a) Se p representa o preço dos ingressos e sabemos que em determinada sessão esse valor foi de R$ 60,00, então basta substituirmos p por 60 em p = – 0,2x + 100: Show p = – 0,2x + 100 Se x = 200, a quantidade de frequentadores foi de 200. Precisamos agora determinar o valor da receita. Para isso, faremos: receita = preço · quantidade Então, com o ingresso no valor de R$60,00, a receita arrecadada por sessão é de R$ 12.000,00. b) Se R é a receita arrecadada por sessão, p é o preço dado por p = – 0,2x + 100 e x é a quantidade de frequentadores, pela fórmula do cálculo da receita, temos: receita = preço · quantidade Temos aqui uma função do segundo grau. Para determinar o valor referente à máxima receita, utilizaremos o cálculo do vértice da parábola, isto é: xv = – b = – 100 = 250 Portanto, a quantidade de frequentadores deve ser de x = 250. Substituindo esse valor na relação p = – 0,2x + 100, teremos: p = – 0,2x + 100 Então, para obter a máxima receita por sessão, o preço do ingresso deve ser R$ 50,00. A função determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. Podemos defini-la utilizando uma lei de formação, em que, para cada valor de x, temos um valor de f(x). Chamamos x de domínio e f(x) ou y de imagem da função. A formalização matemática para a definição de função é dada por: Seja X um conjunto com elementos de x e Y um conjunto dos elementos de y, temos que: Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) f: x → y
 Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um único elemento do conjunto y. Essa ocorrência é determinada por uma lei de formação. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) A partir dessa definição, é possível constatar que x é a variável independente e que y é a variável dependente. Isso porque, em toda função, para encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o valor de x. Tipos de funções As funções podem ser classificadas em três tipos, a saber:
Nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único elemento da imagem f(x). Todavia, podem existir elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso acontece, dizemos que o contradomínio e imagem são diferentes. Veja um exemplo:
As funções podem ser representadas graficamente. Para que isso seja feito, utilizamos duas coordenadas, que são x e y. O plano desenhado é bidimensional. A coordenada x é chamada de abscissa e a y, de ordenada. Juntas em funções, elas formam leis de formação. Veja a imagem do gráfico do eixo x e y: Do último ano do Fundamental e ao longo do Ensino Médio, geralmente estudamos doze funções, que são: 1 – Função constante; 2 – Função par; 3 – Função ímpar; 4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau; 5 – Função Linear; 6 – Função crescente; 7 – Função decrescente; 8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau; 9 – Função modular; 10 – Função exponencial; 11 – Função logarítmica; 12 – Funções trigonométricas; 13 – Função raiz. Mostraremos agora o gráfico e a fórmula geral de cada uma das funções listadas acima: 1 - Função constante Na função constante, todo valor do domínio (x) tem a mesma imagem (y). Fórmula geral da função constante: f(x) = c x = Domínio f(x) = Imagem c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais. Exemplo de gráfico da função constante: f(x) = 2 2 – Função Par A função par é simétrica em relação ao eixo vertical, ou seja, à ordenada y. Entenda simetria como sendo uma figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente. Fórmula geral da função par: f(x) = f(- x) x = domínio f(x) = imagem - x = simétrico do domínio Exemplo de gráfico da função par: f(x) = x2 3 – Função ímpar A função ímpar é simétrica (figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente) em relação ao eixo horizontal, ou seja, à abscissa x. Fórmula geral da função ímpar f(– x) = – f(x) – x = domínio f(– x) = imagem - f(x) = simétrico da imagem Exemplo de gráfico da função ímpar: f(x) = 3x 4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da variável x (termo desconhecido), que sempre deve ser igual a 1. Nessa função, o gráfico é uma reta. Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b. Fórmula geral da função afim ou polinomial do primeiro grau f(x) = ax + b x = domínio f(x) = imagem a = coeficiente b = coeficiente Exemplo de gráfico da função polinomial do primeiro grau: f(x) = 4x + 1 5 – Função Linear A função linear tem sua origem na função do primeiro grau (f(x) = ax + b). Trata-se de um caso particular, pois b sempre será igual a zero. Fórmula geral da função linear f(x) = ax x = domínio f(x) = imagem a = coeficiente Exemplo de gráfico da função linear: f(x) = -x/3 6 – Função crescente A função polinomial do primeiro grau será crescente quando o coeficiente a for diferente de zero e maior que um (a > 1). Fórmula geral da função crescente f(x) = + ax + b x = domínio f(x) = imagem a = coeficiente sempre positivo b = coeficiente Exemplo de gráfico da função crescente: f(x) = 5x 7 – Função decrescente Na função decrescente, o coeficiente a da função do primeiro grau (f(x) = ax + b) é sempre negativo. Fórmula geral da função decrescente f(x) = - ax + b x= domínio/ incógnita f(x) = imagem - a = coeficiente sempre negativo b = coeficiente Exemplo de gráfico da função decrescente: f(x) = - 5x 8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau Identificamos que uma função é do segundo grau quando o maior expoente que acompanha a variável x (termo desconhecido) é 2. O gráfico da função polinomial do segundo grau sempre será uma parábola. A sua concavidade muda de acordo com o valor do coeficiente a. Sendo assim, se a é positivo,aconcavidade é para cima e, se for negativo, é para baixo. Fórmula geral da função quadrática ou polinomial do segundo grau f(x) = ax2 + bx + c x = domínio f(x) = imagem a = coeficiente que determina a concavidade da parábola. b = coeficiente. c = coeficiente. Exemplo de gráfico da função polinomial do segundo grau: f(x) = x2 – 6x + 5 9 – Função modular A função modular apresenta o módulo, que é considerado o valor absoluto de um número e é caracterizado por (| |). Como o módulo sempre é positivo, esse valor pode ser obtido tanto negativo quanto positivo. Exemplo: |x| = + x ou |x| = - x. Fórmula geral da função modular f(x) = x, se x≥ 0 ou f(x) = – x, se x < 0 x = domínio f(x) = imagem - x = simétrico do domínio Exemplo de gráfico da função modular: f(x) = 10 – Função exponencial Uma função será considerada exponencial quando a variável x estiver no expoente em relação à base de um termo numérico ou algébrico. Caso esse termo seja maior que 1, o gráfico da função exponencial é crescente. Mas se o termo for um número entre 0 e 1, o gráfico da função exponencial é decrescente. Fórmula geral da função exponencial f(x) = ax a > 1 ou 0 < a < 1 x = domínio f(x) = imagem a = Termo numérico ou algébrico Exemplo de gráfico da função exponencial crescente: f(x) = (2)x, para a = 2 Exemplo de gráfico da função exponencial decrescente: f(x) = (1/2)x para a = ½ 11 - Função logarítmica Na função logarítmica, o domínio é o conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio é o conjunto dos elementos dependentes da função, sendo todos números reais. Fórmula geral da função logarítmica f(x) = loga x a = base do logaritmo Exemplo de gráfico da função logarítmica: f(x) = log10 (5x - 6) 12 – Funções trigonométricas As funções trigonométricas são consideradas funções angulares e são utilizadas para o estudo dos triângulos e em fenômenos periódicos. Podem ser caracterizadas como razão de coordenadas dos pontos de um círculo unitário. As funções consideradas elementares são: - Seno: f(x) = sen x - Cosseno: f(x) = cos x - Tangente: f(x) = tg x Exemplo de gráfico da função trigonométrica seno: f(x) = sen (x + 2) Exemplo de gráfico da função trigonométrica cosseno: f(x) = cos (x + 2) Exemplo de gráfico da função tangente: f(x) = tg (x + 2) 13 – Função raiz O que determina o domínio da função raiz é o termo n que faz parte do expoente. Se n for ímpar, o domínio (x) será o conjunto dos números reais; se n for par, o domínio (x) será somente os números reais positivos. Isso porque, quando o índice é par, o radicando (termo que fica dentro da raiz) não pode ser negativo. Fórmula geral da função raiz f(x) = x 1/n f(x) = Imagem x = domínio/ base 1/n = expoente Exemplo de gráfico da função raiz: f(x) = (x)1/2 Qual dessas relações define uma função de PP em qq I II III IV?A função de P em Q se encontra na alternativa IV.
Em qual dessas opções a relação FF define uma função de PP para qq I II III IV V?A opção correta é a V.
Qual é a lei de formação de F?Informalmente, a lei de formação da função f é a regra matemática que define exatamente como associar a cada elemento a do domínio A um único valor b, ou f(a), do contradomínio B.
Qual dessas relações pode definir uma função?Relações para definir uma função
Tem-se o conjunto de entrada, chamado de domínio, e o conjunto de saída, chamado de contradomínio. Em uma função, todos os elementos do domínio devem ter um, e apenas um elemento relacionado no contradomínio.
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Em qual dessas opções a relação FF define uma função de PP para qq I II III IV V anterior revisar próximo?
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