Como multiplicar duas raiz quadrada iguais

A radiciação é uma operação matemática que envolve um produto (multiplicação) cujos fatores são todos iguais em seu fundamento, isto é, uma “potência”.

Nas potências, é dado um número chamado base, que é multiplicado por si mesmo n vezes (n é o expoente). Na radiciação, é feito o contrário: é dada a potência a fim de encontrar a base. Assim como todas as operações matemáticas, todo esse processo obedece a algumas propriedades, conhecidas como propriedades dos radicais ou propriedades das raízes.

Essas propriedades são utilizadas para simplificar e até mesmo para resolver raízes de índices elevados ou que possuam resultado não exato. Contudo, antes de uma exposição dessas propriedades, é bom relembrar o que é um radical e como encontrar seus resultados.

O que é um radical?

Radical é o símbolo utilizado para identificar uma radiciação.

Definição da “raiz enésima de x”

Na imagem acima, n é o índice, x é o radicando e L é a raiz enésima. O símbolo “√” é conhecido como radical e é utilizado para representar a operação matemática radiciação.

Nessa operação, o número L é obtido de acordo com o seguinte princípio: L é um número que, multiplicado por si mesmo n vezes, tem x como resultado, ou seja, Ln = x. Dessa maneira, a radiciação é o inverso da potenciação.

Uma vez definidas as raízes e de posse do conceito de radical, podemos dar início a exposição das propriedades dos radicais

Propriedades dos radicais ou propriedades das raízes

1ª Propriedade

A raiz enésima de um número elevado a enésima potência é o próprio número. Em outras palavras, essa propriedade trata das raízes em que o índice do radical é igual ao expoente do radicando. Observe:

A raiz enésima de um número elevado a enésima potência

2ª Propriedade

O índice de uma raiz pode ser multiplicado (ou dividido) por um número real qualquer, desde que o expoente do radicando também seja multiplicado (ou dividido) pelo mesmo número. Matematicamente:

Multiplicação ou divisão do índice de um radical e do expoente do radicando pelo mesmo fator

3ª Propriedade

Essa propriedade trata das raízes em que o radicando é o produto entre dois números. Ela pode ser interpretada da seguinte maneira: A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas. Isso significa que:

A raiz do produto é igual ao produto das raízes

4ª Propriedade

Essa propriedade é idêntica à anterior, mas se aplica à divisão de dois números quaisquer. Nesse caso, a raiz enésima da razão é igual à razão entre as raízes enésimas. Observe:

A raiz da razão é igual à razão das raízes

5ª Propriedade

Uma potência de uma raiz pode ser reescrita trazendo o expoente para o radicando. Matematicamente esta propriedade é dada da seguinte maneira:

Propriedade envolvendo uma potência de algum radical

6ª Propriedade

Essa propriedade diz respeito às raízes de raízes. Considerando a raiz enésima da raiz enésima de um número, é possível obter o seu resultado utilizando o seguinte:

Propriedade envolvendo uma raiz de algum radical

7ª Propriedade

Todo radical pode ser escrito na forma de potência com expoente fracionário. Observe:

Propriedade que relaciona raízes de potências a potências com expoentes fracionários

Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes. A propriedade 7 afirma que, em uma raiz n-ésima de uma potência, podemos multiplicar o índice e o expoente do radicando por qualquer número desde que seja diferente de 0.

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Qual é o valor de √ 3?

1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806... Então, como resolver um problema de potenciação? Como temos potências elevadas a outros expoentes, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes. Podemos então inserir na expressão os valores calculados. Tanto no numerador quanto no denominador há a multiplicação de potências de bases iguais. Para resolvê-las devemos repetir a base e somar os expoentes.

Qual e a raiz quadrada de 256?

Sendo assim, a raiz quadrada de 256 é 16. Correspondentemente, o que é radiciação 6 ano? Radiciação é a operação matemática inversa à potenciação. Enquanto a potenciação é uma multiplicação na qual todos os fatores são iguais, a radiciação procura descobrir que fatores são esses, dando o resultado dessa multiplicação.

Além disso, como se faz radiciação de fração?

→ Radiciação de frações

Como a radiciação é o processo inverso da potenciação, podemos definir a raiz enésima (enésimo: número indeterminado de vezes) de uma fração da seguinte maneira: Isso significa que, para calcular a raiz de uma fração, basta calcular separadamente a raiz do denominador e do numerador.

Para que serve a radiciação no cotidiano? Em acidentes de trânsito é comum ver no asfalto as marcas dos pneus. Suponha que um motorista que estava em alta velocidade se assustou ao ver um pedestre que atravessava a rua e automaticamente pisou fundo no freio, o que deixou marcas no chão.

RAIZ de 64.

Logo 64 é igual a 26. Dividimos o expoente 6 pelo expoente da raiz quadrada (que é 2), e retiramos o número da raiz. 6 dividido por 2 é igual a 3, então a resposta é 23, ou seja, 8.

