Problema Show (UNICAMP, 2004) Considere o conjunto dos dígitos [tex]\{1, 2, 3, …, 9\}[/tex] e forme com eles números de nove algarismos distintos. Lembrete ✐ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para [tex]k [/tex] eventos: Se
e todos esses eventos forem independentes entre si, então a quantidade de maneiras em que os [tex]k[/tex] eventos ocorrem ao mesmo tempo é Solução (a) Observe que os números pares que podemos formar com os algarismos [tex]1, 2, 3, …, 9[/tex] são aqueles que terminam em [tex]2,4, 6[/tex] ou [tex]8[/tex]. Dessa forma, vamos dividir a nossa contagem de números pares de nove algarismos distintos que podemos formar com algarismos [tex]1, 2, 3, …, 9[/tex] em dois eventos: a escolha do último dígito e a escolha dos outros oito dígitos. Utilizando a notação do Lembrete, calcularemos [tex]m_1[/tex] e [tex]m_2[/tex] e a resposta deste item será o produto [tex]m_1 \times m_2[/tex].
Podemos escolher o último dígito de [tex]4[/tex] maneiras diferentes: ou [tex]2[/tex] ou [tex]4[/tex]
ou [tex]6[/tex] ou [tex]8[/tex]. Vamos dividir este evento em oito etapas independentes entre si: escolha do primeiro dígito, escolha do segundo dígito, …, escolha do oitavo dígito; e aplicar o Princípio Fundamental da Contagem para calcular a quantidade de maneiras em que esses oito eventos ocorrem ao mesmo tempo obtendo, então, [tex]m_2[/tex]. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue que: Portanto, podemos formar [tex] 4 \times 40\,320 =\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\, 161\,280$}\,[/tex] números pares com nove algarismos distintos utilizando o conjunto dos dígitos [tex]\{1, 2, 3, …, 9\}[/tex]. (b) A escolha de dígitos do conjunto [tex]\{1, 2, 3, …, 9\}[/tex] para se formar com eles números pares de nove algarismos distintos é um experimento aleatório cujo espaço amostral, embora com muitos elementos, é finito e equiprovável. Assim, escolhendo-se ao acaso um dos números do item (a), a probabilidade [tex]P[/tex] de que este número tenha exatamente dois dígitos ímpares juntos é dada pela razão entre "casos favoráveis" e "casos possíveis", ou seja: Para que um número par com nove dígitos distintos e todos os nove diferentes de [tex]0[/tex] tenha exatamente dois algarismos ímpares em posições consecutivas, esse número deve ter uma
das seguintes formas:
Temos cinco algarismos ímpares para ocuparem cinco posições e quatro algarismos pares para ocuparem quatro posições:
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem e, portanto, temos [tex]\boxed{5! \times 4!}[/tex] modos de formar esses tipos de números. As próximas contagens serão idênticas a esta que acabamos de fazer, mas vamos explicitá-las para um melhor entendimento!
Temos cinco algarismos ímpares para ocuparem cinco posições e quatro algarismos pares para ocuparem quatro posições:
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem temos [tex]\boxed{5! \times 4!}[/tex] modos de formar esse tipo de números.
Temos cinco algarismos ímpares para ocuparem cinco posições e quatro algarismos pares para ocuparem quatro posições:
Novamente, pelo Princípio Fundamental da Contagem temos [tex]\boxed{5! \times 4!}[/tex] modos de formar esse tipo de números.
Temos cinco algarismos ímpares para ocuparem cinco posições e quatro algarismos pares para ocuparem quatro posições:
Também pelo Princípio Fundamental da Contagem temos [tex]\boxed{5! \times 4!}[/tex] modos de formar esse tipo de números. Dessa forma, temos um total de [tex]\boxed{4 \times 5! \times 4!}[/tex] números pares com nove dígitos distintos, todos os nove diferentes de zero, que tenham exatamente dois algarismos ímpares em posições consecutivas. Finalmente, a probabilidade [tex]P[/tex] de que escolhido ao acaso um dos números do item (a) este número tenha exatamente dois dígitos ímpares juntos é dada por: Portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\, P \approx 7,1\%$}\,[/tex]. Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-para-ajudar-na-escola-par-impar/ Quantos números ímpares de 5 algarismos distintos podemos formar utilizando os algarismos 1 3 4 5 7 8 é 9?Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9. Resposta: P(5)=120.
Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos?Quantidade de números naturais com cinco algarismos
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem 9×10×10×10×10=90000 números naturais com cinco algarismos e, portanto, T=90000.
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar 1 3 5 8?Podemos formar 120 números distintos. Temos aqui um exercício de Análise Combinatória.
Qual é o número ímpar de 5 algarismos diferentes?O menor número ímpar com cinco algarismos é o número 10.001.
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