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->Dúvidas Frequentes
-> Continuaremos com o estudo dos limites das funções que envolvem quocientes de polinômios em uma indeterminação do tipo
Exemplo_2.2 -
a) Verifique o comportamento da
Simbolicamente, calcule:
Temos uma indeterminação do tipo
Para resolver o "problema" buscaremos uma função equivalente através da multiplicação pelo conjugado do numerador. O numerador pode ser visualizado como:
, sendo
O conjugado de a-b é a+b, e vice-versa. Neste caso:
Quando multiplicamos:
, temos uma diferença de dois quadrados.
A multiplicação pelo conjugado tem como objetivo a “eliminação” da raiz quadrada que é o agravante inicial neste problema.
Multiplicando e dividindo a função inicial pelo conjugado do numerador, temos:
Observação: devemos multiplicar e dividir pelo conjugado para não alterarmos a expressão!
A princípio este função equivalente é mais assustadora que a original, porém, como veremos, a indeterminação inicial que envolvia a raiz quadrada não aparece nesta função.
, neste passo a raiz quadrada do numerador foi “eliminada” visto que:
, fazendo a multiplicação por -1 :
Vale notar que, com a multiplicação e divisão pelo conjugado, inserimos uma raiz quadrada no denominador. Porém, esta raiz, que é parte do conjugado, não é um problema porque se
Apesar da eliminação da raiz quadrada do numerador ainda temos uma indeterminação
Porém o problema não envolve mais a raiz quadrada e sim o quociente descrito em verde:
o que nos leva a um problema do tipo estudado no capitulo anterior.
Fazendo a fatoração algébrica do numerador.
ficamos com:
, simplificando:
Concluímos que:
Visualize o resultado abaixo.
Fig_2-2-a – Gráfico da função .
b) Verifique o comportamento da função
Simbolicamente, calcule:
Temos uma indeterminação do tipo
O denominador pode ser visualizado como:
, sendo
Neste caso:
Multiplicando e dividindo pelo conjugado:
Notem que ainda temos indeterminação
, usando a diferença de dois quadrados no denominador em verde:
, o quociente em amarelo na expressão abaixo resulta em -1.
Observe:
Ficamos com:
Concluimos que:
Visualize o resultado abaixo.
Fig_2-2-b – Gráfico da função .
c) Verifique o comportamento da função
Simbolicamente, calcule:
Temos uma indeterminação do tipo
Neste caso temos um “problema duplo”, devemos utilizar o método do conjugado para “eliminar” a raiz quadrada do denominador e a do numerador. Inicialmente multiplicamos e dividimos pelo conjugado do numerador:
, sendo
Neste caso:
Multiplicando e dividindo pelo conjugado do numerador:
Notem que ainda temos indeterminação
O conjugado do denominador:
, sendo
Neste caso:
Multiplicando e dividindo pelo conjugado do denominador:
Notem que ainda temos indeterminação
, usando a diferença de dois quadrados no denominador em verde:
, o quociente em amarelo na expressão abaixo resulta em -1.
Concluimos que:
Visualize o resultado abaixo.
Fig_2-2-c – Gráfico da função .
d) Verifique o comportamento da função
Simbolicamente, calcule:
Temos uma indeterminação do tipo
Para identificarmos o conjugado do numerador, inicialmente, reescreveremos o numerador como:
Reescrevendo o limite original:
Neste formato fica evidente que:
sendo:
Neste caso:
Multiplicando e dividindo pelo conjugado do numerador:
, observe que:
que é uma diferença ao quadrado :
, portanto:
Notem que ainda temos indeterminação
, usando a fatoração algébrica no numerador e no denominador em verde:
Concluimos que:
Visualize o resultado abaixo.
Fig_2-2-d – Gráfico da função .