A regra de três é um método que utilizamos para encontrar valores desconhecidos quando estamos trabalhando com grandezas direta ou inversamente proporcionais. Esse método de resolução tem bastante aplicação não só na matemática, como na física, química e em situações constantes do dia a dia. O trabalho com grandezas é fundamental em várias áreas do conhecimento, e, na regra de três, é importante conseguir-se identificar grandezas que se relacionam de forma direta e grandezas que se relacionam de forma inversa. Show Leia também: Três erros mais cometidos na regra de três Grandezas direta e inversamente proporcionaisA comparação entre duas grandezas é bastante comum e necessária no cotidiano, e quando comparamos e verificamos sua proporção, podemos separá-las em dois casos importantes: grandezas diretamente proporcionais ou grandezas inversamente proporcionais.
Para resolver-se situações utilizando a regra de três, é fundamental que exista a proporcionalidade, além disso, é de grande importância a identificação da relação entre as grandezas. Os problemas que envolvem regra de três simples podem ser separados em dois casos, quando as grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Ao deparar-se com qualquer questão que possa ser resolvida com regra de três, seguimos os seguintes passos: 1º passo – Identificar as grandezas e construção da tabela. 2º passo – Analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º passo – Aplicar o método de resolução correto para cada um dos casos, e, por fim, resolver a equação.  Exemplo: Para revitalização de um parque, a comunidade organizou-se em um projeto conhecido como Revitalizar. Para que o projeto fosse eficiente, foram arrecadadas várias mudas frutíferas. Um planejamento para o plantio foi feito, e nele 3 pessoas trabalhavam no plantio e plantavam, por dia, 5 m². Devido à necessidade de um plantio mais eficiente, mais 4 pessoas, todas com o mesmo desempenho, comprometeram-se a participar da causa, sendo assim, qual será a quantidade de m² reflorestada por dia? As grandezas são pessoas e área reflorestada. Inicialmente havia 3 pessoas, e agora há 7. Inicialmente havia 5 m² de plantio por dia, porém não sabemos a quantidade de m² que será cultivada pelas 7 pessoas, então representamos esse valor por x. Agora é fundamental a comparação entre as duas grandezas. À medida que eu aumento o número de pessoas, a quantidade de m² reflorestada por dia aumenta na mesma proporção, logo, essas grandezas são diretamente proporcionais. Quando as grandezas são diretamente proporcionais, basta multiplicar os valores da tabela de forma cruzada, gerando a equação: Veja também: O que é proporção? Exemplo: Para a confecção das provas de um concurso, uma gráfica dispunha de 15 impressoras, que demorariam 18 horas para imprimir todas as provas. No preparo para o início do trabalho, foi diagnosticado que só havia 10 impressoras funcionando. Qual é o tempo, em horas, que será gasto para a confecção de todas as provas do concurso? As grandezas são quantidades de impressoras e tempo. Analisando-se as duas grandezas, é notório que se a quantidade de impressoras for diminuída, consequentemente, o tempo para fazer as impressões será aumentado, logo, essas grandezas são inversamente proporcionais. Quando as grandezas são inversamente proporcionais, é necessário inverter-se a fração (trocar numerador e denominador) de uma das frações, para, posteriormente, multiplicar-se cruzado. Dica: Em resumo, quando as grandezas são inversamente proporcionais, sempre invertemos uma das frações e multiplicamos cruzado — detalhe esquecido durante muitas resoluções de problemas e que faz muitos estudantes errarem ao esquecerem-se de analisar qual tipo de proporcionalidade (direta ou inversa) o problema está trabalhando. Regra de três simples e compostaExistem duas formas de aplicar-se a regra de três, a regra de três simples, quando o problema envolve duas grandezas, e a regra de três composta, quando o problema envolve mais grandezas. Então a regra de três composta nada mais é que uma extensão da regra de três simples quando há um número maior de grandezas, e, para compreendê-la, a regra de três simples é fundamental. Acesse também: Cálculo de porcentagem com regra de três Exercícios resolvidosQuestão 1 – Em uma granja com 800 frangos, 984 kg duram exatamente 10 dias. Caso a granja tivesse 200 frangos a mais, essa ração duraria: A) 9 dias B) 8 dias C) 7 dias D) 6 dias E) 12 dias Resolução Alternativa B Primeiro vamos identificar as grandezas, são elas: tempo e quantidade de frangos. Agora é possível montar a tabela e analisar se elas são diretas ou inversamente proporcionais. Sabemos que quanto maior a quantidade de frangos, menos tempo a ração vai durar, logo, as grandezas são inversamente proporcionais. A informação da