Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado.
Exemplos:
a) √49 = 7 porque 7² = 49
b) √100 = 10 porque 10² = 100
NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS
Vamos calcular os quadrados dos primeiros números naturais: 0² = 0 1² = 1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 5² = 25 6² = 36 7² = 49 Os números : 0,1,4,9,16,25,36,49,..........chamam-se quadrado perfeito. Somente esses números possuem raiz quadrada exata em IN.RAIZ QUADRADA APROXIMADA
Vamos calcular a raiz quadrada do número 23. Esse número compreendido entre os quadrados perfeitos 16 e 25 Veja: 16 é menor 23 é menor 25. Extraindo a raiz quadrada desses números, temos: √16, √23, √25. 4 é menor que √23 é menor que 5. Dizemos então que: 4 é raiz quadrada aproximada, por falta, de 23. E 5 é a raiz quadrada aproximada por excesso de 23 1) Determine cada raiz, justificando o resultado: Exercício resolvido : √25 = 5 porque 5² = 25a) √4 = (R: 2)b) √64 = ( R: 8)
c) √81 = (R: 9)d) √49 = (R: 7)e) √0 = ( R: 0)f) √1 = (R: 1)g) √100 = (R: 10)h) √121 = (R: 11)i) √169 = ( R: 13)j) √400 = (R: 20)k) √900 = (R: 30)l) √225 = (R:15) 2) Calcule
a) √1 + √0 = (R: 1)
b) √64 - √49 = ( R: 1)
c) 15 + √81 = (R: 24)d) 2 + √4/9 = (R: 8/3)
e) -3 + √16 = ( R: 1)
f) -5 - √36 = (R: -11)
g) 3√16 – 9 = (R: 3) 3) Calcule
a) √81 = (R: 9)
b) √36 = (R: 6)
c) √144 = (R: 12)
d) √196 = (R: 14)
e) √1600 = (R: 40)
f) √100 = (R:10)
g) -√100 = (R: -10)
h) √121 = (R: 11)
i) -√121 = (R: -11)
j) √400 = (R: 20)
k) -√400 = (R: -20)
l) √4/9 = (R: 2/3)
m) √1/16 = ( R: 1/4)
n) √64/81 = (R: 8/9)
o) √49/25 = (R: 7/5) 4) Calcule
a) 10.√4 = (R: 20)
b) 3 + √25 = (R: 8)
c) 1 - √4/9 = ( R: 2/3)
d) √81-√9 = ( R: 6)
e) √100 - √25 = (R: 5)
f) √25/36 - √1/9 = (R:3/6)
g) 4 . √4/100 = (R:8/10 ou 4/5) 5) Se √x = 30, então o valor de x é: a) 60 b) 90 c) 600
d) 900 (X)
6) O valor de expressões √0 + √1 - √1/4 é: a) 1/4 b) 3/2c) 1/2 (X)d) 3/4
7) O valor da expressão 7² - √64 + 3² é: a) 42 b) 51c) 50 (x)d) 38
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
A radiciação é a operação que usamos para encontrar um número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes, é igual a um valor conhecido.
Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar suas dúvidas sobre essa operação matemática.
Questão 1
Fatore o radicando de
Resposta correta: 12.
1º passo: fatorar o número 144
2º passo: escrever 144 na forma de potência
Observe que 24 pode ser escrito como 22.22, pois 22+2= 24
Portanto,
3º passo: substituir o radicando 144 pela potência encontrada
Neste caso temos uma raiz quadrada, ou seja, raiz de índice 2. Logo, como uma das propriedades da radiciação é podemos eliminar a raiz e resolver a operação.
Qual o valor de x na igualdade ?
a) 4 b) 6 c) 8
d) 12
Resposta correta: c) 8.
Observando o expoente dos radicandos, 8 e 4, podemos perceber que 4 é a metade de 8. Portanto, o número 2 é o divisor comum entre eles e isso é útil para descobrir o valor de x, pois segundo uma das propriedades da radiciação .
Dividindo o índice do radical (16) e o expoente do radicando (8), descobrimos o valor de x da seguinte forma:
Logo, x = 16 : 2 = 8.
Questão 3
Simplifique o radical .
Resposta correta: .
Para simplificar a expressão, podemos retirar da raiz os fatores que possuem expoente igual ao índice do radical.
