Equação do segundo grau - exercícios resolvidos

Equação do 2º grau é uma equação do tipo \(ax^2+bx+c=0\), em que a, b e c são número reais, conhecidos como coeficientes da equação. A equação do 2º grau pode ser completa, se os seus coeficientes são diferentes de 0, e incompleta, caso o coeficiente b ou c seja igual a 0.

Para resolver uma equação do 2ºgrau, utiliza-se diferentes métodos, o principal deles é a fórmula de Bhaskara, mas pode-se resolvê-la também por soma e produto. A equação do 2º grau pode ter duas soluções reais, uma solução real ou nenhuma solução real, e, para verificar a quantidade de soluções, calcula-se o valor do Δ.

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Resumo sobre a equação do 2º grau

• A equação do 2º grau é do tipo ax² + bx + c = 0.

• Pode ser completa, se os seus coeficientes forem todos diferentes de zero, e incompleta, caso contrário.

• Para encontrar suas soluções, calcula-se o discriminante Δ e depois utiliza-se a fórmula de Bhaskara.

  • Se Δ > 0, a equação possui duas soluções reais.

  • Se Δ = 0, a equação possui uma solução real.

  • Se Δ < 0, a equação não possui solução real.

• A fórmula de Bhaskara é:

\(x=\frac{-b±\sqrtΔ}{2a}\)

• Pode-se resolver a equação do 2º grau pela operação soma e produto.

Videoaula sobre equação do 2º grau

O que é uma equação do 2º grau?

Conhece-se como equação do 2º grau as equações do tipo \(ax^2+bx+c=0\), em que \(a≠0\), e a, b e c são números reais conhecidos como coeficientes da equação do 2º grau.

Exemplos:

2x² + 3x – 4 = 0

x² + 2x = 0

– x² + 14 = 0

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Quais são os tipos de equação do 2º grau?

Uma equação do 2º grau pode ser completa ou incompleta. Ela é completa quando possui todos os coeficientes diferentes de 0, e incompleta, caso o coeficiente b ou o coeficiente c sejam iguais a 0. O coeficiente a não pode ser igual a 0, pois, caso fosse, a equação não seria do 2º grau.

As equações incompletas se dividem em três casos, são eles, quando b = 0, quando c = 0 e quando b e c = 0. Veja cada uma deles a seguir.

• Equação completa: quando os coeficientes a, b e c são diferentes de 0. Exemplos:

x² + 2x – 13 = 0

2x² – x + 4 = 0

– 4x² + 14x – 1 = 0

• Equação incompleta: quando os coeficientes b ou c são iguais a 0.

  • Equações do tipo ax² + bx = 0: quando c = 0, a equação incompleta não possuirá o coeficiente c, conhecido também como termo independente da equação. Exemplos:

2x² + 5x = 0

-x² + x = 0

2x² + 2x = 0

• • Equações do tipo ax² + c = 0: quando b = 0, a equação do 2º grau não possuirá o termo bx.

2x² – 4 = 0

-x² + 9 = 0

x² – 5 = 0

• • Equações do tipo ax² = 0: quando b e c são iguais a 0, a equação não possuirá o termo bx nem o termo c. Só possuirá uma única solução, x = 0.

\(2x^2=0\)

\(x^2=\frac{0}2\)

\(x^2=0\)

\(x=0\)

Como resolver a equação do 2ºgrau?

As soluções de uma equação do 2º grau, conhecidas também como raízes da equação, são os valores de x que fazem com que essa equação seja verdadeira. Uma equação do 2º grau pode ter duas soluções reais, uma solução real, ou até mesmo nenhuma solução real. Veja, a seguir, os dois métodos para calcular as soluções da equação de 2ºgrau, são eles a fórmula de Bhaskara e a operação soma e produto.

• Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara utiliza os coeficientes a, b e c para encontrar a solução da equação. Para resolver uma equação utilizando a fórmula de Bhaskara, calcula-se o discriminante, representado pela letra grega Δ (delta).

\(Δ=b^2-4ac\)

Com o valor do discriminante, é possível saber se a equação possui solução real e quantas soluções são:

• Se Δ > 0, então a equação possui duas soluções reais.

• Se Δ = 0, então a equação possui uma solução real.

• Se Δ < 0, então a equação não possui solução real.

Além do discriminante, é necessário calcular o valor de x pela fórmula de Bhaskara:

\(x=\frac{-b±\sqrtΔ}{2a}\)

Exemplo:

Resolva a equação: x² + 3x – 4 = 0

 Para resolver a equação, primeiro, identifica-se os seus coeficientes:

• a = 1

• b = 3

• c = -4

Agora calcula-se o discriminante:

Δ = b² – 4ac

Δ = 3² – 4 · 1 · (-4)

Δ = 9 – 4 · (-4)

Δ = 9 + 16

Δ = 25

E utiliza-se a fórmula de Bhaskara para encontrar as soluções da equação:

\(x=\frac{-b±\sqrtΔ}{2a}\)

\(x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\cdot1}\)

\(x=\frac{-3±5}{2}\)

Após simplificar a expressão ao máximo possível, ela será dividida em duas soluções, \(x_1\)e\(x_2\). A primeira é considerada a soma entre os números do numerador, e na segunda considera-se a diferença entre os números do numerador:

\(x_1=\frac{-3+5}2=\frac{2}2=1\)

\(x_2=\frac{-3-5}2=\frac{-8}2=-4\)

Então essa equação possui duas soluções, são elas, x = 1 ou x = \(-4\).

