Escreva uma expressão algébrica que represente a medida da área p 8p 8

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Ensino Fundamental

Express�es alg�bricas

Valdirene M.Santos
Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 O uso das express�es alg�bricas
• 2 Elementos hist�ricos
• 3 Express�es Num�ricas
• 4 Express�es alg�bricas
• 5 Prioridade das opera��es com express�es
• 6 Mon�mios e polin�mios
• 7 Identifica��o das express�es alg�bricas
• 8 Valor num�rico de express�o identificada
• 9 A regra dos sinais (produto ou divis�o)
• 10 Regras de potencia��o
• 11 Elimina��o de par�nteses em Mon�mios
• 12 Opera��es com express�es de Mon�mios
  • 12.1 Somando e subtraindo Mon�mios
  • 12.2 Multiplicando Mon�mios
  • 12.3 Dividindo Mon�mios
  • 12.4 Pot�ncias de Mon�mios
• 13 Alguns Produtos not�veis
  • 13.1 Quadrado da soma de dois termos
  • 13.2 Quadrado da diferen�a de dois termos
  • 13.3 Produto da soma pela diferen�a de dois termos

1 O uso das express�es alg�bricas

No cotidiano, muitas vezes usamos express�es sem perceber que as mesmas representam express�es alg�bricas ou num�ricas.

Em uma papelaria, quando calculamos o pre�o de um caderno somado ao pre�o de duas canetas, usamos express�es como \(1x+2y\), onde \(x\) representa o pre�o do caderno e \(y\) o pre�o de cada caneta.

Em um col�gio, ao comprar um lanche, somamos o pre�o de um refrigerante com o pre�o de um salgado, usando express�es do tipo \(1x+1y\) onde \(x\) representa o pre�o do salgado e \(y\) o pre�o do refrigerante.

Usamos a subtra��o para saber o valor do troco. Por exemplo, se \(V\) � o valor total de dinheiro dispon�vel e \(T\) � o valor do troco, ent�o temos uma expres�o alg�brica do tipo \(V-(1x+1y)=T\).

As express�es alg�bricas s�o encontradas muitas vezes em f�rmulas matem�ticas. Por exemplo, no c�lculo de �reas de ret�ngulos, tri�ngulos e outras figuras planas.

1. \(A=b{\times}h\) � a f�rmula para calcular a �rea do ret�ngulo:
   
2. \(A=b{\times}h/2\) � a �rea para calcular a �rea do tri�ngulo:
   
3. \(P=4a\) � a f�rmula para calcular o per�metro do quadrado:
   

2 Elementos hist�ricos

Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representa��o de n�meros e rela��es. De acordo com fontes hist�ricas, os gregos Euclides e Arist�teles (322-384 a.C), usaram as letras para representar n�meros. A partir do s�culo XIII o matem�tico italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do �baco) sobre a arte de calcular, observamos alguns c�lculos alg�bricos.

O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o c�lculo alg�brico passou a ser estudado pelo matem�tico alem�o Stifel (1486-1567), pelos matem�ticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de �lgebra publicada em 1572), por�m, foi com o matem�tico franc�s Fran�ois Vi�te (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matem�ticas, quando desenvolveu o estudo do c�lculo alg�brico.

3 Express�es Num�ricas

S�o express�es matem�ticas que envolvem opera��es com n�meros.

Exemplos:

1. \(a = 7+5+4\)
2. \(b = 5+20-87\)
3. \(c = (6+8)-10\)
4. \(d = (5{\times}4)+15\)

4 Express�es alg�bricas

S�o express�es matem�ticas que apresentam letras e podem conter n�meros. S�o tamb�m denominadas express�es literais.

Exemplos

1. \(A = 2a+7b\)
2. \(B = (3c+4)-5\)
3. \(C = 23c+4\)
4. \(D = 4(2a+c)^2\)

As letras nas express�es s�o chamadas vari�veis o que significa que o valor de cada letra pode ser substitu�da por um valor num�rico.