Para isso, devemos reescrever o radicando de maneira que o número 2 apareça na expressão, já que temos uma raiz quadrada.
Substituindo os valores anteriores no radicando, temos:
Como , simplificamos a expressão.
Questão 4
Sabendo que todas as expressões são definidas no conjunto dos números reais, determine o resultado para:
a)
b)
c)
d)
Resposta correta:
a) pode ser escrito como
Sabendo que 8 = 2.2.2 = 23 substituímos o valor de 8 no radicando pela potência 23.
b)
c)
d)
Questão 5
Reescreva os radicais ; e de forma que os três apresentem o mesmo índice.
Resposta correta: .
Para reescrever os radicais com o mesmo índice, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre eles.
MMC = 2.2.3 = 12
Portanto, o índice dos radicais deve ser 12.
Entretanto, para modificar os radicais precisamos seguir a propriedade .
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 6, pois 6 . 2 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 4, pois 4 . 3 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 3, pois 3 . 4 = 12
Questão 6
Qual o resultado da expressão ?
a)
b)
c)
d)
Resposta correta: d) .
Pela propriedade dos radicais , podemos resolver a expressão da seguinte forma:
Racionalize o denominador da expressão .
Resposta correta: .
Para retirar o radical do denominador do quociente devemos multiplicar os dois termos da fração por um fator racionalizante, que é calculado subtraindo o índice do radical pelo expoente do radicando:
Sendo assim, para racionalizar o denominador o primeiro passo é calcular o fator.
Agora, multiplicamos os termos do quociente pelo fator e resolvemos a expressão.
Portanto, racionalizando a expressão temos como resultado .
Questão 8
Determine o diâmetro de uma esfera com volume igual a cm³.
Resposta: o diâmetro será de 6 cm.
O volume de uma esfera é calculado segundo a seguinte equação:
Em que R é o raio da esfera e, portanto, o diâmetro é igual a 2R.
R deve estar isolado em um membro da equação, de forma que:
Substituindo o valor de V, temos:
Para determinar o valor de R, aplicamos uma raiz cúbica nos dois membros da equação.
Portanto, o diâmetro da esfera será de 2R = 2.3 = 6 cm.
Questão 9
Sendo e determine o valor de .
Resposta:
Substituindo os valores de a e b na equação, temos:
Embora os índices das raízes sejam iguais, os radicando são diferentes. Devemos fatorar o 3 125.
Como o índice da raiz é 4, é conveniente escrever 3 125 na forma fatorada como ao invés de . Isto irá ajudar a simplificação.
Substituindo o 3 125 por sua forma fatorada no radicando, a expressão ficará:
Como dentro da raiz há um produto, podemos desmembrá-lo,
Cancelando o índice e o expoente igual e multiplicando 2 por 5,
Questão 10
Simplifique a expressão utilizando propriedades das raízes.
Resposta:
No numerador, as raízes possuem índices diferentes. Podemos multiplicar pelo mesmo fator tanto o índice quanto o expoente do radicando, afim de igualar os índices.
Ao multiplicar índice e expoente do radicando pelo mesmo fator, não alteramos a raiz.
Aplicando na expressão da questão:
Agora os índices são iguais e podemos multiplicar as raízes,
Devemos racionalizar a fração para não deixar um número irracional no denominador. Para isto, basta multiplicar tanto o denominador quanto o numerador pela raiz quadrada de três.
Repetindo o processo, podemos utilizar a mesma propriedade na raiz de três para igualar os índices das raízes.
Com os índices iguais, é possível multiplicar as raízes no numerador,
(IFSC - 2018) Analise as afirmações seguintes:
I.
II.
III. Efetuando-se , obtém-se um número múltiplo de 2.
Assinale a alternativa CORRETA.
a) Todas são verdadeiras. b) Apenas I e III são verdadeiras. c) Todas são falsas. d) Apenas uma das afirmações é verdadeira.
e) Apenas II e III são verdadeiras.
Alternativa correta: b) Apenas I e III são verdadeiras.
Vamos resolver cada uma das expressões para verificar quais são verdadeiras.
I. Temos uma expressão numérica envolvendo várias operações. Neste tipo de expressão, é importante lembrar que existe uma prioridade para efetuar os cálculos.
