O que é a propriedade comutativa e associativa?

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Qual a diferença entre comutativa e associativa?

⇒ Propriedade Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto (resultado). No exemplo abaixo, – 3 e + 5 são os fatores. ⇒ Propriedade Associativa: A associação dos fatores não modifica o produto. Os fatores no exemplo a seguir são: - 3, + 5 e - 2.

Por que a adição é associativa?

• Propriedade 3: A operação de adição também é associativa, o que significa que podemos somar as parcelas de uma adição de diferentes maneiras que o resultado não se altera. Veja:

Quais as propriedades da adição?

• Propriedades da adição. ... Elemento neutro da adição. A adição de um número natural com o zero dá sempre como resultado o número natural. Sendo assim, o zero não interfere no resultado, dizemos que ele é o elemento neutro da adição. Exemplo: 1 + 0 = 0 + 1 = 1. Agora vamos ver se aprendemos exercitando!

Como realizar uma adição?

• Assim, para realizar uma adição, devemos seguir o seguinte passo a passo: Passo 1 – O primeiro passo consiste em “armar” a operação. Para realizar esse primeiro passo, devemos colocar o número maior em cima do número menor.

Qual é o operador aritmético da adição?

• Este é o operador aritmético da adição. Na adição, os números antes do sinal de igual são chamados de parcelas, enquanto que o número depois da igualdade é a soma ou o total da adição. O número 5 e 2 no exemplo acima são chamados de parcelas, o sinal de mais ( +) de adição, e o número 7 de soma ou total.

As propriedades da multiplicação podem ser encontradas nos conjuntos numéricos que estudamos em todo ensino primário.

Na multiplicação temos: propriedade comutativa, propriedade associativa, propriedade distributiva, elemento neutro e elemento inverso.

Tópicos deste artigo

• 1 - Conceito e propriedades da multiplicação
• 2 - Exercícios resolvidos

Conceito e propriedades da multiplicação

Sabemos que a multiplicação é nada mais que a realização de somas sucessivas, por exemplo, quando multiplicamos 3 · 5 é o mesmo que somar 3 por si mesmo cinco vezes ou 5 por si mesmo três vezes, veja:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15

5 + 5 + 5 = 15

Dessa forma, 3 · 5 = 15, mas veja que realizar esse processo nem sempre é o melhor caminho, experimente calcular 9 · 8 utilizando esse método. Claro que não é uma tarefa impossível, somente bastante complicada. Veremos a seguir algumas propriedades que facilitam esse processo, essas propriedades são todas provenientes das propriedades da adição.

Leia também: Multiplicação de frações algébricas: como fazer?

• Propriedade comutativa da multiplicação

A multiplicação satisfaz a comutatividade, isto é, dados dois números reais, a e b, podemos multiplicá-los na ordem que bem entendermos, o resultado sempre será o mesmo. Podemos escrever tal propriedade da seguinte maneira:

a · b = b · a

Exemplo

Observe a multiplicação 5 · 4 e a multiplicação 4 · 5.

5 · 4 = 20

4 · 5 = 20

Essa propriedade é herdada da adição, uma vez que a operação de multiplicação é nada mais que somas sucessivas do mesmo número.

Cuidado: A comutatividade é valida para números reais/complexos, mas, no conjunto das matrizes, essa operação não é satisfeita, ou seja, dadas duas matrizes: A · B ≠ B · A.

Leia também: Multiplicação de matrizes: como calcular?

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• Propriedade associativa da multiplicação

A propriedade associativa da multiplicação diz-nos que na multiplicação de três números podemos escolher a ordem dos produtos. De modo geral, podemos representar essa propriedade assim:

(a · b) · c = a · (b · c)

Exemplo

Observe:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30, por outro lado 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30.

Note que podemos multiplicar qualquer um dos fatores primeiro, que o resultado final ainda se mantém.

• Propriedade distributiva da multiplicação

Na multiplicação podemos distribuir o produto, isso ocorre quando vamos multiplicar um número por uma soma.

a · (b + c) = a · b + a · c

Considere a seguinte multiplicação: 3 · (5 + 4).

Por um lado, temos que:

3 · (5 + 4) =

3 · 9 =

27 =

Por outro, podemos realizar a distributividade, que consiste na multiplicação do número de fora do parêntese por cada termo da soma, logo, temos que:

3 · (5 + 4) =

3 · 5 + 3 · 4 =

15 + 12 =

27 =

Veja que:

3 · (5 + 4) = 3 · 5 + 3 · 4

• Elemento neutro

O elemento neutro é aquele que ao ser operado com qualquer outro número mantém como resultado o número com que ele foi operado. No caso da multiplicação, o elemento neutro é o número 1, ou seja:

a · 1 = a

Exemplos

a) 2 · 1 = 2

b) 309 · 1 = 309

c) –10000 · 1 = – 10000

• Elemento inverso

O elemento inverso na multiplicação é aquele que quando multiplicado por um número resulta em 1. O elemento inverso de um número a é dado por:

Assim, o inverso de um número qualquer é sempre a fração um sobre o número.

Exemplos

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Determine o valor de x na expressão x (2 – x) = 0

Solução

Para determinar o valor de x na expressão, temos que utilizar a propriedade distributiva da multiplicação, assim:

x (2 – x) = 0

2x – x2 = 0

Questão 2 – Sabe-se que o inverso de um número é igual à oitava parte desse número acrescida por um quarto. Determine esse número.

Solução

Como desconhecemos o número, vamos nomeá-lo y. Pelo enunciado, o inverso é igual à oitava parte desse número y somada por um quarto, logo, temos a seguinte igualdade:

Resolvendo a igualdade anterior, temos:

Por Robson Luiz
Professor de Matemática 

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Qual é a propriedade associativa?

O que é propriedade comutativa é associativa da adição?