5 Prioridade das opera��es com express�es

Nas opera��es com express�es alg�bricaa, devemos obedecer � seguinte ordem:

1. Potencia��o ou Radicia��o
2. Multiplica��o ou Divis�o
3. Adi��o ou Subtra��o

Notas quanto � prioridade:

1. Antes de cada uma das tr�s opera��es citadas, deve-se realizar a opera��o que estiver dentro dos par�nteses, colchetes ou chaves.
2. A multiplica��o pode ser indicada por \({\times}\) ou por um ponto \(\cdot\) ou �s vezes sem sinal, desde que fique clara a inten��o da express�o.
3. Muitas vezes devemos usar par�nteses quando substitu�mos vari�veis por valores negativos.

Exemplo1: Consideremos \(P=2A+10\) e tomemos \(A=5\). Assim

\[P=2 \times 5+10 = 10+10 = 20\]

Aqui \(A\) � a vari�vel da express�o, \(5\) � o valor num�rico da vari�vel e \(20\) � o valor num�rico da express�o indicada por \(P\). Observe que ao mudar o valor de \(A\) para \(9\), obtemos:

\[A = 2 \times 9 + 10 = 18 + 10 = 28\]

Se \(A=9\), o valor num�rico de \(P=2A+10\) � igual a \(28\).

Exemplo2: Seja \(X=4A+2+B-7\) e tomemos \(A=5\) e \(B=7\). Assim:

\[X = 4 \times 5 + 2 + 7 - 7 = 20 + 2 - 0 = 22\]

Se \(A=5\) e \(B=7\), o valor num�rico de \(X=4A+2+B-7\), muda para \(22\).

Exemplo3: Seja \(Y=18-C+9+D+8C\), onde \(C=-2\) e \(D=1\). Ent�o:

\[\begin{align*} Y & = 18 -(-2) +9 +1 + 8(-2) \\ & = 18 +2 +9 +1 -16 \\ & = 30 -16 = 14 \end{align*}\]

Se \(C=-2\) e \(D=1\), obtemos \(Y=18-C+9+D+8C=14\).

Conclus�o: O valor num�rico de uma express�o alg�brica � o valor obtido na express�o quando substitu�mos a vari�vel por um valor num�rico.

Exemplos:

1. Um tri�ngulo equil�tero possui os tr�s lados com mesma medida. Calcular o per�metro de um tri�ngulo equil�tero cujo lado mede \(5\;\text{cm}\), sabendo-se que o per�metro de um triangulo equil�tero pode ser representado por uma express�o alg�brica da forma: \(P=a+a+a=3a\). Substituindo \(a=5\;\text{cm}\) nesta express�o, obtemos \(P=3(5)15\;\text{cm}\).
   
2. Para obter a �rea do quadrado cujo lado mede 7 cm, devemos usar a express�o alg�brica para a �rea do quadrado de lado \(L\) que � \(A=L{\times}L=L^2\). Assim, se \(L=7\) cm, ent�o \(A=7{\times}7=49\;\text{cm}^2\).
   
   Nota: Mudando o valor do lado para \(L=8\) cm, o valor da �rea muda para \(A=8{\times}8=64\;\text{cm}^2\).
3. Escreva express�es alg�bricas para representar o per�metro de cada uma das figuras abaixo:
   
   
   

4. Se a letra \(y\) � um n�mero natural, escreva a express�o alg�brica que representa:
   1. O dobro desse n�mero,
   2. O sucessor desse n�mero,
   3. O antecessor desse n�mero (se existir), e
   4. Um ter�o do n�mero somado com seu sucessor.
5. Como caso particular do exerc�cio anterior, tome \(y=9\) e calcule o valor num�rico:
   1. do dobro de \(y\),
   2. do sucessor de \(y\),
   3. do antecessor de \(y\) e
   4. da ter�a parte de \(y\) somado com o sucessor de \(y\).
6. Calcular a �rea do trap�zio ilustrado na figura, sabendo-se que esta �rea pode ser obtida pela express�o alg�brica \(A=(B+b)h/2\), onde \(B\) � a medida da base maior, \(b\) � a medida da base menor e \(h\) � a medida da altura.
   

