Um polígono é uma figura geométrica formada por segmentos de reta ligados um ao outro pelo seu ponto inicial e final. Para ser polígono, a figura deve ser fechada e os segmentos de reta que a compõem não podem se cruzar. São elementos pertencentes ao polígono: 1 – Segmentos de reta chamados de lados. Na figura, eles são AB, BC, … e HA; 2 – Pontos de encontro entre esses lados, isto é, os vértices. Na figura, são os pontos A, B, … e H; 3 – Ângulos internos do polígono. Na figura, é o ângulo de 135°; 4 – Ângulos externos do polígono. Na figura, é o ângulo de 45°; 5 – Diagonais. Na figura, são os segmentos pontilhados. A figura acima mostra que, partindo do vértice F, podem ser construídas cinco diagonais. Não podem ser construídas mais que cinco porque a diagonal é um segmento de reta que se inicia em um vértice de um polígono e termina em outro vértice não consecutivo ao vértice inicial do mesmo polígono. Dessa forma, para desenhar todas as diagonais de um polígono, basta ligar todos os seus vértices. Aqueles que já são lados não podem ser considerados diagonais. A figura seguinte mostra pontilhadas todas as diagonais de um octógono. Para saber quantas diagonais determinado polígono possui, podemos desenhá-las e contá-las ou apenas utilizar a fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono: D = n(n – 3) *n é o número de lados do polígono. Vamos testar a funcionalidade dessa fórmula. Vejamos o número de diagonais do quadrado: Um quadrilátero possui apenas duas diagonais. Vamos utilizar a fórmula para verificar essa informação: D = 4(4 – 3) D = 4·1 D = 2 Vejamos para o pentágono: Um pentágono possui cinco diagonais. Vejamos se a fórmula resulta nesse mesmo número: D = 5(5 – 3) D = 5·2 D = 10 D = 5 Vale ressaltar que desenhar um polígono que possui 25 lados não é tarefa fácil e desenhar suas 275 diagonais é uma tarefa mais difícil ainda. A contagem dessas diagonais pode ser muito confusa, mas o cálculo é exato e não oferece margem de erro. D = 25(25 – 3) D = 25·22 D = 25·11 D = 275 caucule o numero de diagonais de um poligono de: a) 21 lados b) 40 lados Vamos calcular o número de diagonais dos poligonos dados: a)
b)
Uma diagonal de um polígono é um segmento de reta entre dois vértices não consecutivos do polígono.
A fórmula para se calcular a quantidade de diagonais "D" que tem em um polígono de "n" lados é a seguinte: D = n ( n − 3 ) 2 {\displaystyle D={n(n-3) \over 2}} É necessário realçar que o triângulo não possui diagonais, e o pentágono é o único polígono, cujo número de diagonais é o mesmo que o número de lados.
Tendo o retângulo acima como base para o estudo da fórmula, isolamos (limitamos nossa atenção) a um dos vértices, tomemos, por exemplo, o vértice A. Para esse vértice, somente é possível fazer diagonal com outro vértice não adjacente a ele, nesse caso, o vértice C. Os vértices B e D devem ser desconsiderados pois formam com o A dois dos lados do polígono. Criamos uma fórmula que descreva a afirmação anterior: Seja P o número de diagonais possíveis ao vértice A, desconsiderando os 3 (três) vértices com os quais não é possível ligar uma diagonal, a saber: B, D e o próprio A. P = n − 3 {\displaystyle P={n-3}} Onde 'n' é o número de vértices do polígono. Aplicando essa fórmula ao retângulo acima, temos: P = 4 − 3 {\displaystyle P=4-3} portanto, para o vértice A uma só diagonal. Se temos uma fórmula que calcula o número de diagonais para um vértice do polígono, bastaria então multiplicar essa fórmula pelo número de vértices desse polígono para aplicá-la aos outros vértices, porém, o que se observa é que o resultado será sempre o dobro do número de diagonais do polígono, veja: d = n ( n − 3 ) {\displaystyle d=n(n-3)} d = 4 ( 4 − 3 ) = 4 {\displaystyle d=4(4-3)=4} Isso se deve ao fato que uma diagonal é sempre "compartilhada" por dois vértices, daí a necessidade de se dividir por 2. Então: d = n ( n − 3 ) 2 {\displaystyle d={n(n-3) \over 2}} ou ainda: d = n 2 − 3 n 2 {\displaystyle d={n^{2}-3n \over 2}} Fica fácil agora entender matematicamente o porquê do triângulo não ter diagonais, uma vez que serão desconsiderados sempre 3 vértices: o próprio e os dois adjacentes. Combinatoriamente, também é possível calcular o número de diagonais mediante o seguinte raciocínio: Para cada par de pontos, existe um segmento de reta que os contém. Assim, a combinação de n vértices dois a dois fornece o número de segmentos possíveis entre dois vértices do polígono - há de se retirar, obviamente, o número de lados do polígono, pois estes também são segmentos possíveis entre dois vértices. Assim, temos: d = C n , 2 − n = n ! 2 ! ( n − 2 ) ! − n = n 2 − 3 n 2 {\displaystyle d=C_{n,2}\ -n={n! \over 2!(n-2)!}-n={n^{2}-3n \over 2}} |