Hexágono é o polígono que possui 6 lados. Ele é regular quando possui todos os lados e ângulos internos congruentes entre si. É irregular quando não possui essas características. O primeiro caso é o mais amplamente estudado, pois quando o hexágono é regular, ele possui propriedades específicas e fórmulas que nos permitem calcular sua área, perímetro e apótema. Show
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Resumo sobre hexágono
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
P = 6L
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\) Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) O que é hexágono?Hexágono é qualquer polígono que possui 6 lados, consequentemente 6 vértices e 6 ângulos. Como se trata de um polígono, ele é uma figura plana fechada com lados que não se cruzam. O hexágono é uma forma recorrente na natureza, como nos favos de mel, em estruturas da química orgânica, nos cascos de certas tartarugas e em flocos de neve.
Elementos do hexágonoUm hexágono é composto por 6 lados, 6 vértices e 6 ângulos internos. 
Classificação dos hexágonosOs hexágonos, assim como os demais polígonos, podem ser classificados de duas formas.
O hexágono é regular quando ele possui todos os seus lados congruentes — consequentemente, seus ângulos também serão congruentes. O hexágono regular é o mais importante dentre todos, sendo o mais amplamente estudando. É possível calcular vários de seus aspectos, como a área, com fórmulas específicas. Observação: O hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros, isto é, triângulos com todos os lados iguais. → Hexágono irregularHexágono irregular é aquele que possui lados com medidas diferentes. Ele pode ser convexo ou não convexo.
O hexágono é convexo quando possui todos os ângulos internos menores que 180°. → Hexágono irregular não convexoO hexágono é não convexo quando possui ângulos internos maiores que 180°. Propriedades do hexágono→ Número de diagonais de um hexágonoA primeira propriedade importante é que em um hexágono convexo, há sempre 9 diagonais. Podemos encontrar essas 9 diagonais geometricamente: Também podemos encontrar as diagonais algebricamente, por meio da seguinte fórmula: \(d=\frac{n\left(n-3\right)}{2}\) Se substituirmos 6 na equação, temos que: \(d=\frac{6\cdot\left(6-3\right)}{2}\) \(d=\frac{6\cdot3}{2}\) \(d=\frac{18}{2}\) \(d=9\) Então, um hexágono convexo sempre terá 9 diagonais. Saiba mais: Diagonal do bloco retangular — segmento que liga dois de seus vértices que não estão na mesma face → Ângulos internos de um hexágonoEm um hexágono, a soma dos seus ângulos internos é igual a 720°. Para realizar essa soma, basta substituir 6 na fórmula: \(S_i=180\left(n-2\right)\) \(S_i=180\left(6-2\right)\) \(S_i=180\cdot4\) \(S_i=720\) Em um hexágono regular, os ângulos internos sempre medirão 120° cada, pois 720° : 6 = 120° → Ângulos externos de um hexágono regularQuanto aos ângulos externos, sabemos que a soma deles é sempre igual a 360°. Como há 6 ângulos externos, cada um deles medirá 60°, pois 360° : 6 = 60° → Apótema do hexágono regularConsidera-se apótema de um polígono regular osegmento de reta que liga o centro do polígono até o ponto médio do seu lado. Como sabemos, o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros, portanto, o apótema corresponde à altura de um desses triângulos equiláteros. O valor desse segmento pode ser calculado pela fórmula: \(a=\frac{L\sqrt3}{2}\) → Perímetro do hexágonoPara calcular o perímetro de um hexágono, basta realizar a soma dos seus 6 lados. Quando o hexágono é regular, seus lados são congruentes, logo, é possível calcular o perímetro do hexágono por meio da fórmula: P = 6L → Área do hexágono regularComo sabemos que o hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros de lado medindo L, é possível deduzir uma fórmula para o cálculo de sua área, utilizando o cálculo da área de um triângulo equilátero multiplicada por 6. \(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\) Note que é possível fazer a simplificação dividindo por 2, gerando, então, a