Qual o valor do principal que aplicado durante 1 ano e 6 meses a taxa de juros simples de 1 2 ao mês rendeu R$ 19.008 00?

• Home
• MATEMÁTICA - Apostila de Matemática Financeira 1

* The preview only show first 10 pages of manuals. Please download to view the full documents.

Loading preview... Please wait.

• Submitted by: Vitor Filho
• File size: 459.3 KB
• File type: application/pdf

Add to bookmark

Description

Download MATEMÁTICA - Apostila de Matemática Financeira 1 PDF for free.

Report "MATEMÁTICA - Apostila de Matemática Financeira 1"

About Us

We believe everything in the web must be free. So this website was created for free download documents from the web.

Legal Notice

We are not related with any websites in any case.

Disclaimer

We are not liable for the documents. You are self-liable for your save offline.

Cookie Policy

This site utilizes cookies to guarantee you get the best experience on our site. You can learn how to disable cookie here.

Privacy Policy

We are committed to ensuring that your privacy is protected.

Copyright/DMCA

You can ask for link removal via contact us.

Material de uso em sala de aula

1JUROS OU CAPITALIZAÇÃO

SIMPLES

1.1JUROS ORDINÁRIOS

1.1.1Taxa e tempo na mesma unidade

1.1.1.1Cálculo dos juros

Ex. 2:Qual o valor dos juros do capital de $ 800,00, aplicado a juros simples à taxa de 5% a.m., durante 6 meses?

PV= $ 800,00

i= 5% a.m. = 0,05 a.m.

n= 6 meses

Resposta:O valor dos juros é $ 240,00.

1.1.1.2Cálculo do valor atual

Ex. 3:Que valor, aplicado durante 6 meses, à taxa de 5% a.m., rendeu de juros o valor de $ 240,00?

i = 5% a.m. = 0,05 a.m.

n = 6 meses

INT= $ 240,00

Resposta:O valor aplicado foi $ 800,00.

1.1.1.3Cálculo da taxa

Ex. 4:O valor de $ 800,00 foi aplicado a juros simples durante 6 meses, rendendo de juros $ 240,00. Calcule a taxa de juros.

PV= $ 800,00

n= 6 meses

INT= $ 240,00

Resposta:A taxa de juros foi 5% a.m.

1.1.1.4Cálculo do tempo

Ex. 5: O valor de $ 800,00 foi aplicado a juros simples, à taxa de 5% a.m., rendendo de juros $ 240,00. Quanto tempo ficou

aplicado?

PV= $ 800,00

i= 5% a.m. = 0,05 a.m.

INT= $ 240,00

Resposta:Ficou aplicado durante 6 meses.

Matemática FinanceiraBauer, Udibert Reinoldo

1 Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia 1 Antônio Carlos Garcia C&Aac...

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

Antônio Carlos Garcia CÁLCULOS FINANCEIROS E ESTATÍSTICO Componente curricular: matemática 1º EDIÇÃO-S. Paulo, 2016

Editor: Antônio Carlos Garcia

Revisão: Tais Andrade

Edição do Autor Batatais-S.P. 2016

1

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

Índice Conteúdo: Regras de sinais Operações Financeiras Razão e Proporção Regra de Sociedade Juros Simples Desconto Comercial (ou simples) Desconto Racional Logaritmos Propriedades operatórias de logaritmos Juros Compostos Desconto Composto Empréstimos Cálculo de juros no Excel Taxa efetiva de descontos Administração de caixa - Saldo Médio Método de Baumol Método de Miller-Orr

1-Regras de sinais

2

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

3

Para que possamos entender como ela funciona, temos que ter bem assimilado como funcionam as quatro operações básicas desta disciplina: - Adição; - Subtração; - Multiplicação; - Divisão. Você sabe como essas operações são feitas? E quando devemos utilizá-las na solução de um problema? Muita gente pensa que quem faz contas com rapidez é bom em matemática. É engano! Fazer contas rapidamente é uma habilidade que se adquire com a prática. Muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais são as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em matemática, o mais importante é o raciocínio. Devemos ainda lembrar que números negativos também podem ser somados. Por exemplo, a soma de - 15 com - 5 dá - 20. Para escrever essa operação, fazemos assim: - 15 + (- 5) = - 20 Uma forma de entendermos melhor é considerar - 15 e - 5 como duas dívidas; se tenho duas dívidas, então, devemos somar e o resultado total será uma dívida de 20, portanto -20. Observe que colocamos - 5 entre parênteses para evitar que os sinais de + e de - fiquem juntos. Mas existe outra maneira, mais simples, de escrever a mesma operação. Veja: - 15 - 5 = - 20 - A subtração Podemos pensar na operação de subtração quando queremos tirar uma quantidade de outra para ver quanto sobra. Veja o exemplo.

Exemplo 2 Uma secretária recebeu a tarefa de preparar 90 envelopes de correspondência. Até a hora do almoço, ela já tinha feito 52. Quantos ela ainda tem de fazer? Temos aqui um exemplo claro de operação de subtração. A operação que devemos fazer é: 90 - 51 = 39 Assim, depois do almoço, a secretária deverá preparar ainda 39 envelopes. Observe agora que, em uma subtração, quando o segundo número é maior que o primeiro, o resultado é negativo. Veja: 9-6=3 6-9=-3 Para visualizar as operações de adição e subtração, representamos os números inteiros como pontos de uma reta.

Na operação 9 + 5 = 14, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a direita e chegamos ao número 14.

Na operação 9 - 5 = 4, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a esquerda e chegamos ao número 4. Na operação 5 + 9 = 14, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a direita e chegamos ao número 14.

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

4

Na operação 5 - 9 = - 4, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a esquerda e chegamos ao número - 4. Para resumir, as regras são as seguintes: - Escrever 5 ou + 5 é a mesma coisa; - Quando sinais de números e sinais de operações aparecerem juntos, então:

Regras: Exemplos: (+) e (+) = (+) 5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8 (+) e (- ) = (+) 5 + (- 3 ) = 5 - 3 = 2 (- ) e (+) = (- ) -5 - (+ 3) = 5 - 3 = 2 (- ) e (- ) = (+) 5 - (- 3 ) = 5 + 3 = 8 Veja, a seguir, como devemos proceder numa situação em que há soma e subtração de diversos números. Exemplo 3 João abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte movimento:

