A parte da Matemática responsável pelo agrupamento de elementos é denominada Análise Combinatória. Ao realizar agrupamentos de elementos devemos analisar as condições determinadas. Por exemplo, em algumas situações não devem ocorrer a presença de termos repetidos, e em outros casos, essa restrição não é imposta. Esse tipo de agrupamento é resolvido através do princípio multiplicativo, que consiste na multiplicação das possibilidades de cada posicionamento. Show
Exemplo 1 Utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, forme números de 3 algarismos, respeitando as seguintes condições: a) os números podem ser repetidos centenas dezenas unidades Podemos utilizar 5 possibilidades na casa das centenas, 5 na casa das dezenas e 5 na casa das unidades. 5 * 5 * 5 = 125 números b) Números distintos centenas dezenas
unidades Utilizaremos 5 possibilidades na casa das centenas, 4 na casa das dezenas e 3 na casa das unidades. 5 * 4 * 3 = 60 números Observe que na situação envolvendo números distintos, as possibilidades de posicionamento da casa das centenas, dezenas e unidades foram diferentes. Essa condição anula a possibilidade de ocorrer números iguais, condicionando a multiplicação, a fornecer o resultado de forma exata. Exemplo 2 Uma senha de 6 dígitos deve ser escolhida com a utilização dos algarismos representantes da base decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. A condição estabelecida informa que os números precisam ser distintos, assegurando senhas complexas. Quantas senhas podem ser formadas? 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 151.200 Podem ser formadas 151.200 senhas. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) A permutação com repetição é um tipo de agrupamento estudado na Análise Combinatória. Calcular a permutação é calcular a quantidade de reordenamentos possíveis que podemos formar com um conjunto finito de elementos. Quando entre esses elementos existe uma repetição, ou seja, quando há elementos repetidos nesse conjunto, temos uma permutação com repetição. Saiba mais: Arranjo com repetição — os reagrupamentos ordenados que podemos formar com parte dos elementos de um conjunto Tópicos deste artigo
Resumo sobre permutação com repetição
\(P_n^{k_1,k_2,…k_i }=\frac{n!}{k_1 !⋅k_2 !⋅…⋅k_i !}\)
Permutação com repetiçãoPermutação com repetiçãoconsiste em todos os reordenamentos que podemos fazer com um conjunto de n elementos, sendo que há repetição entre eles. Podemos perceber a presença da permutação com repetição em problemas envolvendo senhas, algarismos numéricos, anagramas de palavras que possuem letras repetidas, entre outros.
Quais são os números de 4 algarismos que podemos formar utilizando {1, 1, 5, 6}? Resolução: Note que temos uma repetição entre os elementos que vão compor o número. O algarismo 1 aparece duas vezes, então vamos listar os números possíveis: 1156, 1165, 1561, 1651, 5611, 6511, 5116, 6115, 5161, 6151, 1615, 1516 Há 12 números possíveis. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Fórmula da permutação com repetiçãoNo estudo da análise combinatória, muitas vezes o interesse não está na lista de todos os reordenamentos possíveis, mas sim na quantidade de reordenamentos que podem ser formados. Para calcular a quantidade de permutações possíveis de um conjunto que possui repetições, ou seja, para calcular a permutação com repetição de um conjunto que possui n elementos, sendo que um elemento se repete k1 vez, outro elemento se repete k2 vezes e assim sucessivamente, utilizamos a fórmula: \(P_n^{k_1,k_2,…k_i }=\frac{n!}{k_1 !⋅k_2 !⋅…⋅k_i !}\) Como calcular a permutação com repetição?Para calcular a permutação com repetição, basta encontrar o valor de n, ou seja, quantos elementos há no conjunto, e saber quantas vezes cada elemento se repete.
Utilizando o exemplo anterior sobre os algarismos {1, 1, 5, 6}, calcularemos o total de permutações possíveis utilizando a fórmula. Resolução: Sabemos que há 4 elementos, logo n = 4. Além disso, sabemos que o único algarismo que se repete é o 1, aparecendo 2 vezes, logo k = 2. Portanto: \(P_4^2=\frac{4!}{2!}\) Então temos que: \(P_4^2=\frac{24}2=12\) Como vimos, há 12 permutações possíveis.
