Em um poliedro convexo o numero de vertices é 6

A relação de Euler é uma igualdade que relaciona o número de vértices, arestas e faces em poliedros convexos. Ela diz que o número de faces mais o de vértices é igual ao número de arestas mais dois.

A relação de Euler é dada por:

Ao encontro das faces, damos o nome de arestas (A).

Os vértices são os pontos em que três ou mais arestas se encontram.

Poliedros convexos

Os poliedros convexos são sólidos geométricos que não apresentam concavidade, por isso, em nenhuma de suas faces há ângulos internos maiores que 180º.

Neste poliedro o ângulo interno marcado em azul possui mais de 180º, de forma que não é um poliedro convexo.

Veja mais sobre poliedros.

Exercícios sobre relação de Euler

Exercício 1

Determine o número de faces em um poliedro com 9 arestas e 6 vértices.

Ver Resposta

Resposta correta: 5 faces.

Utilizando a relação de Euler:

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5

Exercício 2

Um dodecaedro é um sólido platônico com 12 faces. Sabendo que ele possui 20 vértices, determine seu número de arestas.

Ver Resposta

Resposta correta:

Utilizando a relação de Euler:

F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A

Exercício 3

Qual o nome do poliedro com 4 vértices e 6 arestas em relação ao seu número de faces, onde as faces são triângulos?

Ver Resposta

Resposta: Tetraedro.

Precisamos determinar o seu número de faces.

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4

O poliedro que possui 4 faces na forma de triângulos se chama Tetraedro.

Quem foi Leonhard Paul Euler?

Leonhard Paul Euler (1707-1783) foi um dos mais proficientes matemáticos e físicos da história, além de contribuir com estudos sobre Astronomia. Suíço de língua alemã, foi professor de Física da Academia de Ciências de São Petersburgo e, posteriormente, de Academia de Berlim. Publicou diversos estudos sobre Matemática.

Aprenda também:

• Sólidos geométricos
• Geometria Espacial
• Formas Geométricas
• Prisma - Figura Geométrica
• Pirâmide
• Paralelepípedo
• Cubo

Rafael C. Asth

Professor de Matemática, licenciado e pós-graduado em ensino da Matemática e da Física. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.

Relação de Euler - Estudando poliedros convexos

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Vamos observar uma propriedade nos poliedros convexos a seguir:

Cubo
Vértices: 8
Arestas: 12
Faces: 6

Somando o número de vértices com o número de faces, temos: 8 + 6 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números!

Octaedro
Vértices: 6
Arestas: 12
Faces: 8

Fazendo a mesma conta com o octaedro: 6 + 8 = 14. Observe o número de arestas. Guarde esses dois números novamente!

Pirâmide quadrangular
Vértices: 5
Arestas: 8
Faces: 5

Na pirâmide, o mesmo: 5 + 5 = 10. E o número de arestas?

O que aconteceu em todos os casos?

O número de vértices, somado ao número de faces, é igual ao número de arestas mais 2!

Essa é a Relação de Euler para poliedros convexos:

V+F=2+A

Exercícios resolvidos usando a Relação de Euler

1) (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.

Resolução:

De acordo com o enunciado, temos:
A = V + 6

Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

V + F = 2 + A
V + F = 2 + V + 6

Eliminando V:

F = 8

O número de faces é igual a 8.

2) (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Resolução:

Do enunciado, sabemos que
Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9

Número de arestas:
3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20
Somando: 12 + 6 + 20 = 38

Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo:

A = 38 ÷ 2 = 19.

Usando, agora, a Relação de Euler, temos:

V + F = 2 + A
V + 9 = 2 + 19
V = 21 - 9 = 12.

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