Assim, devemos começar com a radiciação e potenciação, depois a multiplicação e divisão e, por último, a soma e subtração.
Outra observação importante é com relação ao - 52. Se houvesse parênteses, o resultado seria +25, mas sem os parênteses o sinal de menos é da expressão e não do número.
Portanto, a afirmação é verdadeira.
II. Para resolver essa expressão, iremos considerar as mesmas observações feitas no item anterior, adicionando que resolvemos primeiro as operações dentro dos parênteses.
Neste caso, a afirmação é falsa.
III. Podemos resolver a expressão utilizando a propriedade distributiva da multiplicação ou o produto notável da soma pela diferença de dois termos.
Assim, temos:
Como o número 4 é um múltiplo de 2, essa afirmação também é verdadeira.
Questão 12
(CEFET/MG - 2018) Se , então o valor da expressão x2 + 2xy +y2 – z2 é
a)
b)
c) 3
d) 0
Alternativa correta: c) 3.
Vamos começar a questão simplificando a raiz da primeira equação. Para isso, passaremos o 9 para a forma de potência e dividiremos o índice e o radicando da raiz por 2:
Considerando as equações, temos:
Como as duas expressões, antes do sinal de igual, são iguais, concluímos que:
Resolvendo essa equação, encontraremos o valor do z:
Substituindo esse valor na primeira equação:
Antes de substituir esses valores na expressão proposta, vamos simplificá-la. Note que:
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
Assim, temos:
Questão 13
(Aprendiz de Marinheiro - 2018) Se , então o valor de A2 é:
a) 1 b) 2 c) 6
d) 36
Alternativa correta: b) 2
Como a operação entre as duas raízes é a multiplicação, podemos escrever a expressão em um único radical, ou seja:
Agora, vamos elevar o A ao quadrado:
Como o índice da raiz é 2 (raiz quadrada) e está elevado ao quadrado, podemos retirar a raiz. Assim:
Para multiplicar, usaremos a propriedade distributiva da multiplicação:
Questão 14
(Aprendiz de Marinheiro - 2017) Sabendo que a fração é proporcional à fração , é correto afirmar que y é igual a:
a) 1 - 2
b) 6 + 3
c) 2 -
d) 4 + 3
e) 3 +
Alternativa correta: e)
Sendo as frações proporcionais, temos a seguinte igualdade:
Passando o 4 para o outro lado multiplicando, encontramos:
Simplificando todos os termos por 2, temos:
Agora, vamos racionalizar o denominador, multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado de :
Questão 15
(CEFET/RJ - 2015) Seja m a média aritmética dos números 1, 2, 3, 4 e 5. Qual é a opção que mais se aproxima do resultado da expressão abaixo?
a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3
d) 1,4
Alternativa correta: d) 1,4
Para começar, iremos calcular a média aritmética entre os números indicados:
Substituindo esse valor e resolvendo as operações, encontramos:
Questão 16
(IFCE - 2017) Aproximando os valores de até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de até a segunda casa decimal, obtemos
a) 1,98. b) 0,96. c) 3,96. d) 0,48.
e) 0,25.
Alternativa correta: e) 0,25
Para encontrar o valor da expressão, iremos racionalizar o denominador, multiplicando pelo conjugado. Assim:
Resolvendo a multiplicação:
Substituindo os valores da raízes pelos valores informados no enunciado do problema, temos:
Questão 17
(CEFET/RJ - 2014) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45?
a) 2700 b) 2800 c) 2900
d) 3000
Alternativa correta: a) 2700
Primeiro, vamos escrever 0,75 na forma de fração irredutível:
Iremos chamar de x o número procurado e escrever a seguinte equação:
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos:
Questão 18
(EPCAR - 2015) O valor da soma é um número
a) natural menor que 10 b) natural maior que 10 c) racional não inteiro
d) irracional.
Alternativa correta: b) natural maior que 10.
Vamos começar racionalizando cada parcela da soma. Para isso, iremos multiplicar o numerador e o denominador das frações pelo conjugado do denominador, conforme indicado abaixo:
Para efetuar a multiplicação dos denominadores, podemos aplicar o produto notável da soma pela diferença de dois termos.
S = 2 - 1 + 14 = 15
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Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.