O que é uma raiz não exata? Em síntese, o resultado do cálculo de uma raiz pode ser exato ou não exato. Ou seja, uma raiz é exata quando o resultado da operação não for um decimal infinito não periódico. Por outro lado, para que uma raiz seja exata, é necessário calcular a raiz a fim de demonstrar que o radical não é irracional.

A maioria das calculadoras portáteis não tem um botão dedicado à raiz cúbica, por isso para encontrar a raiz cúbica você deve usar a função exponencial e elevar o número à potência de 1/3.

1. Multiplique os radicandos. O radicando é um número abaixo do sinal de radical. Para multiplicá-los, trate-os como se fossem número inteiros. Mantenha o produto da multiplicação sob um único sinal de radical.

   • Por exemplo, se estiver calculando 15×5{\displaystyle {\sqrt {15}}\times {\sqrt {5}}}
     , é preciso multiplicar 15×5=75{\displaystyle 15\times 5=75}
     . Sendo assim, 15×5=75{\displaystyle {\sqrt {15}}\times {\sqrt {5}}={\sqrt {75}}}
     .

2. Fatore qualquer raiz perfeita no radicando. Para isso, veja se alguma raiz perfeita é um fator do radicando. Caso não consiga fatorar uma raiz perfeita, então a resposta já está simplificada e você não precisa fazer mais nada.

   • Uma raiz perfeita é o resultado da multiplicação de um número inteiro (positivo ou negativo) por ele mesmo. Por exemplo, 25 é uma raiz perfeita, pois 5×5=25{\displaystyle 5\times 5=25}
     .
   • Por exemplo, 75{\displaystyle {\sqrt {75}}}
     pode ser fatorado para obter a raiz perfeita 25:
     75{\displaystyle {\sqrt {75}}}
     =25×3{\displaystyle {\sqrt {25\times 3}}}

3. Coloque a raiz quadrada da raiz perfeita em frente ao sinal de radical. Mantenha o outro fator sob o sinal de radical. Isso vai resultar na expressão simplificada.

   • Por exemplo, 75{\displaystyle {\sqrt {75}}} pode ser fatorado em 25×3{\displaystyle {\sqrt {25\times 3}}}, permitindo que você calcule a raiz quadrada de 25 (5):
     75{\displaystyle {\sqrt {75}}}
     = 25×3{\displaystyle {\sqrt {25\times 3}}}
     = 53{\displaystyle 5{\sqrt {3}}}

1. Multiplique os coeficientes. O coeficiente é um número em frente ao sinal de radical. Para isso, basta ignorar o sinal de radical e o radicando, e multiplicar os dois números inteiros. Coloque o produto em frente ao primeiro sinal de radical.

   • Preste atenção aos sinais de número positivo e negativo ao multiplicar os coeficientes. Não se esqueça de que um número negativo multiplicado por um positivo resulta em um número negativo, enquanto dois números negativos multiplicados resultam em um número positivo.
   • Por exemplo, se estiver calculando 32×26{\displaystyle 3{\sqrt {2}}\times 2{\sqrt {6}}}
     , primeiro é preciso multiplicar 3×2=6{\displaystyle 3\times 2=6}
     . Agora, o problema é 62×6{\displaystyle 6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}}
     .

2. Multiplique os radicandos. Para isso, trate-os como se fossem número inteiros. Mantenha o produto da multiplicação sob o sinal de radical.

   • Por exemplo, se o problema agora é 62×6{\displaystyle 6{\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}}, para encontrar o produto dos radicandos, você deve calcular 2×6=12{\displaystyle 2\times 6=12}
     , então 2×6=12{\displaystyle {\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}={\sqrt {12}}}
     . Agora o problema é 612{\displaystyle 6{\sqrt {12}}}
     .

3. Fatore qualquer raiz perfeita no radicando caso seja possível. Isso é necessário para simplificar a resposta. Caso não consiga fatorar uma raiz perfeita, então a resposta já está simplificada e você não precisa fazer mais nada.

   • Uma raiz perfeita é o resultado da multiplicação de um número inteiro (positivo ou negativo) por ele mesmo. Por exemplo, 4 é uma raiz perfeita, pois 2×2=4{\displaystyle 2\times 2=4}
     .
   • Por exemplo, 12{\displaystyle {\sqrt {12}}}
     pode ser fatorado para obter a raiz perfeita 4:
     12{\displaystyle {\sqrt {12}}}
     =4×3{\displaystyle {\sqrt {4\times 3}}}

4. Multiplique a raiz quadrada da raiz perfeita pelo coeficiente. Mantenha o outro fator sob o radicando. Isso vai resultar na expressão simplificada.

   • Por exemplo, 612{\displaystyle 6{\sqrt {12}}} pode ser fatorado em 64×3{\displaystyle 6{\sqrt {4\times 3}}}
     , permitindo que você calcule a raiz quadrada de 4 (2) e multiplique-a por 6:
     612{\displaystyle 6{\sqrt {12}}}
     = 64×3{\displaystyle 6{\sqrt {4\times 3}}}
     = 6×23{\displaystyle 6\times 2{\sqrt {3}}}
     
     = 123{\displaystyle 12{\sqrt {3}}}