Qual será o saldo de João após essas operações? Vamos representar os depósitos por números positivos e as retiradas por números negativos. Devemos, então, fazer a seguinte conta: 53 - 25 + 65 - 30 - 18 O resultado dessa operação será a quantia que João ainda tem no banco. A melhor forma de fazer esse cálculo é somar os números positivos (os depósitos), somar os números negativos (as retiradas) e depois subtrair o segundo resultado do primeiro. Assim: 053 - 25 + 65 - 30 - 18 = (53 + 65) - (25 + 30 + 18) = 118 - 73 = 45 Portanto, João ainda tem R$ 45,00 em sua conta bancária. - A multiplicação A multiplicação nada mais é que uma soma com parcelas iguais. Por exemplo: 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5. 7 = 35 O número 7 apareceu 5 vezes. Então, 7 vezes 5 dá 35. Da mesma forma: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 . 5 = 35 Agora, o número 5 apareceu 7 vezes. Então, 5 vezes 7 dá 35. Você já sabe que, em uma multiplicação, cada número chama-se fator. Vamos, agora, recordar algumas propriedades da multiplicação. 1) Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o resultado. Por isso: 5.7=7.5 2) Quando temos várias multiplicações seguidas, qualquer uma delas pode ser feita primeiro. Por exemplo: 2 . 3 . 5 = (2 . 3) . 5 = 6 . 5 = 30

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

5

2 . 3 . 5 = 2 . (3 . 5) = 2 . 15= 30 2 . 3 . 5 = (2 . 5) . 3 = 10 . 3= 30 3) Quando um número multiplica uma soma, ele multiplica cada parcela dessa soma. Por exemplo: 2.(3 + 4 + 5) = (2.12) = 24 Ou, ainda: 2.(3 + 4 + 5) = (2 . 3) + (2 . 4) + (2 . 5) = 6 + 8 + 10 = 24 Falta apenas recordar o que ocorre quando temos multiplicações com números negativos. As regras são as seguintes:

(+) . (- ) = (- ) → sinais diferentes o produto dá negativo (- ) . (+) = (- ) → sinais diferentes o produto dá negativo (- ) . (- ) = (+) → sinais iguais o produto dá positivo (+) . (+) = (+) → sinais iguais o produto dá positivo

Vamos ver alguns exemplos para entender bem essas regras. - Para calcular 4. (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas iguais a - 3. Daí: 4 . (- 3) = (- 3) + (- 3) + (- 3) + (-3)= -12 4 . (- 3) = - 3 - 3 - 3 – 3=-12 4 . (- 3) = - 12 Para entender que o produto de dois números negativos é positivo, vamos lembrar que o produto de qualquer número por zero dá zero. Portanto: (- 3) . 0 = 0 Vamos, então, escrever essa igualdade assim: (- 3) . (- 2 + 2) = 0 É a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma das propriedades da multiplicação, podemos escrever a mesma coisa de forma ainda diferente. Veja:

Ora, sabemos que (- 3). 2 dá - 6. Logo, devemos ter (- 3) . (- 2) = 6 para que a soma seja zero. - A divisão

Podemos pensar na divisão quando queremos dividir um total de partes iguais ou quando queremos saber quantas vezes um número cabe no outro. Exemplo 4 Desejamos colocar 80 lápis em 5 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo número de lápis. Quantos lápis devemos pôr em cada caixa? A resposta é fácil. Basta dividir 80 por 5. 80/5 = 16 Logo, cada caixa deve conter 16 lápis. No exemplo que acabamos de ver, a divisão foi exata, ou seja, conseguimos colocar a mesma quantidade de lápis em cada caixa sem que sobrasse nenhum. O que aconteceria, entretanto, se tivéssemos 82 lápis para pôr nas 5 caixas? A resposta é fácil. Cada caixa continuaria com 16 lápis, mas sobrariam 2. Veja a operação:

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

6

Na operação acima, 82 é o dividendo, 5 é o divisor, 16 é o quociente e 2 é o resto. Esses quatro números se relacionam da seguinte forma:

Atenção! O resto é sempre positivo e menor que o divisor. Ao fazer uma divisão, estaremos sempre encontrando dois novos números: o quociente e o resto. Vamos ver mais um exemplo do uso dessa operação em um problema. Exemplo 5 Certo elevador pode transportar no máximo 6 pessoas. Se existem 46 pessoas na fila, quantas viagens o elevador deverá fazer para transportar todas essas pessoas? Devemos dividir 46 por 6. Observe a operação:

O quociente igual a 7 indica que o elevador fará 7 viagens com lotação completa. Mas o resto igual a 4 indica que sobrarão ainda 4 pessoas para serem transportadas. Logo, o elevador deverá fazer uma viagem a mais para transportar as 4 pessoas restantes. Portanto, o elevador fará 8 viagens para transportar todas as pessoas. Exercícios 1-Efetue as operações indicadas: a) 37 + 43 = b) 55 - 18 = c) 18 - 55 = d) 12 + (- 7) = e) 12 - (- 7) = f) - 9 - 6 = g) - 9 + (- 6) = h) - 9 - (- 6 ) =

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

7

i) 13 .7 = j) (- 8). 9 = l) (7 - 3).4 = m) (3 - 8) . (- 4) = 2 . Frações. 2.1 . Operações com números fracionários. 2.1.1 . Adição e subtração Portanto, uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número. Para somar ou subtrair frações que tenham o mesmo denominador, basta somar ou subtrair os numeradores. Exemplos:

Com denominadores diferentes, devemos transformar as frações dadas em outras, que sejam iguais às que temos, mas com denominadores iguais. Utilizamos como novo denominador para cada fração o mínimo múltiplo comum (mmc) e obtemos o numerador de cada fração multiplicando o numerador anterior pelo quociente do mínimo pelo denominador da mesma fração. Exemplos:

Cálculo de expressões numéricas. Resolver as expressões numéricas:

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

8

2.2 . Números decimais. 2.2.1 . Transformações de frações em decimais. Para transformarmos uma fração em um número decimal, basta dividir o numerador pelo denominador.

3.REGRA DE TRÊS SIMPLES Podemos resolver problemas que envolvem proporcionalidade entre duas grandezas com uma regra prática que chamamos regra de três simples. 1o exemplo: Em 3 minutos, uma torneira despeja 4l de água num tanque. Se o tanque ficou cheio em 5 horas, qual a capacidade desse tanque? (resolva o problema) Tempo Capacidade

(lembre-se 5h = 5. 60 = 300 min) Aumentando o tempo, aumenta a quantidade (capacidade) de água; portanto, as grandezas são diretamente proporcionais. 2o Exemplo: Duas pessoas gastariam 6 dias na instalação de uma arquibancada para a realização de um show. Quantas pessoas seriam necessárias para instalar a mesma arquibancada em 4 dias? (Resolva o problema - lembre-se: diminuindo o número de dias, tem que aumentar o número de pessoas. É diretamente ou inversamente proporcional?)

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

9

Curiosidade: Um trabalhador recebeu a incumbência de fazer a capinação de um terreno circular de 3 metros de raio, cobrando pelo trabalho o valor de R$10,00. Qual seria o preço justo a ser cobrado para capinar um terreno semelhante, porém com 6 metros de raio? (1 – Capinação: Ação de capinar; retirar do solo a planta gramínea conhecida como capim.) Obs.: a área do círculo: π.r2

Problemas: 1. Um pintor utilizou 18 litros de tintas para pintar um muro 60 m2. Quantos litros de tinta serão necessários para pintar 450 m2 da mesma forma com que foi pintado o muro? 2. Márcia leu um livro em 4 dias, lendo 15 páginas por dia. Se tivesse lido 6 páginas por dia, em quantos dias ela teria lido o mesmo livro?