quantidade de ração torna-se irrelevante para responder o problema. Sabemos que 800 + 200 = 1000, e queremos descobrir por quanto tempo a ração duraria se tivessem 1000 frangos. Como são inversamente proporcionais, multiplicaremos reto: 1000x = 800 · 10 1000x = 8000 x = 8000 : 1000 x = 8 dias Questão 2 – Para analisar os processos de multa de trânsito, a prefeitura dispôs de 18 funcionários, que conseguiam realizar o trabalho diariamente analisando 135 processos. Em um dia, infelizmente, 4 funcionários não compareceram. Supondo-se que todos os funcionários atendem a mesma demanda de processos, nesse dia, a quantidade de processos analisados será de: A) 135 B) 120 C) 110 D) 105 E) 100 Resolução Alternativa D Analisando-se a situação, as grandezas são: quantidade de funcionários e quantidade de processos. Sabemos que quanto mais funcionários tiver, mais processos serão analisados, logo, as grandezas são diretamente proporcionais. 18 – 4 = 14 funcionários. Montando a tabela, temos que: Como as grandezas são diretamente proporcionais, multiplicaremos cruzado: 18x = 135 · 14 18x = 1890 x = 1890 : 18 x = 105 Por Raul Rodrigues de Oliveira
A regra de três é um procedimento usado para a resolução de problemas que envolvem grandezas que são proporcionais. Pelo fato de ter uma enorme aplicabilidade, é muito importante saber resolver problemas utilizando essa ferramenta. Portanto, aproveite os exercícios comentados e questões de concursos resolvidas para verificar seus conhecimentos sobre esta matéria. Para alimentar o seu cão, uma pessoa gasta 10 kg de ração a cada 15 dias. Qual a quantidade total de ração consumida por semana, considerando que por dia é sempre colocada a mesma quantidade de ração? Solução Devemos sempre começar identificando as grandezas e as suas relações. É muito importante identificar corretamente se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Neste exercício as grandezas quantidade total de ração consumida e o número de dias são diretamente proporcionais, pois quanto mais dias maior será a quantidade total gasta. Para melhor visualizar a relação entre as grandezas, podemos usar setas. O sentido da seta aponta para o maior valor de cada grandeza. As grandezas cujos pares de setas apontam para o mesmo sentido, são diretamente proporcionais e as que apontam em sentidos contrários, são inversamente proporcionais. Vamos então resolver o exercício proposto, conforme o esquema abaixo: Resolvendo a equação, temos: Assim, a quantidade de ração consumida por semana é de aproximadamente 4,7 kg. Veja também: Razão e Proporção Exercício 2Uma torneira enche um tanque em 6 h. Quanto tempo o mesmo tanque levará para encher, se forem utilizadas 4 torneiras com a mesma vazão da torneira anterior? Solução Neste problema, as grandezas envolvidas serão número de torneiras e tempo. Contudo, é importante observar que quanto maior o número de torneiras, menor será o tempo para encher o tanque. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Neste caso, ao escrever a proporção, devemos inverter uma das razões, conforme mostramos no esquema abaixo: Resolvendo a equação: Assim, o tanque ficará totalmente cheio em 1,5 h. Veja também: Regra de Três Simples e Composta Exercício 3Em uma empresa, 50 funcionários, produzem 200 peças, trabalhando 5 horas por dia. Se o número de funcionários cair pela metade e o número de horas de trabalho por dia passar para 8 horas, quantas peças serão produzidas? Solução As grandezas indicadas no problema são: número de funcionários, número de peças e horas trabalhadas por dia. Portanto, temos uma regra de três composta (mais de duas grandezas). Neste tipo de cálculo, é importante analisar separadamente o que acontece com a incógnita (x), quando mudamos o valor das outras duas grandezas. Fazendo isso, percebemos que o número de peças será menor se reduzirmos o número de funcionários, portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais. O número de peças aumenta se aumentarmos o número de horas de trabalho por dia. Portanto, também são diretamente proporcionais. No esquema abaixo, indicamos esse fato através das setas, que apontam para o sentido crescente dos valores. Resolvendo a regra de três, temos: Assim, serão produzidas 160 peças. Veja também: Regra de Três Composta Questões de Concurso Resolvidas1) Epcar - 2016 Duas máquinas A e B de modelos diferentes, mantendo cada qual sua velocidade de produção constante, produzem juntas n peças iguais, gastando simultaneamente 2 horas e 40 minutos. A máquina A funcionando sozinha, mantendo sua velocidade constante, produziria, em 2 horas de funcionamento, n/2 dessas peças. É correto afirmar que a máquina B, mantendo sua velocidade de produção constante, produziria também n/2 dessas peças em a) 40 minutos. b) 120 minutos. c) 160 minutos. d) 240 minutos.
