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Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Reta tangente
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 26/05/2015 - Atualizado em 24/09/2017
O que eu preciso saber?
Seja
ƒ
(
)
uma função qualquer e
(
1
,y
1
)
um ponto de
ƒ
(
)
, então a equação dareta tangente a
ƒ
(
)
neste ponto será:
t
(
) =
ƒ
(
1
) +
ƒ
(
1
)(
−
1
) (
1
)
Exemplo 1:
Encontre a equação da reta tangente a função
ƒ
(
) =
2
2
+ 3 noponto (4, 35).
Solução:
ƒ
(
) =
4
ƒ
(
4
) =
4
(
4
) =
16
Usando a
formula (1)
então a equação da reta tangente é:
t
=
35
+
16
(
−
4
)
t
=
16
+
35
−
64
t
=
16
−
29
Exemplo 2:
Encontre a reta tangente à curva
2
+
4
y
+
y
2
=
13
no ponto (2, 1).
Solução:
A derivada implícita da curva em relação a
será:
2
+
4
y
+
4
dy d
+
2
y dy d
=
02
+
4
y
+
2
dy d
(
2
+
y
) =
0
⇒
dy d
=
−
+
2
y
2
+
y
1
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BAUsando novamente a
fórmula (1)
a equação da reta tangente a curva no ponto(2, 1) é:
t
=
1
−
(
2
) +
2
(
1
)
2
(
2
) + (
1
)
·
(
−
2
)
t
=
−
45
+
135
Exemplo 3:
Ache a equação da tangente à parábola
y
=
2
se a tangente cortao eixo x no ponto 2.
Solução:
O gráfico a seguir ilustra o problema:2(
1
,y
1
)No gráfico acima supomos a localização do ponto de tangência e chamamos ascoordenadas desse ponto de
1
e
y
1
.Usando a
fórmula (1)
a equação da reta tangente é
t
(
) =
ƒ
(
1
) +
ƒ
(
1
)(
−
1
)
Como a reta tangente passa pelo ponto (2, 0) então:
t
(
) =
ƒ
(
1
) +
ƒ
(
1
)(
−
1
)
⇒
21
+
2
(
1
)(
2
−
1
) =
0
⇒
21
+
4
1
−
2
21
=
0
⇒
4
1
−
21
=
0
A equação acima é uma equação do segundo grau com duas soluções. Uma para
1
=
0
e outra para
1
=
4
.Pela figura fica evidente que a solução que foi suposta ocorre para
1
=
4
.2
Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BAAssim, a equação da reta tangente fica:
t
(
) =
ƒ
(
4
) +
ƒ
(
4
)(
−
4
)
⇒
t
(
) =
16
+
8
(
−
4
)
⇒
t
(
) =
8
−
16
. Já para
1
=
0
teríamos
t
(
) =
0
.
Exemplo 4:
Mostre que a tangente à parábola
y
=
2
, no ponto
(
0
,y
0
)
diferentedo vértice, corta o eixo
no ponto
=
0
2
.
Solução:
Como não se sabe qual é exatamente o ponto de tangência vamos representaras suas coordenadas por (
0
,y
0
). Assim, a equação da reta tangente nesse pontoseria:
t
(
) =
ƒ
(
0
) +
ƒ
(
0
)(
−
0
)
Como
ƒ
(
0
) =
2
0
e
ƒ
(
0
) =
20
então:
t
(
) =
20
+
2
0
(
−
0
)
Sabe-se que quando uma função qualquer corta o eixo
seu valor é zero, sendoassim:
t
(
) =
0
⇒
20
+
2
0
(
−
0
) =
0
Finalmente, resolvendo a equação acima para
chegamos á:
=
12
0
Como se queria mostrar.3