3 . Um quintal pode ser ladrilhado com 500 ladrilhos de 225 cm2 de área cada um. Quantas lajotas de 900 cm2 cada uma são necessárias para recobrir o mesmo quintal? 4. Um galpão pode ser construído em 48 dias por 7 pedreiros que trabalham num certo ritmo. Como ele deve ser construído em 2 semanas, no mesmo ritmo de trabalho, quantos pedreiros deverão ser contratados? 4.1-REGRA DE TRÊS COMPOSTA 1º Exemplo: Trabalhando durante 12 dias, l0 operários produzem 800 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 14 operários, trabalhando durante 18 dias?

Número de Operários 10 14

nº de dias 12 18

nº de peças 800 x

As grandezas número de operário e número de peças são diretamente proporcionais. Aumentando a grandeza A, a grandeza C também aumenta. As grandezas número de dias e número de peças são diretamente proporcionais. Aumentando uma grandeza, a outra também aumenta. (:6) 2 10.12 = 800 14.18 X 3

10  20 = 800 42 X 21

== >

10 X = 21. 800  X = 21 . 800 ( X = 1680 10 2º Exemplo: Um motociclista percorre 200 km em 2 dias se rodar durante 4 horas por dia. Em quantos dias esse motociclista percorrerá 500 km se rodar 5 horas por dias?

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

N.º DE KM 200 500 A

N.º DE H/ DIA 4 5 B

10

N.º DE DIAS 2 X C

Vamos relacionar as grandezas B e C e as grandezas A e C. As grandezas B e C são inversamente proporcionais, verifique porquê.

........................................................E as grandezas A e C? Resolva o problema:

Exercícios 4. Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 L de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 L de combustível? 5. Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 L de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados. 6. Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário? 7. Meia dúzia de digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 digitadores, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas? 8. Quinze operários, trabalhando 9 h por dia, construíram 36m de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia? TESTES-REGRA DE TRÊS 1) Para esvaziar um compartimento com 700m³ de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para fazê-lo. Se o compartimento tivesse 500m³ de capacidade, ao utilizarmos 5 ralos, quantas horas seriam necessárias para esvaziá-lo? a) 3 horas b) 4 horas c) 3,5 horas d) 2 horas 2) Duas costureiras, trabalhando 3 dias, 8 horas por dia, produzem 10 vestidos. Se 3 costureiras trabalharem por 5 dias, quantas horas ela precisarão trabalhar por dia para produzirem 25 vestidos? a) 5 horas por dia b) 3 horas por dia c) 4 horas por dia d) 8 horas por dia 3) Seis galinhas botam 30 ovos em 5 dias. Vinte galinhas botarão quantos ovos em 10 dias? a) 150 ovos

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

11

b) 200 ovos c) 300 ovos d) 400 ovos 4) Uma família com 2 duas pessoas consome 12m³ de água a cada 30 dias. Se mais uma pessoa com os mesmos hábitos de consumo se juntar a ela, quantos metros cúbicos de água eles consumirão em uma semana? a) 4m3 de água b) 3 m3 de água c) 3 m3 de água d) 4,2m3 de água 5) Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas horas 25 trabalhadores precisarão para descarregar 350 caixas? a) 3 horas b) 4 horas c) 3,5horas d) 2 horas 6) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias? a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5  5.Operações Financeiras 5.1- CONCEITO

São operações realizadas pelas empresas com o objetivo de gerar recursos financeiros (dinheiro). 5.2.Modalidades

São diversas as modalidades das operações financeiras, destacando-se: Aplicações Financeiras Empréstimos Bancários Operações com Duplicatas Factoring 5.3 OPERAÇÕES FINANCEIRAS 5.3.1 Aplicações de Liquidez Imediata

Essas aplicações correspondem, geralmente, a compras de títulos do governo, como, por exemplo, letras e bônus. Tais títulos têm liquidez imediata porque a empresa pode resgatar o valor aplicado mais os rendimentos no dia em que desejar. Os rendimentos correspondem à inflação ocorrida no período em que o dinheiro permaneceu aplicado, sendo, geralmente, baseada na variação dos títulos do governo. 5.3.2 Aplicações com Rendimentos Prefixados

Neste tipo de aplicação, a empresa fica sabendo, no dia da aplicação, o valor dos seus rendimentos, que correspondem à correção monetária prefixada mais juros. 5.3.3-Aplicações com Rendimentos Pós-Fixados

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

12

Neste tipo de aplicação, a empresa somente fica sabendo quanto ganhou com a operação no dia de seu resgate. 5.3.4 -EMPRÉSTIMOS BANCÁRIOS 5.3.4.1-Empréstimos com Correção Monetária Prefixada

Neste tipo de empréstimo, a empresa sabe, no dia da transação, qual o montante dos encargos referentes à correção monetária incidente sobre a operação. 5.3.4.2-Empréstimos com Correção Monetária Pós-Fixada

Neste tipo de empréstimo, a empresa somente sabe qual o montante dos encargos referentes à correção monetária incidente sobre a operação no dia do vencimento. 5.3.4.3-OPERAÇÕES COM DUPLICATAS 5.3.4.5-Cobrança Simples de Duplicatas

Consiste na remessa de títulos aos bancos, os quais prestam serviços à empresa, cobrando-os dos respectivos devedores. Neste tipo de operação, a empresa transfere a posse dos títulos aos bancos; porém, a propriedade continua sendo da empresa. Para remeter os títulos ao banco, a empresa os relaciona através de um borderô, ao qual anexa os respectivos títulos. 5.3.4.6-Desconto de Duplicatas

Consiste na transferência dos títulos ao banco, mediante endosso. A empresa transfere ao banco o direito de recebimento dos títulos. O valor do desconto é determinado em função do número de dias que faltam para que os títulos sejam liquidados. Neste tipo de operação, a empresa endossante é responsável, coobrigada pela liquidação dos títulos descontados. Assim sendo, a responsabilidade da empresa somente desaparece quando do pagamento do título pelo devedor. A operação é semelhante à cobrança simples, no que diz respeito à remessa dos títulos. Neste tipo de operação, a empresa transfere a posse e a propriedade dos títulos ao banco. A empresa endossante desconta títulos e recebe do banco o valor nominal (constante dos títulos), suportando os juros correspondentes ao prazo que falta decorrer para o vencimento dos títulos negociados. 5.3.4.7-Caução de Duplicatas

