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Verifique se estes pontos estão alinhados.
a) (2,1), (7,\(-\frac { 7 }{ 3 }\)) e (3, \(\frac { 1 }{ 3 }\))
b) (0,4), (4,0) e (2, -2)
c) (1,5), (-3,2) e (-7,1)
d) (6,12), (-5, \(-\frac { 8 }{ 3 }\)) e (0,4)
e) (-2,3), (0,0) e (6,-9)
f) (-2,3), (0,0) e (-3,2)
Na figura M, N e P estão alinhados. Qual é a ordenada de M.
Na figura, tg\(\propto\)=\(\frac { 2 }{ 3 }\) e a abscissa de P é igual a 6. Verifique, em cada caso, se O, P e Q estão alinhado:
Para que valor de m os pontos (3,1), (m,2) e (0,-2) são colineares?
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Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta.
Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas coordenadas posicionais. Outra forma de determinar o alinhamento dos pontos é através do cálculo do determinante pela regra de Sarrus envolvendo a matriz das coordenadas.
Exemplo 1
Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão alinhados.
Diagonal principal
2 * 7 * 1 = 14 5 * 1 * 5 = 25 1 * 3 * 11 = 33
Diagonal secundária
1 * 7 * 5 = 35 2 * 1 * 11 = 22 5 * 3 * 1 = 15 Somatório diagonal principal – Somatório diagonal secundária(14 + 25 + 33) – (35 + 22 + 15)
72 – 72 = 0 Os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz quadrada calculado pela regra de Sarrus for igual a 0.Exemplo 2
Considerando os pontos A(2, 2), B(–3, –1) e C(–3, 1), verifique se eles estão alinhados.
Diagonal principal
Diagonal secundária
1 * (–1) * (–3) = 3 2 * 1 * 1 = 2 2 * (–3) * 1 = –6 (– 2 – 6 – 3) – (3 + 2 – 6) – 11 – (–1) – 11 + 1 = – 10Pelo resultado do determinante da matriz verificamos que os pontos não estão alinhados.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Condição de alinhamento de três pontos
Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta.
Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas coordenadas posicionais. Outra forma de determinar o alinhamento dos pontos é através do cálculo do determinante pela regra de Sarrus envolvendo a matriz das coordenadas.
Exemplo 1
Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão alinhados.
Diagonal principal
2 * 7 * 1 = 14
5 * 1 * 5 = 25
1 * 3 * 11 = 33
Diagonal secundária
1 * 7 * 5 = 35
2 * 1 * 11 = 22
5 * 3 * 1 = 15
Somatório diagonal principal–Somatório diagonal secundária
(14 + 25 + 33)–(35 + 22 + 15)
72 – 72 = 0
Os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz quadrada calculado pela regra de Sarrus for igual a 0.
Exemplo 2
Considerando os pontos A(2, 2), B(–3, –1) e C(–3, 1), verifique se eles estão alinhados.
Diagonal principal
2 * (–1) * 1 = –2
2 * 1 * (–3) = –6
1 * (–3) * 1 = –3
Diagonal secundária
1 * (–1) * (–3) = 3
2 * 1 * 1 = 2
2 * (–3) * 1 = –6
(– 2 – 6 – 3) – (3 + 2 – 6)
– 11 – (–1)
– 11 + 1 = – 10
Pelo resultado do determinante da matriz verificamos que os pontos não estão alinhados.
Exercícios – Condição de alinhamento de três pontos
1) Conhecendo os pontos A, B e C, verifique, em cada item, se pertencem à mesma reta.a) A(3,-2), B(0,1) e C(-3,4)Resp: pertencem à mesma reta
b) A(-3,-1), B(0,5) e C(1,-2)Resp: não pertence à mesma reta
c) A (-2,5), B(-5,6) e C(-8,7)Resp: pertencem à mesma reta
d) A(1,-1), B(2,1) e C(3,2)Resp: não pertence à mesma reta
2) Determine, em cada item, a abscissa XBda ponto B, de tal forma que A, B e C pertencem à mesma reta.
a) A(3,7), B(XB,3) e C(5,-1)Resp: XB= 4
b) A(3,5), B(XB,1) e C(1,-3)Resp: XB= 2
3) Sabendo-se que o ponto A pertence ao eixo das abscissas e à mesma reta que os pontos B(6,-2) e C(-4,3), determine a abscissa XA.Resp: XA= 2
4) Determine a ordenada yBdo ponto B, sabendo que esse ponto também pertence ao eixo das ordenadas e à reta que contém os pontos A(3,2) e C(7,-2).Resp: yB= 5