• Soma e produto

A operação soma e produto é um método mais intuitivo de resolução. Utiliza-se a soma e o produto quando as soluções da equação de 2º grau são números inteiros, pois, dada uma equação do 2º grau com soluções iguais a \(x_1\) e \(x_2\), tem-se que:

\(x_1+x_2=-\frac{b}a\)

\(x_1⋅x_2=\frac{c}a\)

Exemplo:

Quais são as raízes da equação x² – 2x – 8 = 0?

Primeiro, deve-se encontrar a, b e c.

• a = 1

• b = -2

• c = -8

Substituindo os valores de a, b e c na fórmula:

\(x_1+x_2=-\frac{(-2)}1=2\)

\( x_1⋅x_2=\frac{-8}1= - 8\)

Agora, uma lista dos números inteiros em que a multiplicação será igual a -8:

\(1⋅(-8)=-8\)

\((-1)⋅8=-8\)

\(2⋅(-4)=-8\)

\((-2)⋅4=-8\)

Dos números da lista, verifica-se qual deles satisfaz a soma, ou seja, o par de números cuja soma é 2.

\((-2)+4=2\)

Note que esse par é o único cuja soma é igual a 2, então as soluções dessa equação são -2 e 4.

Leia também: Como resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita

Sistema de equações do 2º grau

Para encontrar as soluções de um sistema de equação do 2º grau, utiliza-se o método de substituição.

Exemplo:

Resolução:

Primeiro, isola-se uma das incógnitas na equação do 1º grau:

\(y=5 –x \)

Depois, substitui-se o valor de y na primeira equação:

\(x^2 + y^2 =13\)

\(x^2 + (5 – x)^2 =13\)

\(x^2+ 25 – 10x +x^2 =13\)

\(2x^2– 10x + 25 – 13=0\)

\(2x^2 –10x + 12 = 0\)

Agora que foi encontrada uma equação do 2º grau, ela será resolvida utilizando-se um dos métodos apresentados anteriormente. Resolvendo por soma e produto, tem-se que:

\(x_1+x_2=-\frac{(-10)}2=-(-5)=5\)

\(x_1⋅x_2=\frac{12}2=6\)

Encontrando os números cujo produto é 6:

\(1⋅6=6\)

\(2⋅3=6 \)

Note que, das opões que se apresentam, somente 2 e 3 somam 5, logo, as soluções dessa equação são 2 e 3.

Se x = 2, tem-se que:

x + y = 5

2 + y = 5

y = 5 – 2

y = 3

Se y = 3, tem-se que:

3 + y = 5

y = 5 – 3

y = 2

Assim, as soluções são: S = {(2,3); (3,2)}.

Exercícios resolvidos sobre equações do 2º grau

Questão 1

Dada a equação \(2x^2+4x-8=0\), a soma das suas raízes é igual a:

A) 2

B) 1

C) 0

D) -1

E) -2

Resolução:

Alternativa E

Pela fórmula de soma e produto, tem-se que:

\(x_1+x_2=-\frac{b}a\)

\(x_1+x_2=-\frac{4}2\)

\(x_1+x_2=-2\)

Questão 2

Um retângulo tem lados medindo (x + 5) e (x – 3). Se a área desse retângulo é de 65 cm², então a medida de x é:

A) 4 cm

B) 5 cm

C) 6 cm

D) 7 cm

E) 8 cm

Resolução:

Alternativa E

Para calcular a área do retângulo, multiplica-se as suas duas dimensões.

(x + 5)(x – 3) = x² – 3x + 5x – 15 = 65

x² + 2x – 15 – 65 = 0

x² + 2x – 80 = 0

Dada a equação do 2º, tem-se que:

• a = 1

• b = 2

• c = -80

\(Δ=b^2-4ac\)

\(Δ=2^2-4⋅1⋅(-80)\)

\(Δ= 4 +320\)

\(Δ= 324\)

\(x=\frac{-b±\sqrtΔ}{2a}\)

\(x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2⋅1}\)

\(x=\frac{-2±18}2\)

\(x_1=\frac{-2+18}2=\frac{16}2=8\)

\(x_2=\frac{-2-18}2=\frac{-20}2=-10\)

Sabe-se que a medida de um lado do retângulo não pode ser negativa, logo, tem-se que x = 8.

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