Operação de empréstimo que a empresa efetua junto a um banco, na qual o banco exige que a beneficiada entregue- lhe títulos em garantia. O valor dos títulos caucionados é sempre superior ao valor liberado. O banco poderá exigir a emissão de uma nota promissória no valor total do empréstimo. É lavrado um contrato entre a empresa e o banco, onde ficam estabelecidos, pelo menos: 1. o valor do numerário que a empresa terá direito por um determinado período de tempo; 2. o valor de títulos que a empresa oferecerá ao banco, em cobrança caucionada, que, ao mesmo tempo em que representa a garantia da dívida assumida, é o termômetro para liberação do total do empréstimo; 3. o percentual que poderá sacar, o qual fica entre 70% a 80% dos títulos caucionados; 4. os encargos da empresa em relação ao contrato e aos títulos caucionados. Neste tipo de operação, a empresa transfere a posse e a propriedade dos títulos ao banco. 6-RAZÃO E

PROPORÇÃO

2 ESTÁ PARA 3. O QUE SIGNIFICA ISTO? Dos 50 alunos do 2o grau de uma escola, 30 são meninas e 20 são meninos. Qual a relação entre o número de meninos e de meninas? n o. de meninos = 20 = 2 n o de meninas 30 3 A expressão 2 para 3 é chamada de razão entre 2 e 3 e é indicada por 2/3 ou 2 : 3. Se a e b são dois números reais e b=0, a razão entre os números reais a e b é o quociente de a por b:

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

13

a/b ou a : b (a está para b) 2 3 e são chamadas inversas entre si. As razões 3 2 O produto de razões inversas é igual a 1. 6.1.-VELOCIDADE MÉDIA :

Velocidade média de um móvel é a razão entre o espaço percorrido e tempo gasto para percorrê-lo. Exemplo: A velocidade média de um carro que percorre a 300km em 5 hora é dado por: 300 km 60 Km  h 5h 6.2-DENSIDADE DEMOGRÁFICA: Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. A cidade de Ribeirão Preto (SP) tem uma área aproximada de 1058 Km2. Com 504.923 habitantes, segundo o Censo Demográfico do IBGE de 2000, a população dessa importante cidade, neste ano, seria: 504.923 D  477 ,2 4 hab km 2 1058 6. 3- ESCALA: Escala é a razão entre a medida de um comprimento no desenho e a medida correspondente ao comprimento real. Exemplo: Se a planta de uma casa está desenhada na escala de 1: 100 ( um por cento), significa que cada 1 cm no desenho corresponde a 100 cm na dimensão real. 6.3.1-PROPORCIONALIDADE (PROPORÇÃO). O que é uma foto 3X4? Observe as figuras abaixo:

Significa que a foto tem o formato de um retângulo com 3cm de base e 4 cm de altura. Do mesmo modo, uma foto 6 x 8 tem 6 cm de base e 8cm de altura. Qual é a razão entre a base e altura da foto menor? E entre a base e a altura da foto maior? base da foto menor = 3 = 0,75 altura da foto menor 4

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

14

base da foto maior 6  altura da foto maior 8

6/8 = 0,75 Logo, podemos afirmar que 3/4 = 6/8, ou seja, três está para 4 assim como 6 está para 8. A igualdade entre as razões ¾ e 6/8 forma uma proporção. Na proporção 3: 4 =6: 8 são chamados extremos e 4 e 6 são chamados de meios: 3 : 4 = 6 : 8 meios Extremos EXERCÍCIOS 1-Calcule a razão entre as seguintes grandezas: a) 27 km e 3 litros de álcool b) 40g e 5 cm3 c) 24 Kg e 80 Kg d) 20 cm e 4 dm e) 20 dias e 2 meses + 15 dias Verifique se são ou não verdadeiras as seguintes proporções: a) 6 = 24 b) ⅔ = 12/15 28 7 c) 4/15 = 72/270 d) ¾ = 15/16 2.2 ELEMENTOS

a c  Na proporção b d , temos

Antecedentes: os termos a e c. Consequentes: os termos b e d. Os termos a, b, c e d são chamados 1º, 2º, 3º e 4º termos. Os termos a e d são os meios e os termos c e b extremos. EXERCÍCIOS Nas proporções abaixo, calcule o que se pede: a +b = 3, a = 1 e c +d = 6. Calcule c a - b = 1, a = 4 e c - d = 2. Calcule c a +c = 12 , a = 1 e b +d = 9. Calcule d EXERCÍCIOS - PROPORÇÃO Determinação do termo desconhecido de uma proporção Exemplos: 2-Determine o valor de x na proporção:

Solução:

5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 120  x = 120/5 ==> x = 24 Logo, o valor de x é 24.

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

3-Determine o valor de x na proporção:

Solução:

5 . (x-3) = 4 . (2x+1) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19

(aplicando a propriedade fundamental)

Logo, o valor de x é . 4-Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. Solução:

x = 56

(aplicando a propriedade fundamental)

Logo, o valor de x é 56.

7.REGRA DE SOCIEDADE 7.1-DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS 7.2.DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA Exemplo 1: Divida 392 em partes ao mesmo tempo diretamente e proporcionais a 2, 3, 4 e a 3,5,7.

SOLUÇÃO: Temos: 2.3=6, 3.5=15 e 4.7= 28 x= 6 x = 6.8 = 48 392 y= 15 ⇒ k = 392/49 = 8 y= 15.8=120 + z= 28 z= 28.8= 224 49

392

7.3- DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Exemplo 1: Dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3.5 e 6.

x = y = z 1/3 1/5 1/6 mmc( 3,5,6) = 30

e x + y + z = 210

y x x   10 6 5 30 30 30

Vamos utilizar os números 10, 6 e 5 210

x → 10 y→ 6+ z→ 5 21

Como: K = 210 = 10 21 x = 10x10 = 100 y = 6x10 = 60

15

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

16

z =5x10 =

50 210 EXERCÍCIOS

1234567-

Dividir o número 260 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4 Dividir o número 870 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 9 Dividir o número 2190 em partes, ao mesmo tempo, diretamente proporcional a 2, 3, 5 e a 6, 7 e 8. Dividir o número 175 em partes diretamente proporcional a 5/4 , 3, 4 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcional a ¾ , 6, 2. Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números 7, 10 e 12. Divida o número 3.751 em partes diretamente proporcionais aos números 7/4, 5/8 e 3/2. Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números 0, 4; 1, 2; e 3, 4.