6 Mon�mios e polin�mios

S�o express�es matem�ticas especiais envolvendo valores num�ricos e literais, onde podem aparecer somente opera��es de adi��o, subtra��o ou multiplica��o. Os principais tipos s�o apresentados na tabela:

\[\begin{matrix} \hline \text{Nome} & \text{No.termos} & \text{Exemplo} \\ \hline \text{mon�mio} & um & m(x,y)=3xy \\ \text{bin�mio} & dois & b(x,y)=6x^2y-7y \\ \text{trin�mio} & tr�s & f(x)=ax^2+bx+c \\ \text{polin�mio} & v�rios & p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n \\ \hline \end{matrix}\]

7 Identifica��o das express�es alg�bricas

Com muita frequ�ncia, as express�es alg�bricas aparecem na forma:

\[3x^2y\]

onde se observa que ela depende das vari�veis literais \(x\) e \(y\), mas � importante identificar tais express�es com nomes como:

\[p(x,y) = 3x^2y\]

para deixar claro que esta � uma express�o alg�brica que depende das vari�veis \(x\) e \(y\).

Esta forma de nota��o � muito �til e nos leva ao conceito de fun��o de v�rias vari�veis que � um dos conceitos mais importantes da Matem�tica.

8 Valor num�rico de express�o identificada

� o valor obtido para a express�o, ao substituir as vari�veis literais por valores num�ricos.

Exemplo: Se \(p(x,y)=3x^2y\), ent�o para \(x=7\) e \(y=2\) temos que:

\[p(7,2) = 3{\times}7^2{\times}2=294\]

Alterando os valores para \(x=-1\) e \(y=5\), obtemos outro valor num�rico:

\[p(-1,5) = 3{\times}(-1)^2{\times}5=3{\times}5=15\]

mas dependendo da mudan�a de \(x\) e de \(y\), poder�amos obter o mesmo

valor num�rico que antes. Se \(x=-7\) e \(y=2\), obtemos:

\[p(7,2) = 3{\times}(-7)^2{\times}2=294\]

9 A regra dos sinais (produto ou divis�o)

\[\begin{array}{ccc} \hline (+1)\times(+1)=+1 & & (+1)�(+1)=+1 \\ (+1)\times(-1)=-1 & & (+1)�(-1)=-1 \\ (-1)\times(+1)=-1 & & (-1)�(+1)=-1 \\ (-1)\times(-1)=+1 & & (-1)�(-1)=+1 \\ \hline \end{array}\]

10 Regras de potencia��o

Para quaisquer \(x,y\in R\) n�o nulos, e, \(m,n \in Z\), tem-se que:

\[\begin{array}{} \hline \text{Propriedades} & \text{Alguns exemplos} \\ \hline x^0=1 (x\neq 0) & 5^0=1 \\ x^m x^n = x^{m+n} & 5^2.5^4=5^{6} \\ x^m y^m = (xy)^m & 5^2 3^2=15^2 \\ x^m � x^n = x^{m-n} & 5^{20}�5^4 = 5^{16} \\ x^m�y^{m} = (x/y)^m & 5^2�3^2=(5/3)^2 \\ (x^m)^n = x^{mn} & (5^{3})^2=125^2 = 15625 = 5^{6} \\ x^{m�n} = (x^m)^{1/n} & 5^{3�2}=(5^{3})^{1/2} = 125^{1/2} \\ x^{-m} = 1 � x^m & 5^{-3}=1�5^{3} = 1/125 \\ x^{-m/n}=1�(x^m)^{1/n}& 5^{-3/2}=1�(5^{3})^{1/2}=1�(125)^{1/2} \\ \hline \end{array}\]

11 Elimina��o de par�nteses em Mon�mios

Para eliminar os par�nteses em uma express�o alg�brica, deve-se multiplicar o sinal que est� fora (e antes) dos par�nteses pelo sinal que est� dentro (e antes) dos par�nteses com o uso da regra dos sinais. Se o mon�mio n�o tem sinal, o sinal � o positivo. Se o mon�mio tem o sinal \(+\), o sinal � o positivo.

