - 25) + (900*25 + S - 25)

A soma para os pares será: T + (200*24 + T) + (400*24 + T) + (600*24 + T) + (800*24 + T) + (200+400+600+800)

Em que S é a soma dos que têm somente ímpares e são menores que 100 e T é a soma dos que têm somente pares e são menores que 100.

Os resultados serão então:

S = 25 + (50 + 25) + (150 + 25) + (250 + 25) + (350 + 25) + (450 + 25) = 1250+150 = 1400
T = 20 + (100 + 20) + (200 + 20) + (300 + 20) + (400 + 20) = 1000+100 = 1100

A soma para os ímpares será: 6S + (99*25) + (299*25) + (499*25) + (699*25) + (899*25) = 8400 + 25*(2495) = 70775

A soma para os pares será: T + (200*24 + T) + (400*24 + T) + (600*24 + T) + (800*24 + T) + (200+400+600+800) = 5T + 24*2000 + 2000 = 5500 + 48000 + 2000 = 55500

Re: [Dúvida] - Soma de números

phellype0 escreveu:o certo seria considerar cada caso: numeros com um algarismo, com dois e com tres

para numeros com algarismos impares é facil, pra cada algarismo impar fixado na casa das dezenas, temos 5 possibilidades de numeros nas unidades, somando no total 5S*10 + 5S pros numeros de 2 algarismos, sendo S=1+3+5+7+9. Analogamente, temos 25S*100+25S*10+25S pros de 3 algarismos e S pra um algarismo. No total, somando isso, da 70875 pra soma com os impares

A logica é a mesma pra com algarismos pares, mas tomando cuidado com o zero na frente, dando uma soma de 55500

Ja conferi tudo numa calculadora, deu exatamente isso, pode testar

O que você disse me fez rever minha resposta inicial. Só tem um adendo que a resposta para os ímpares é 70775, testado via código.

Re: [Dúvida] - Soma de números

Acho que esqueci algum detalhe, mas a lógica é essa aí mesmo, pra tanto que a soma dos pares tambem deu 55500 pra mim, e a dos impares errei por pouco

phellype0Iniciante

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