7.4-REGRA DE SOCIEDADE A regra de sociedade é uma das aplicações da divisão em partes proporcional. Tem por objeto a divisão dos lucros ou prejuízos entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião do balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de um sócio ou ainda entrada de um novo sócio. Há quatro modos a considerar: 1º) Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo. A fim de obtermos a parte de cada sócio, dividimos o lucro ou prejuízo pelo número deles. Exemplo: Quatro sócios obtiveram um lucro de R$111.300,00. Sabendo que seus capitais são iguais, vamos determinar a parte de cada um nos lucros: 111. 300,00 = 27.825,00 4 2º) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo. Neste caso, dividimos o lucro ou o prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios. Exemplo: Por ocasião do balanço anual de uma firma formada por 3 sócios, verificou-se um prejuízo de R$ 27.000. Vamos determinar a parte correspondente a cada sócio. Sabendo que seus capitais são de R$ 540.000, R$ 450.000 e R$ 360.000. (540+450+360 = 1350) k = 27 = 0,02 1350 x 540 x => 540 x 0,02 = 10,8 x 1.000 = 10.800 y => 450 x 0,02 = 9,0 x 1.000 = 9.000 z => 3600 x 0,02 = 7,2 x 1.000 = 7.200 27. 000

O prejuízo de cada sócio será R$ 10.800, R$ 9.000 e R$ 7.200 3º) Os capitais iguais e são empregados durante tempos desiguais. Teoricamente, o lucro ou prejuízo correspondente a cada sócio seria determinado dividindo-se o lucro ou o prejuízo da sociedade em partes diretamente proporcionais aos tempos. Porém, na prática, este caso não ocorre, porque, em uma sociedade, os sócios não podem permanecer por tempo desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é admitido, procede-se uma reforma do contrato social, após o Balanço, calculando-se o Ativo e o Passivo.

4º) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos também desiguais. Teoricamente, as partes do lucro ou do prejuízo seriam diretamente proporcionais aos produtos dos capitais pelos respectivos tempos. Também neste caso, vale a observação feita para o caso anterior. * Exemplo 1: Marcos, Pedro e José compram um imóvel por R$ 60.000. Marcos entra com R$30.000. Pedro com R$ 20.000. José com R$ 10.000. Depois de algum tempo, o imóvel é vendido por R$ 90.000. Que parte cabe a cada um deles? 90.000, = 1,5

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

17

60.000, Marcos : R$30.000 x 1,5 = 45.000, Pedro : R$ 20.000 x 1,5 = 30.000, José : R$ 10.000 x 1,5 = 15.000, Total: .......90,000, EXERCÍCIOS 1- Uma firma formada por 3 sócios empregou, respectivamente, os capitais de R$ 9.000, R$ 11.000 e R$ 13.000, obtiveram um lucro de R$ 6.600. Qual será a parte de cada um? 2- Uma firma formada por três sócios empregou, respectivamente, os capitais de R$ 18.000, R$ 22.500 e R$27.000, obtiveram um lucro de R$ 27.000. Qual será a parte de cada um? 3- Três sócios realizaram um capital de 240.000. Sabendo que, ao fim de um certo período de tempo, tiveram de lucro, respectivamente, R$ 2.400, R$22.000 e R$18.000, qual era o capital de cada um? Exemplo 2: Dividir o número 180 em partes diretamente aos números 2, 3 e 4. x = y = z e x + y + z = 180 2 3 4 x + y + z 180 = 20 2 +3 + 4 9 x = 20 = > x = 40 2 1 y = 20 = > y = 60 + 3 1 z = 20 = > y = 80 4 1 180 EXERCÍCIOS 1- Divida em partes diretamente proporcionais os números seguintes: a) o número 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5. b) o número 180 em partes proporcionais a 2, 5 e 11 c) o número 2990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11 EXERCÍCIO 1- Divida o número 184 em partes proporcionais a ½ , 2/3 e ¾ . 4.2- DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Exemplo 1: Dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6.

x = y = z 1/3 1/5 1/6 mmc( 3,5,6) = 30

e x + y + z = 210

y x x   10 6 5 30 30 30

Vamos utilizar os números: 10, 6 e 5 210

x → 10 y → 6+ z → 5 21

Como: K = 210 = 10 21

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

18

x = 10x10 = 100 y = 6x10 = 60 + z =5x10 = 50 210 EXERCÍCIOS 1. Dividir o número 260 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4; 2. Dividir o número 870 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 9; 3. Dividir o número 2190 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcional a 2, 3, e 5 e a 6, 7 e 8; 4. Dividir o número 175 em partes diretamente proporcionais a 5/4 , 3 e 4 e ao mesmo tempo inversamente proporcional a ¾ , 6 e 2; 5. Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números 7, 10 e 12; 6. Divida o número 3.751 em partes diretamente proporcionais aos números 7/4, 5/8 e 3/2; 7. Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números 0,4; 1,2 e 3,4.

% 8.PORCENTAGEM A expressão por cento é familiar a você. Você a vê, praticamente, todos os dias, nos jornais e na televisão; além disso, você já sabe alguma coisa sobre o que ela representa pelos estudos que já realizou nas séries anteriores. A expressão por cento vem do latim per centum, que quer dizer por um cento. Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como “grande liquidação de inverno em uma loja: 40 por cento de desconto em todos os artigos”, significa que você terá um desconto de 40 reais para cada 100 reais em todos os artigos. 40 0,40(forma centesimal ) 40% Isso nos leva a escrever 100 1-Exemplos: Escrever ¼ na forma %. Idem para 3/8. Exercícios

4. 5. 6. 7. 8.

Exprima sob a forma de taxa percentual as razões: a) 2/25 b) 19/40 c) ¼ Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600? Em um colégio, 26% dos alunos são meninas. Quantos alunos possuem o colégio se elas são em número de 182? Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000 e vendido com um lucro de R$ 400. Qual a percentagem de lucro? Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24 foi vendida com 25% de abatimento. De quanto foi o abatimento?

8.1-Conversão de moedas CÂMBIO ( cotação do dia 21/0-6/2013) Podemos efetuar conversão através de uma regra de três simples. R$

R$5

R$10

R$50

R$100

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

USD 2,22 $

4,44 $

22,19 $

19

44,38 $

No site do banco central, existe planilha de conversão para moedas de diversos países: http://www4.bcb.gov.br/pec/conversao/conversao.asp CCR-

8.2- Definição O Convênio de Pagamentos e Créditos Recíprocos – CCR foi firmado em 25 de agosto de 1982, no âmbito da Associação Latino-Americana de Integração – Aladi. São signatários do Convênio os bancos centrais dos países membros da Aladi - Argentina, Bolívia, Brasil, Chile, Colômbia, Equador, México, Paraguai, Peru, Uruguai e Venezuela (exceto Cuba) - e da República Dominicana, no total de doze participantes. O CCR foi concebido, originalmente, com o propósito de facilitar o intercâmbio comercial da região, ao reduzir as transferências internacionais num cenário de escassez de divisas que marcou a década de 80. 8.3- Funcionamento O mecanismo do CCR se constitui, na prática, de um Sistema de Compensação de Pagamentos operacionalizado pelos bancos centrais participantes, por meio de compensações quadrimestrais, que considera os períodos janeiro/abril, maio/agosto e setembro/dezembro. A compensação - em dólares dos Estados Unidos - é efetivada na semana seguinte ao fechamento de cada quadrimestre. Baseado em um sistema de Liquidação Diferida pelo Líquido – LDL, são cursados e compensados pagamentos internacionais entre esses bancos centrais, de modo que, logo após o encerramento de cada período de compensação, somente se transfere ou se recebe, segundo resulte deficitário ou superavitário, o saldo global do banco central de cada país perante os demais. O Centro de Operações do CCR, centralizador de todas as transações cursadas no Convênio e das informações sobre os seus resultados, está localizado em Lima, no Banco Central da Reserva do Peru.