Quantos são os anagramas que podemos formar com a palavra MATEMÁTICA? Resolução: Para calcular a quantidade de anagramas possíveis, primeiramente contaremos quantas letras a palavra tem. No caso, n = 10. • A letra M repete 2 vezes. • A letra A repete 3 vezes. • A letra T repete 2 vezes. Assim, a quantidade de anagramas possíveis pode ser calculada por: \(P_{10}^{2,3,2}=\frac{10!}{2!3!2!}\) \(P_{10}^{2,3,2}=\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1⋅3⋅2⋅1⋅2⋅1}\) \(P_{10}^{2,3,2}= 151200\) Permutação com repetição x permutação simplesA diferença entre a permutação com repetição e a permutação simples é que na permutação simples temos mais possibilidades de agrupamentos, pois ela não tem repetição. A quantidade de números com três algarismos que podemos formar com os algarismos {1, 2, 2} é diferente da quantidade de números com três algarismos que podemos formar com os algarismos {1, 2, 3}. Acontece que quando há repetição, a inversão de números repetidos não gera novos agrupamentos. Já na permutação sem repetição, a inversão dos números será um novo agrupamento, pois a ordem desses números importa. Podemos perceber essa diferença entre permutação com repetição e permutação simples (sem repetição) com as fórmulas.
Saiba também: Combinação com repetição — a combinação em que os conjuntos formados admitem repetições de elementos Exercícios resolvidos sobre permutação com repetiçãoQuestão 1 O banco de Kárita pede para que ela crie uma senha formada só por números, com 6 algarismos. Para construir essa senha de forma que ela não esqueça, Kárita usará somente os algarismos existentes na data de nascimento do seu filho, sendo que ele nasceu no dia 24/08/20. Nessas condições, o número de senhas distintas que ela pode formar usando os 6 algarismos contidos na data de nascimento do seu filho é: A) 120 B) 180 C) 360 D) 450 Alternativa B Para calcular o número de senhas possíveis, calcularemos a permutação com repetição, pois há algarismos que se repetem. Os algarismos são {2, 4, 0, 8, 0, 2}, então temos que n = 6. Além disso, o algarismo 0 se repete 2 vezes, e o algarismo 2 se repete 2 vezes, então, substituindo na fórmula da permutação com repetição, temos que: \(P_6^{2,2}=\frac{6!}{2!2!}\) \(P_6^{2,2}=\frac{6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{2⋅1⋅2⋅1}\) \(P_6^{2,2}=180\) Questão 2 Durante um campeonato de vôlei, um time conseguiu 5 vitórias, 3 derrotas e 2 empates durante 10 partidas. De quantas maneiras distintas esse resultado pode ter ocorrido? A) 3528800 B) 30240 C) 15200 D) 7560 E) 2520 Resolução: Alternativa E Queremos encontrar todas os reordenamentos possíveis para as 5 vitórias, as 3 derrotas e os 2 empates. Logo, temos uma permutação com repetição: \(P_{10}^{5,3,2}=\frac{10!}{5!3!2!}\) \(P_{10}^{5,3,2}=\frac{10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1}{5⋅4⋅3⋅2⋅1⋅3⋅2⋅1⋅2⋅1}\) \(P_{10}^{5,3,2}=2520\) Por Raul Rodrigues de Oliveira Quantos são os números de 3 algarismos distintos que podemos formar utilizando os algarismos 0 2 3 7 8 é 9 quantos desses números são pares?Existem 52 números distintos de 3 algarismos e pares que podemos formar.
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0 2 5 7 8 é 9?Para o terceiro algarismo temos 04 possibilidades. Temos 120 possibilidades com o zero no último algarismo. Temos 300 possibilidades com os outros 3 números pares na última posição. Resposta: 420 possibilidades.
Quantos números com 3 algarismos diferentes podem ser formados com os algarismos 1 2 3 5 7 é 9?3 resposta(s)
Respostas: 336 possibilidades!
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 3 5 8?Podemos formar 120 números distintos.
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Quantos são os números de 3 algarismos que podemos formar utilizando os algarismos 0 2 3 5 é 8?
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