Exemplos:

1. \(A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x\)
2. \(B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = \;\;3x\)
3. \(C = +(4x)+(-7x) = +4x-7x = -3x\)
4. \(D = +(4x)+(+7x) = +4x+7x = 11x\)

12 Opera��es com express�es de Mon�mios

12.1 Somando e subtraindo Mon�mios

Para somar ou subtrair mon�mios, primeiramente devemos eliminar os par�nteses e depois realizar as opera��es.

Exemplos:

1. \(A = -(4x)+(-3x) = -4x-3x = -7x\)
2. \(B = -(4x)+(+3x) = -4x+3x = -1x\)
3. \(C = +(4x)+(-3x) = +4x-3x = +1x\)
4. \(D = +(4x)+(+3x) = +4x+3x = +7x\)

12.2 Multiplicando Mon�mios

Para multiplicar mon�mios, deve-se primeiramente multiplicar os valores num�ricos observando com muito cuidado a regra de multiplica��o dos sinais, multiplicar as pot�ncias literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. \(A = -(4x^2y)(-2xy) = +8x^{3}y^2\)
2. \(B = -(4x^2y)(+2xy) = -8x^{3}y^2\)
3. \(C = +(4x^2y)(-2xy) = -8x^{3}y^2\)
4. \(D = +(4x^2y)(+2xy) = +8x^{3}y^2\)

12.3 Dividindo Mon�mios

Para dividir mon�mios, deve-se primeiramente dividir os valores num�ricos observando com muito cuidado a regra de divis�o dos sinais, dividir as pot�ncias literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. \(A = -(4x^2y)�(-2xy) = +2x\)
2. \(B = -(4x^2y)�(+2xy) = -2x\)
3. \(C = +(4x^2y)�(-2xy) = -2x\)
4. \(D = +(4x^2y)�(+2xy) = +2x\)

12.4 Pot�ncias de Mon�mios

Para realizar a potencia��o de um mon�mio, deve-se primeiramente realizar a potencia��o do valor num�rico levando em considera��o o sinal, tomar as pot�ncias literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. \(A =(+4x^2y)^3= 4^3 x^2y x^2y ^2y = 256 x^{6} y^3\)
2. \(B =(-4x^2y)^3 = -4^3x^2y x^2y x^2y = -256x^{6} y^3\)

13 Alguns Produtos not�veis

No nosso link Produtos Not�veis, existem outros trinta (30) produtos not�veis importantes.

13.1 Quadrado da soma de dois termos

Cuidado: Sabemos que \(x^2=x.x\), \(y^2=y.y\), mas em geral,

\[x^2 + y^2 \neq (x+y)^2\]

e vale a igualdade se um dos dois termos seja nulo. Este erro � muito comum, mas o correto �:

\[(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\]

Isto significa que o quadrado da soma de dois n�meros nem sempre � igual � soma dos quadrados desses n�meros.

Existe um algoritmo matem�tico que permite obter o quadrado da soma de \(x\) e \(y\), e este algoritmo � semelhante �quele que permite obter o quadrado de um n�mero com dois d�gitos. Por exemplo, o n�mero \(13\) pode ser decomposto em \(10+3\):

\[\begin{array}{rcrcd} \hline {} & & x & +& y \\ {} & & x & +& y \\ \hline {} & +& 1xy & +& y^2 \\ x^2 & +& 1xy & +& {} \\ \hline x^2 & +& 2xy & +& y^2 \\ \hline \end{array}\]

\[\begin{array}{rcrcd} \hline {} & & 10 & +& 3 \\ {} & & 10 & +& 3 \\ \hline {} & +& 10{\cdot}3 & +& 3^2 \\ 10^2 & +& 10{\cdot}3 & +& {} \\ \hline 10^2 & +& 2{\cdot}10{\cdot}3 & +& 3^2 \\ \hline \end{array}\]

Compare as duas opera��es.

