 Show Figura 2.44 Ilustração contendo o Sol e a Terra que não considera a escala real. Apenas uma parte dos raios emitidos pelo Sol atingem a Terra. Na verdade, repare na Figura 2.44, que apenas a porção delimitada por raios que partem de pontos quase diametralmente opostos do Sol é que atingem a Terra, formando algo similar a um cone truncado. A priori, você pode achar que, diante da situação mostrada na ilustração contida na Figura 2.44, é um absurdo supor que os raios solares que atingem a Terra sejam paralelos, já que é possível detectar nesta simples ilustração raios que não são paralelos (como os que desenhamos para mostrar a delimitação dos raios que atingem a Terra). Mas, note que esta ilustração foi feita sem considerar a escala existente entre esses dois astros, e então, apesar do posicionamento espacial estar correto e também a ideia de que apenas parte dos raios solares atingem a Terra, a ilustração não condiz fielmente com a realidade. Para retratar fielmente a realidade, é preciso considerar que o Sol possui um diâmetro de aproximadamente \(1.390.000~\text{km}\) enquanto a Terra possui cerca de \(13.000~\text{km}\) de diâmetro, e que a distância entre eles é de cerca de \(150\) milhões de quilômetros (valores retirados do site da NASA - National Aeronautics and Space Administration). Diante de valores tão altos, não é possível encontrar uma escala adequada para construir esta mesma ilustração e ainda fazer com que ela caiba na página deste livro! Para você ter uma melhor intuição de como valores tão grandes se comportam na prática, visite a página <https://goo.gl/sVfkQJ> e visualize os astros e sua distância em uma escala real. Figura 2.45 Ilustração contendo o Sol e a Terra, agora mais afastados, que não considera a escala real. Já que não podemos desenhar uma situação com uma escala real aqui nesta página, vamos tentar intuitivamente imaginar o que acontece na situação real. Na Figura 2.45, refizemos a mesma ilustração anterior, mas posicionamos a Terra e o Sol mais afastados. Comparando as duas ilustrações, podemos perceber que a inclinação dos raios solares é menor quando a Terra e o Sol estão mais afastados. Com a grande distância existente entre o Sol e a Terra (muito maior que a mostrada nas duas ilustrações), haverá então uma diminuição ainda maior na inclinação dos raios solares que atingem a Terra. Essa inclinação é tão pequena que os raios parecem ser paralelos! Por isso costuma-se supor que os raios são paralelos, apesar de eles não serem. Vamos calcular o ângulo de inclinação entre dois raios solares em uma situação específica para justificar nossa intuição de que a inclinação dos raios é muito pequena. Para isso calcularemos o ângulo entre dois raios usando Trigonometria. Figura 2.46 Raios solares incidindo sobre o ponto \(P\) da Terra. Na ilustração mostrada na Figura 2.46, considere \(C_T\) e \(C_S\) como os centros da Terra e do Sol, respectivamente, e vamos calcular o ângulo \(Q\hat{P}R\) entre os raios solares \(PQ\) e \(PR\) que atingem o ponto \(P\) da Terra vindos do Sol. Note que há algo similar a um cone (não completo) de raios solares incidindo sobre \(P\), mas \(Q\hat{P}R\) é o maior ângulo possível entre dois raios solares que atingem \(P\). Quaisquer outros dois raios estarão contidos nesse cone e então, seu ângulo será menor que \(Q\hat{P}R\). Além disso, \(PQ\) e \(PR\) deverão ser perpendiculares ao raio do Sol para que, de fato, \(Q\hat{P}R\) seja o maior ângulo possível entre dois raios que atingem \(P\). Traçando o segmento que une \(C_T\) e \(C_S\), o quadrilátero \(PQC_SR\) fica dividido em dois triângulos congruentes \(PQC_S\) e \(PRC_S\) (pelo caso lado, ângulo, lado). Assim, os ângulos \(Q\hat{P}C_S\) e \(R\hat{P}C_S\) são congruentes e serão chamados de \(\theta\) para facilitar a escrita. Como \[d(Q,C_S)= 695.000\] e \[\begin{split}\begin{array}{ll} d(P,C_S) & = d(C_T, C_S)-d(C_T,P)\\ &= 150.000.000-6.500\\ &=149.993.500, \end{array}\end{split}\] então \[\sin\theta = \frac{d(Q,C_S)}{d(P,C_S)}=0{,}00463.