Como o tempo total de produção é 2h e 40 min, e já sabemos que a máquina A produz sozinha em 2 horas n/2 peças, então vamos descobrir quanto só ela produz nos 40 min restantes. Para isso, vamos utilizar a regra de três. Resolvendo a regra de três: Essa é a quantidade de peças produzidas em 40 min pela máquina A, portanto em 2 h e 40 min ela sozinha produz: Podemos então, calcular a quantidade produzida pela máquina B em 2h e 40 min, subtraindo da quantidade produzida pelas duas máquinas (n) da quantidade produzida pela máquina A: Agora, é possível calcular quanto tempo a máquina B levaria para produzir n/2 peças. Para isso, vamos fazer novamente uma regra de três: Resolvendo a regra de três, temos: Assim, a máquina B produzirá n/2 peças em 240 min. Alternativa d: 240 min Veja também: Grandezas diretamente e inversamente proporcionais 2) Cefet - MG - 2015 Em uma empresa, 10 funcionários produzem 150 peças em 30 dias úteis. O número de funcionários que a empresa vai precisar para produzir 200 peças, em 20 dias úteis, é igual a a) 18 b) 20 c) 22 d) 24
Esse problema envolve regra de três composta, pois temos três grandezas: número de funcionários, número de peças e número de dias. Observando as setas, identificamos que o número de peças e o número de funcionários são grandezas diretamente proporcionais. Já dias e número de funcionários são inversamente proporcionais. Assim, para resolver a regra de três, temos que inverter o número de dias. Logo, serão necessários 20 funcionários. Alternativa b: 20 Veja também: Exercícios sobre Regra de Três Composta 3) Enem - 2013 Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m3. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada.O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente. A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 9
Essa questão é de regra de três composta, sendo as grandezas envolvidas a capacidade do reservatório, o número de ralos e o número de dias. Pelas posição das setas, observamos que a capacidade e o número de ralos são diretamente proporcionais. Já o número de dias e o número de ralos são inversamente proporcionais, vamos inverter então o número de dias: Assim, serão necessários 5 ralos. Alternativa c: 5 4) UERJ - 2014 Observe no gráfico o número de médicos ativos registrados no Conselho Federal de Medicina (CFM) e o número de médicos atuantes no Sistema Único de Saúde (SUS), para cada mil habitantes, nas cinco regiões do Brasil. O SUS oferece 1,0 médico para cada grupo de x habitantes. a) 660 b) 1000 c) 1334 d) 1515
Para resolver a questão, iremos considerar as grandezas número de médicos do SUS e número de habitantes da região Norte. Portanto, devemos retirar essa informação no gráfico apresentado. Resolvendo a regra de três, temos: Logo, o SUS disponibiliza aproximadamente, 1 médico para cada 1515 habitantes na região Norte. Alternativa d: 1515 Veja também: Exercícios sobre Regra de Três Simples 5) Enem - 2017 Às 17 h 15 min começa uma forte chuva, que cai com intensidade constante. Uma piscina em forma de um paralelepípedo retângulo, que se encontrava inicialmente vazia, começa a acumular a água da chuva e, às 18 horas, o nível da água em seu interior alcança 20 cm de altura. Nesse instante, é aberto o registro que libera o escoamento da água por um ralo localizado no fundo dessa piscina, cuja vazão é constante. Às 18 h 40 min a chuva cessa e, nesse exato instante, o nível da água na piscina baixou para 15 cm. O instante em que a água dessa piscina terminar de escoar completamente está compreendido entre a) 19 h 30 min e 20 h 10 min b) 19 h 20 min e 19 h 30 min c) 19 h 10 min e 19 h 20 min d) 19 h e 19 h 10 min e) 18 h 40 min e 19 h
As informações nos indicam que em 45 min de chuva, a altura de água da piscina passou para 20 cm. Depois desse tempo, foi aberto o registro do ralo, entretanto continuou chovendo durante 40 min. Vamos então, calcular a altura de água que foi adicionada na piscina neste intervalo de tempo, através da seguinte regra de três: Calculando essa regra de três, temos: Agora, vamos calcular a quantidade de água que escoou, já que o ralo foi aberto. Essa quantidade será igual a soma de água que foi adicionada, menos a quantidade que ainda existe na piscina, ou seja: Portanto, escoou 205/9 cm de água desde que o ralo foi aberto (40 min). Agora, vamos calcular quanto tempo será necessário para escoar a quantidade que ficou na piscina, após ter parado de chover. Para isso, vamos usar mais uma regra de três: Calculando, temos: Assim, a piscina ficará vazia em aproximadamente 26 min. Somando esse valor ao instante que se encerra a chuva, ela irá se esvaziar aproximadamente às 19 h 6 min. Alternativa d: 19 h e 19 h 10 min Para saber mais, leia também: |
Regra de três simples exercícios 6 ano
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