Assim temos que o quadrado da soma de dois termos \(x\) e \(y\), � a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:

\[(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\]

Exemplos:

1. \((x+8)^2 = x^2+2.x.8+8^2 = x^2+16x+64\)
2. \((3k+y)^2 = (3k)^2+2.3k.y+y^2 = 9k^2+6ky+y^2\)
3. \((1+x/5)^2 = 1+ 2x/5 +x^2/25\)

Exerc�cios: Desenvolver as express�es:

1. \((a+8)^2 =\)
2. \((4y+2)^2 =\)
3. \((9k/8 +3)^2 =\)

Pensando um pouco: Qual � o termo que deve ser posto no lugar de \([\quad]\) para que cada express�o seja coerente?

1. \((x+7)^2=x^2+[\quad]+49\),
2. \((5a+[\quad])^2 = 25a^2+30a+[\quad]\)
3. \(([\quad]+9)^2 = x^2+[\quad]+81\)
4. \((4b+[\quad])^2 = 16b^2+36b+[\quad]\)
5. \((c+8)^2=c^2+[\quad]+[\quad]\)

13.2 Quadrado da diferen�a de dois termos

Como um caso particular da situa��o anterior, o quadrado da diferen�a de \(x\) e \(y\) � igual ao quadrado de \(x\) somado com o quadrado de \(y\) menos o dobro de \(xy\). Resumindo:

\[(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\]

Exemplos:

1. \((x-4)^2 = x^2-2.x.4+4^2 = x^2-8x+16\)
2. \((9-k)^2 = 9^2-2.9.k+k^2 = 81-18k+k^2\)
3. \((2/y -x)^2 = (2/y)^2-2.(2/y).x+x^2\)

Exerc�cios: Complete o que falta.

1. \((5x-9)^2 =\)
2. \((k-6s)^2 =\)
3. \((p-[\quad])^2 = p^2-10p+[\quad]\)

13.3 Produto da soma pela diferen�a de dois termos

Vamos usar o mesmo algoritmo j� usado para o produto da soma de dois termos.

\[\begin{array}{rcrcd} \hline {} & & x & +& y \\ {} & & x & -& y \\ \hline {} & +& xy & -& y^2 \\ x^2 & -& xy & & {} \\ \hline x^2 & & {} & -& y^2 \\ \hline \end{array}\]

\[\begin{array}{rcrcd} \hline {} & & 10 & +& 3 \\ {} & & 10 & -& 3 \\ \hline {} & +& 10{\cdot}3 & -& 3^2 \\ 10^2 & -& 10{\cdot}3 & & {} \\ \hline 10^2 & & {} & -& 3^2 \\ \hline \end{array}\]

Em geral, o produto da soma de \(x\) e \(y\) pela diferen�a entre \(x\) e \(y\) � igual ao quadrado de \(x\) menos o quadrado de \(y\), isto �,

\[(x+y)(x-y) = x^2 - y^2\]

Exemplos:

1. \((x+2)(x-2) = x^2-2x+2x-4 = x^2-4\)
2. \((g-8)(g+8) = g^2-8g+8g-64 = g^2-64\)
3. \((k-20)(k+20) = k^2-400\)
4. \((9-z)(9+z) = 81-z^2\)

Exerc�cios: Complete as express�es:

1. \((6-m)(6+m) =\)
2. \((b+6)(b-6) =\)
3. \((6+b)(b-6) =\)
4. \((6+b)(6-b) =\)
5. \((100-u)(100+u) =\)
6. \((u-100)(100+u) =\)