A conversão pode referir-se a mudança de moeda ou moeda, é uma operação financeira que consiste em trocar o dinheiro de um país (por exemplo, pesos argentinos) para o dinheiro dos outros (dólares, euros, etc.). Outro exemplo: Se a cotação do dólar estiver a R$2,88 (cotação de 22/02/15), ou seja, US$1,00 igual a R$2,88. Multiplique tantos dólares que você tiver por R$2,88 e terá o valor em reais. E se você tem Reais divida os reais por 2,88 e terá os valores em dólares, lembrando que sempre há uma variação entre compra e venda nas casas de câmbio. O mesmo procedimento para outras moedas. Existem sites com conversores automáticos de moedas. 8.4-Regimes de Capitalização A matemática financeira trata da comparação de valores monetários ao longo do tempo. Através de seu estudo, podemos analisar e comparar alternativas de investimento e financiamento, como: Qual o valor de R$100.000,00 daqui a um ano? Como comparar valores no tempo (R$523.000,00 hoje contra R$532.400,00 daqui a um mês ou com R$597.600,00 daqui a um ano)? Quais as alternativas para tomar dinheiro emprestado, considerando os custos embutidos que você deverá arcar para saldar as suas dívidas futuras? O objetivo deste capítulo é apresentar os conceitos básicos necessários para o bom entendimento das principais fórmulas da matemática financeira, seus elementos e seus respectivos cálculos. Ao final, você terá visto:      

a definição de juro e de taxas de juro; os regimes de capitalização; a diferença das taxas de juro nominais, efetivas e reais; uma visão geral da análise dos diferentes fluxos de caixa, do valor presente líquido; (VPL) e da taxa interna de retorno (TIR); SPREADS.

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

20

8.5- Juro e taxas de juro O juro representa o custo do dinheiro tomado emprestado ou, analogamente, a remuneração pelo sacrifício de adiar uma decisão de gasto/consumo e aplicar o capital (C0) por certo número de períodos (n). Definições Capital: valor aplicado por meio de alguma operação financeira. Também conhecido como principal, valor atual, valor presente ou valor aplicado. Em geral, o capital costuma ser denotado por C0. Número de períodos: tempo, prazo ou período em determinada unidade de tempo (dias, meses, anos etc.) em que o capital é aplicado. Em geral, o número de períodos costuma ser simbolizado por n. Suponha que você resolva vender o seu apartamento pelo valor de R$100.000,00 e receba uma proposta de compra por R$98.000,00 a vista quando da emissão do boleto de compra-venda ou R$80.000,00 nesse ato e mais R$20.000,00 na escrituração, que será realizada 30 dias depois. Qual será o melhor negócio para você: receber R$98.000,00 hoje ou as duas parcelas sugeridas pelo comprador? Para resolver a questão, precisamos entender o que são juros. 8.6-Qual a diferença entre juro e taxa de juro? Juro (J): valor expresso em dinheiro (em reais, por exemplo) referente a determinado capital e para determinado período. Pode também ser definido como a remuneração do capital, ou seja, o valor pago pelos devedores aos emprestadores em troca do uso do dinheiro. Ao fazer uma aplicação financeira, o montante final (Cn) resgatado após n períodos deve ser igual ao capital inicial (C0) aplicado mais os juros (J) ganhos na operação. Logo, podemos escrever: Montante final = Capital inicial + J ou: Cn = C0 + J Portanto: J = Cn - C0 Taxa de juro (i): é a porcentagem aplicada ao capital inicial que resulta no montante de juros (J). Conceitualmente, a taxa de juro é o custo de oportunidade do capital, isto é, a taxa paga/recebida para que um capital seja aplicado e resgatado no futuro e não gasto no presente. A taxa de juro pode ser calculada da seguinte forma: A taxa de juro é sempre expressa em porcentagem; para tal, basta multiplicar o resultado por 100%. Exemplos de cálculos de juros, taxas de juro e do capital a) Comprei um título por R$98.039,22 que vai pagar R$100.000,00 em um mês. Qual a taxa mensal da aplicação e o montante de juros recebido? Solução: pelos dados do problema: C0 = R$98.039,22 Cn = R$100.000,00 n = 1 mês i=? J=?

Para obter a taxa em porcentagem, basta multiplicá-la por 100: 0,0199 x 100% = 1,99% ao mês. J = 100.000,00 – 98.039,22 = 1.960,78

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

21

 SPREAD

Spread refere-se à diferença entre o preço de compra (procura) e venda (oferta) de uma ação, título ou transação monetária. Analogamente, quando o banco empresta dinheiro a alguém, cobra uma taxa pelo empréstimo - uma taxa que será certamente superior à taxa de captação. A diferença entre as duas taxas é o chamado spread bancário. Segundo a definição do Banco Central do Brasil, spread é a diferença entre a taxa de empréstimo e a média ponderada das taxas de captação de CDBs (certificados de depósito bancário) 9-JUROS SIMPLES – 9-1.JUROS SIMPLES –Conceito Como você já sabe, ninguém empresta dinheiro gratuitamente. Cobra-se uma espécie de “aluguel” pelo empréstimo. Empregando corretamente o dinheiro, o devedor pode ter lucro e pagar o empréstimo e o “aluguel”. Na linguagem das finanças, são usados os seguintes termos: Capital C: o dinheiro emprestado; Juro j: o “aluguel” Montante M: a soma do capital com o juro. A razão i = j/C, que é a taxa de crescimento do capital, é sempre referida ao período da operação e é chamada de taxa de juro. Em geral, exprimimos esta taxa em porcentagem. Fórmula

J= C.i.n

Montante: M= C+J == > M = C+C.i.n M =C (1+i.n) Exemplo resolvido 1. Que capital deve ser aplicada durante 6 meses, á taxa de 3% ao mês, para obtermos R$ 441 de juro?

Fórmula: j= C.i.n C=? J= 441 I= 3%= 3/100 = 0,03 441 = C. 0,03.6 441 = C.0,018 441/0,018 = C ( C= R$ 24500,00 Observação: O segredo de cálculos de juros e descontos (próximo assunto) é, ao substituir na fórmula, procurar deixar os valores de tempo (n) e os valores de i (taxa) no mesmo período, ou seja, tempo(n) em meses e taxa(i) também deverá estar em meses; se for ao ano ou em dias, os dois valores também deverão estar no mesmo período. JUROS SIMPLES – EXERCÍCIOS

Obs.: Nos valores em Reais, adotaremos sem os décimos relativos aos centavos.