\] Portanto, \(\theta=\arcsin(0,00463) = 0{,}26528\) e assim, como a medida do ângulo \(Q\hat{P}C_S\) é igual a \(2\theta\), temos que \[m(Q\hat{P}C_S)=0{,}53056^\circ.\] De acordo com os cálculos feitos acima, o maior ângulo possível entre dois raios solares que atingem o ponto \(P\) é de \(0{,}53056^\circ\). Este valor é tão pequeno (podendo ser ainda menor), que torna-se praticamente imperceptível, e assim, os raios solares que atingem \(P\) parecem paralelos. Esse mesmo raciocínio pode ser utilizado para calcular o ângulo de inclinação de raios solares que atingem outros pontos. Sugerimos que você altere a posição do ponto \(P\) e faça os cálculos para outros casos da mesma forma que foi feito anteriormente. Vamos agora comparar o tamanho da sombra de um lápis supondo que os raios solares que atingem a Terra são paralelos (projeção paralela) e não paralelos (projeção em perspectiva). Dessa forma, veremos o quão relevante é, de fato, a inclinação dos raios solares ao gerar sombras na Terra. Na Figura 2.47, novamente sem utilizar uma escala real que considere os tamanhos do Sol e da Terra, temos uma ilustração da situação que pretendemos analisar. Suponhamos que o Sol, a Terra e o lápis estejam posicionados de tal forma que o segmento que une os centros da Terra e do Sol, que chamaremos de \(C_T\) e \(C_S\) respectivamente, divida o lápis ao meio. Suponhamos que o lápis possua \(8~\text{cm}\) de comprimento e que ele esteja a \(1~\text{m}\) da Terra. Figura 2.47 Ilustração contendo um lápis, o Sol e a Terra que não considera a escala real. Primeiramente, vamos considerar o caso em que os raios solares são paralelos. Para estudar a sombra do lápis neste caso, vamos supor que os raios solares estão incidindo perpendicularmente ao lápis. Como nosso objetivo é calcular apenas o tamanho da sombra de um lápis de \(8~\text{cm}\), na ilustração contida na Figura 2.48 representaremos apenas a parte da Terra que é relevante para o nosso cálculo e, devido ao grande raio da Terra, locamente podemos considerá-la plana. Nesta ilustração, o segmento \(AC\) representa o lápis e então, a sombra do lápis está representada pelo segmento \(DF\) e terá a mesma medida de \(AC\). Portanto, a medida da sombra é \(16~\text{cm}\) (um estudo semelhante a este já havia sido foi feito anteriormente na Atividade: luzes e sombras). Figura 2.48 A sombra do lápis \(AC\) é dada pelo segmento \(DF\), casos os raios solares sejam paralelos e incidam perpendicularmos ao lápis. Para estudar agora o caso em que os raios solares não são paralelos, vamos usar a ilustração contida na Figura 2.49. O lápis está representado na figura pelo segmento \(AC\) e sua sombra pelo segmento \(DF\). Figura 2.49 A sombra do lápis \(AC\) é dada pelo segmento \(DF\) casos os raios solares não sejam paralelos. Como estamos supondo que o segmento \(C_TC_S\) divide o lápis em duas parte iguais, o ponto \(B\) é o ponto médio do segmento \(AC\). Assim, podemos concluir que os triângulos \(ABI\) e \(CBI\) são congruentes (pelo caso lado, ângulo, lado), o que implica que os ângulos \(A\hat{I}B\) e \(C\hat{I}B\) são congruentes. E, como \(A\hat{I}B\) e \(C_S\hat{I}G\) são opostos pelo vértice, assim como os