fórmula para o cálculo da área do hexágono: \(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\) Hexágono inscrito em uma circunferênciaDizemos que um polígono está inscrito em uma circunferência quando ele está dentro da circunferência, e os seus vértices são pontos desta. Podemos representar o hexágono regular inscrito em uma circunferência. Quando fazemos essa representação, é possível verificar que o comprimento do raio da circunferência é igual ao comprimento do lado do hexágono. Saiba também: Círculo e circunferência — qual a diferença? Hexágono circunscrito em uma circunferênciaDizemos que um polígono está circunscrito a uma circunferência quando a circunferência está dentro desse polígono. Podemos representar o hexágono regular circunscrito. Nesse caso, a circunferência é tangente ao ponto médio de cada um dos lados do hexágono, o que faz com que o raio da circunferência seja igual ao apótema do hexágono. Prisma de base hexagonalA Geometria Plana é a base para os estudos da Geometria Espacial. O hexágono pode estar presente na base de sólidos geométricos, como nos prismas. Para descobrir o volume de um prisma, calculamos o produto entre a área da base e a altura. Como a sua base é um hexágono, seu volume pode ser calculado por: \(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\) Leia também: Volume dos sólidos geométricos — como calcular? Pirâmide de base hexagonalAlém do prisma de base hexagonal, existem também as pirâmides de base hexagonal. Para descobrir o volume de uma pirâmide de base hexagonal, calculamos o produto entre a área da base, a altura e dividimos por 3. \(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h:3\) Note que multiplicamos e dividimos por três, o que possibilita uma simplificação. Então, o volume de uma pirâmide de base hexagonal é calculado pela fórmula: \(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\) Exercícios resolvidos sobre hexágonoQuestão 1 Um terreno possui formato de um hexágono regular. Deseja-se cercar essa área com arame farpado, de maneira que o arame dê 3 voltas em torno do território. Sabendo que foram gastos, ao todo, 810 metros de arame para cercar todo o terreno, a área desse hexágono mede, aproximadamente: (Use \(\sqrt3=1,7\)) A) 5102 m² B) 5164 m² C) 5200 m² D) 5225 m² E) 6329 m² Resolução: Alternativa B O perímetro do hexágono regular é \(P=6L\) Como foram dadas 3 voltas, para dar uma só volta foi gasto o total de 270 metros, pois sabemos que: 810 : 3 = 270 Então, temos: \(6L=270\) \(L=\frac{270}{6}\) \(L=45\ metros\) Conhecendo a medida do lado, calcularemos a área: \(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\) \(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\) \(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\) \(A=3\cdot1012,5\sqrt3\) \(A=3037,5\sqrt3\) \(A=3037,5\cdot1,7\) \(A=5163,75m^2\) Arredondando, obtemos: \(A\approx5164m^2\) Questão 2 (PUC - RS) Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal regular. A distância entre os lados paralelos é de 1 cm, conforme a figura abaixo. O lado desse hexágono mede ______ cm. A) \(\frac{1}{2}\) B) \(\frac{\sqrt3}{3}\) C) \(\sqrt3\) D) \(\frac{\sqrt5}{5}\) E) 1 Resolução: Alternativa B Em relação ao hexágono regular, sabemos que seu apótema é a medida do centro até o ponto médio de um dos lados. Assim, o apótema é a metade da distância indicada na imagem. Logo, temos que: \(2a=1cm\) \(a=\frac{1}{2}\) O apótema é, então, igual a \(\frac{1}{2}\). Existe uma relação entre os lados do hexágono e o apótema, pois em um hexágono regular, temos: \(a=\frac{L\sqrt3}{2}\) Como conhecemos o valor do apótema, podemos substituir \(a=\frac{1}{2}\) na equação: \(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\) \(1=L\sqrt3\) \(L\sqrt3=1\) \(L=\frac{1}{\sqrt3}\) Racionalizando a fração: \(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\) \(L=\frac{\sqrt3}{3}\) Por Raul Rodrigues de Oliveira |
Qual é a expressão algébrica deve ser escrita dentro da figura do hexágono?
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