1. Que quantia deve ser aplicada durante 9 meses, á taxa de 0,5% ao mês, para obtermos R$ 441 de juro? 2 Qual o valor do principal que, aplicado durante um ano e seis meses, à taxa de 1,2% ao mês, rendeu R$ 19.008? 3. A que taxa foi empregado o capital de R$ 24.000, que, no prazo de dois anos, rendeu R$ 8.400 de juro? 4- Uma aplicação de R$ 16.000, pelo prazo de seis meses, obteve um rendimento de R$ 1.680. Qual a taxa anual correspondente? 5- A que taxa mensal deve estar aplicada a quantia de R$ 99.000 para que, em três meses e dez dias, renda um juro de R$ 33.000? 6. Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 12.800 que, à taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896.

Resolva:

7. Calcule o montante de uma dívida de R$ 350,00, contraída a juros simples por 5 meses, à taxa de 3% a.m. 9.2-Juro Comercial e Juro exato.

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

22

No cálculo do Juro Simples (1ano = 360 dias), nos dá o que denominamos Juro simples comercial. Entretanto, podemos obter o juro fazendo uso do número exato de dias do ano (365 dias ou 366 dias se for ano bissexto). Neste caso, o resultado é denominado juro simples exato. 9.3-Determinação do número exato de dias entre duas datas. Podemos obter o número exato entre duas datas de 3 maneiras diferentes: 1º) Pela contagem direta dos dias em um calendário, lembrando que apenas um dos dias extremos deve ser incluído. 2º) Considerando o número exato de cada mês , lembrando que janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro têm 31 dias; abril, junho, setembro e novembro, têm 30 dias e fevereiro tem 28 dias (29 nos anos bissextos). Podemos, por exemplo, determinar o número de dias de 18 de março e 28 de maio do mesmo ano da seguinte forma: 18 de março a 18 de abril: 31 dias 18 de abril a 18 de maio: 30 dias 18 de maio a 28 de maio (28-18=10) => 10 dias Total.............................71 dias 3º) Faça o mesmo exemplo usando a Tabela para contagem de dias: Localize a maior data, no caso 28 de maio na tabela corresponde à 148 – 77(menor data 18 de março) = 71 dias. A tabela está no site para download:

9.3-COMPARATIVO ENTRE REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA Entende-se por regime de capitalização o processo de formação dos juros e a maneira pela qual estes são incorporados ao capital. Formalmente, tem-se dois regimes básicos de capitalização: o contínuo e o descontínuo. Relativo ao regime de capitalização descontínuo, conforme os juros periodicamente formados rendam também juros, ou não, distingui-se os denominados regimes de capitalização descontínua a juros compostos e a juros simples, doravante denominados capitalização composta e capitalização simples. Capitalização Simples 9.4- Conceito No regime de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. Na modalidade de juros simples, a base de cálculo é sempre o Valor Atual ou Valor Presente (PV), enquanto na modalidade de desconto bancário, a base de cálculo é sempre o valor nominal do título (FV). O regime de capitalização simples representa, portanto, uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear, seguindo uma reta; logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do período total. O regime de capitalização simples é muito utilizado em países com baixo índice de inflação e custo real do dinheiro baixo; no entanto, em países com alto índice de inflação ou custo financeiro real elevado, a exemplo do Brasil, a utilização de capitalização simples só é recomendada para aplicações de curto prazo. A capitalização simples, porém, representa o início do estudo da matemática financeira, pois todos os estudos de matemática financeira são oriundos de capitalização simples. (KUHNEN, 2008). 9.5- Juros Simples No regime de juros simples, os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial (principal) aplicado. Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Os juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros. Assim, apenas o principal é que rende juros. (PUCCINI, 2004). 9.5.1-Fórmulas

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

23

Valor do juro simples - J

9.6. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA O regime de capitalização composta é definido como sendo aquele no qual os juros formados ao final do período de capitalização a que se refere a taxa de juros são incorporados ao capital e passam a render juntamente com o capital no próximo período de capitalização. Sejam: PV (valor presente ou capital Valor Presente [PV = present value]); i - taxa de juros (futuro ou montante). n → número de períodos de capitalização; FV - valor Primeiro período de capitalização Valor Futuro (FV = future value). 10.DESCONTO SIMPLES 10.1-INTRODUÇÃO Desconto simples comercial ou simplesmente desconto por fora é o desconto aplicado sobre o valor nominal, ou futuro do título, muito utilizado nas instituições financeiras e no comércio em geral. O desconto comercial é uma convenção secularmente aceita e amplamente utilizada nas operações comerciais e bancárias de curto prazo, merecendo, por isso, toda atenção especial, pois, por essa convenção, altera-se o conceito básico e verdadeiro da formação e da acumulação de juro, implicando, consequentemente, na determinação de taxas efetivas (custo financeiro efetivo). O cálculo desse desconto é semelhante ao cálculo do juro simples. 10.1.2-TÍTULO DE CRÉDITO

Denominam-se títulos de crédito os papéis representativos de uma obrigação e emitidos de conformidade com a legislação específica de cada tipo ou espécie. 10.1.3-Classificação  Títulos ao portador, que são aqueles que não expressam o nome da pessoa beneficiada. Tem como característica a facilidade de circulação, pois se processa com a simples tradição.  Títulos nominativos, que são os que possuem o nome do beneficiário. Portanto, tem por característica o endosso em preto.  Títulos à ordem, que são emitidos em favor de pessoa determinada, transferindo–se pelo endosso. Os tipos de títulos de créditos utilizados nos Brasil são: letra de câmbio, nota promissória, duplicata e debêntures. Nota promissória é um título cambiário em que seu criador assume a obrigação direta e principal de pagar a soma constante no título. A nota promissória nada mais é do que uma promessa de pagamento. É um título muito usado entre pessoas físicas e uma instituição financeira. A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para a qual vendeu mercadoria a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro. A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado: porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por instituições financeiras. 10-DESCONTO Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer: Que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro futuramente pelo intervalo de tempo que falta para o vencimento;

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

24

Que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último tenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que fixada no título de crédito. Este benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto. Além disso: Dia de vencimento é o dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) de aplicações; Valor nominal é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento); Valor atual é o valor pago (ou recebido) antes do vencimento; Tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o do seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou então, incluindo o último e não o primeiro; Assim, desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 10.2-DESCONTO COMERCIAL 10.3-DEFINIÇÃO Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora, o equivalente ao juro simples, produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e a taxa fixada. 10.3-VALOR DO DESCONTO COMERCIAL Chamamos de: d o valor do desconto comercial N o valor Nominal do título A o valor atual comercial ou valor descontado comercial) n o tempo i a taxa de desconto d=Nxixn Como A = N – d e d = N x i x n A= N - (N x i x n) A= N (1- i x n)

Como adiantamos, o cálculo do desconto comercial é semelhante ao juros simples. Podemos comparar as duas fórmulas j=Cxixn d=Nxixn

Onde o Desconto corresponde ao juro e o capital ao valor nominal. Exercícios 1 – Um título de R$ 4.000 vai ser descontado à taxa de 4,2% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a) O valor do desconto comercial; b) O valor atual comercial. 2 – Uma duplicata de R$ 5.900 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 5.072. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 3,5% ao mês. 3 – Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 2.000, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial? 4–Um título, no valor nominal de R$ 10.400, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual é o valor comercial descontado?