ângulos \(C\hat{I}B\) e \(C_S\hat{I}H\), podemos concluir que os ângulos \(A\hat{I}B, C_S\hat{I}G, C\hat{I}B\) e \(C_S\hat{I}H\) são congruentes. Portanto, os triângulos \(DEI\) e \(FEI\) são congruentes, assim como os triângulos \(C_SHI\) e \(C_SGI\). Logo, podemos trabalhar apenas com metade do lápis para facilitar nossos cálculos e posteriormente, basta multiplicar a medida da sombra de metade do lápis por \(2\). Dessa forma, estamos interessados em encontrar o comprimento do segmento \(DE\) que representa a sombra de metade do lápis, representado pelo segmento \(AB\). Note que os triângulos \(ABI\), \(DEI\) e \(C_SGI\) são semelhantes (pois possuem dois ângulos congruentes), e portanto satisfazem as seguintes razões de semelhança: \[\frac{AB}{BI}=\frac{DE}{EI}\] e \[\frac{AB}{AI}=\frac{C_SG}{C_SI}.\] Como a distância do lápis à Terra é de \(1~\text{m}\), então \(EB=1~\text{m}=0{,}001~\text{km}\). Além disso, \(AB=8~\text{cm}\) \(=0{,}00008~\text{km}\) e \(C_SG= 695.000~\text{km}\). Portanto, \[\begin{split}\begin{array}{ll} C_SI & = C_TC_S-C_TE-EB-BI\\ & = 150.000.000-6.500-BI-0,001 \\ & = 149.993.499,999-BI. \end{array}\end{split}\] Substituindo estes valores na equações acima, temos: \[\frac{0,00008}{BI}=\frac{DE}{0,001+BI}\] e \[\frac{0,00008}{\sqrt{BI^2+0,00008^2}} = \frac{695.000}{149.993.499,999-BI}.\] Resolvendo a segunda equação, encontramos \(BI=0{,}01726~\text{km}\) e substituindo este valor na primeira equação, vemos que a medida do segmento \(DE\) é \(8{,}4~\text{cm}\). Assim, a sombra do lápis, dada pelo segmento \(DF\), possui comprimento \(16{,}8~\text{cm}\). Portanto, supondo que os raios solares que atingem a Terra são paralelos, a sombra de um lápis de \(16~\text{cm}\) seria de \(16~\text{cm}\). Supondo que estes raios não são paralelos, a sombra do mesmo lápis mede \(16{,}8~\text{cm}\). Note que a diferença entre os valores encontrados para as sombras é de \(5\%\) do comprimento do lápis.
Figura 2.50 Diagrama representando raios luminosos que emanam do Sol sobre um anteparo.
Figura 2.51 Diagrama representando raios luminosos que emanam do Sol sobre um anteparo, assim como a sombra produzida por um triângulo opaco. O que acontece com a sombra de um objeto quando a luz da lanterna se movimenta para cima e para baixo?Estimule os alunos a registrarem com desenhos e textos o que foi observado e a perceberem que: *O tamanho da sombra altera-se quando aproximamos ou afastamos a lanterna do objeto. * A forma da sombra é correspondente à forma do objeto. * A sombra sempre se forma do lado contrário da fonte luminosa.
O que acontece com a sombra de um objeto quando a luz da lanterna se aproxima?E se a luz estiver posicionada em cima de alguém, como no caso do sol do meio-dia, não será possível identificar uma sombra. “A criançada percebeu também que, se a luz estiver mais próxima, o objeto fica maior.
O que acontece com a sombra de um objeto?UMA SOMBRA É UMA REGIÃO FORMADA PELA AUSÊNCIA PARCIAL DA LUZ, PROPORCIONADA PELA EXISTÊNCIA DE UM OBSTÁCULO. UMA SOMBRA OCUPA TODO O ESPAÇO QUE ESTÁ ATRÁS DE UM OBJETO COM UMA FONTE DE LUZ EM SUA FRENTE. A SOMBRA MUDA DE POSIÇÃO CONFORME A ORIGEM DA LUZ. BRINCANDO E PRODUZINDO SOMBRAS.
Qual e a relação da sombra com o foco de luz?Quando a luz é posicionada de cima para baixo, a sombra diminui. Quando ela é direcionada da direita para a esquerda, quanto mais inclinado estiver o foco de luz, maior é a sombra.
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O que acontece com a sombra de um objeto quando a luz da lanterna se movimenta ao redor dela?
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