5-Um título de R$ 4.836 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 30% ao ano, calcule o tempo aproximado de antecipação do resgate: A) 2 meses B) 5 meses C) 4 meses D) 3 meses E) N.D.A 6– Um título de R$ 4.800 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate. Exercícios de fixação

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

25

1– Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 1.000, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 15% ao ano. Qual o desconto comercial? 2– Um título, no valor nominal de R$ 4.200, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 21,9% ao ano, qual é o valor comercial descontado?

3- Um título de R$ 2.418 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 2238. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 15% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate: 4- A quantia de R$2000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos. Sendo que montante M= c+j. 1. A) R$ 12.000,00 B) R$ 8.000,00 C) R$ 12.000,00 2. D) R$ 18.500,00 E) R$ 15.000,00 11-Desconto Racional 11.1-DEFINIÇÃO Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título no período de tempo correspondente e a taxa fixada. dr = o valor do desconto racional Ar = o valor atual ou valor descontado racional Temos pela definição: dr = Ar x i x n Ar=N–dr Podemos utilizar: Nx i x n dr  1 i x n Exemplo1: Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: o valor do desconto racional; o valor atual racional. Temos: N = 12.000 n = 45 dias e i = 1,05% : 30 =0,035 a.d.= 0,035/100 = 0,00035 a.d. Nx i x n dr  1 i x n Como

dr 

12000(0,00 035).45 189  186,06 1  (0,00035).4 5 1,01575

b) como A r = N – d r, temos: A r = 12000 – 186,06 = 11813,94 2) Determine o valor do desconto e o valor atual racionais de um título de R$ 50.0000, disponível dentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês. 3) Determine o valor do desconto e o valor atual racionais de um título de R$ 60.000, disponível dentro de 60 dias, à taxa de 4% ao mês.

4) Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto racional a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m. EXERCÍCIOS 1.Um título de R$ 6.000 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial do de R$ 189, calcule a taxa de juro efetiva. Uma duplicata de R$ 23.000 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por R$ 21.068. Determina a taxa de desconto e a taxa efetiva.

2. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000 à taxa de 2,5% ao mês durante 2 anos. 3.Uma pessoa aplicou R$90.000, no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu um montante de R$180.000. Qual foi a taxa anual? 4. Um capital foi aplicado à taxa de 45% a.a. Em 12/02/2008, foi efetuado o resgate no valor de R$107.800. Qual o valor do capital inicial?

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

26

5.Um investidor aplicou R$200.000 no dia 06/01/2008 à taxa de 27% ao ano. Em que data esse capital elevar-se-á a R$219.500? EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1-Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$3.200, pelo prazo de 18meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 2-Calcule o juro simples do capital de R$ 36000 colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 2008 a 28 de maio do mesmo ano. 3-Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500 a ser resgatado por 2.700 no final de 2 anos? 4-A que taxa o capital de R$ 24.000 rende 1.080 em 6 meses? 6-Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$ 7.830. Qual foi esse capital? 12-LOGARITMOS Introdução - Considere o seguinte problema: 1º) A que expoente x se deve elevar o número 3 para se obter 81? 4x = 64 ( 4x = 4 3 ( x = 3 Esse valor 3 encontrado para x denomina-se logaritmo de 64 na base 4 se representa por log 4 64 = 3 12.1-Definição de logaritmo: Apresentaremos uma definição aprimorada, da seguinte forma: “Sejam a e b dois números reais e positivos, com b (1, chama-se log. de a na base b ao número c tal que bc = a” log b a = c ( bc = a A finalidade das condições apresentadas (a > 0 e 0< b (1) é garantir a existência e unicidade de log b a Exercícios 1-Determine, pela definição, o logaritmo de: a)log2 8 b) log2 0,5 c) log 3 x = 4 2-Para que valor de x se tem log4 x = 3? 3-Determine, pela definição, o logaritmo de: a) Log 4 b) Log 5 0,2 8

c) Log2 e) log49

8

64

3

7

d) Log16 32 f)

log4 2

2

3

64 g) log2 h) log 5 0,000064 4- Determine, pela definição, o logaritmo de: a) log 8 b) log 416 2

c) log 5625

e)log 2 g) log

5

d) log 0,5 0,125 4

343

f)

log 9 3

3

h) log 0,2 0,0000128

7

3. 4. 12.2-PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DE LOGARITMO P1) logaritmo de um produto

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

log b (a . c) = log b a + log b c Demonstração: Sejam log b (a . c) = x ; log b a = y e log b c = (como: log b (a . c) = x ( bx = a . c ) log b (a . c) = x ( bx = a.c _ eq. I log b a = y ( by = a _ eq. II log b c = z ( bz = c bx = a . c substituindo I , II em III bx =

by .

bz , propriedade de potenciação

bx = b y + z como as bases são iguais os expoentes são =s portanto: x = y + z log b (a . c) = log b a + log b c Exercícios: 1-Dados log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477, calcule: a)log10 6 b) log10 12 ( faça log10 12 = log10 2 .6) c) log10 9 d) log10 4 P2) logaritmo de um quociente log b (a/c) = log b a - log b c (Obs. : a/c = a : c) demonstração: sejam log b (a / c) = x ; log b a = y e log b c = z (como : log b (a / c) = x ( bx = a / c ) log b (a / c) = x ( bx = a / c - I log b a = y ( by = a ( II log b c = z ( bz = c , substituindo eq. I na eq. II bx = a / c bx = by / bz , propriedade de potenciação x y z b = b como as bases são iguais os expoentes são iguais. portanto: x = y - z log b (a . c) = log b a - log b c Exemplo: log 10 5 = log 10 (10 : 2) = log 10 10 - log10 2 = 1- log 10 2 P3) logaritmo de uma potência log b a = ( . log b a Demonstração: log b a( = x ( bx = a( Eq.1 log b a = y ( by = a Eq. 2 subst. Eq. 1 na Eq. 2 , temos: bx = (by) Comparando os expoentes x = ( . y log b a( = ( . log b a Exemplo: log 10 16 = log 10 24 = 4. log 10 2 EXERCÍCIOS 1-Se log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,48 , o valor de log l8 é: ( A) 1, 14 ( B) 1, 26 ( C) 1, 34 ( D) 1, 58 ( E) 1, 96

27

Cálculos Financeiros e Estatísticos, por Antônio Carlos Garcia

28

2-Dados log 2 = 0, 301 e log 3 = 0,477, calculem o valor de: a) log 0,018 b) log 14,4 c) log 15 d ) log 7,2

e) log 62 f) log 3/2 g) log 8 h) log 12 12.3- LOGARITMOS DECIMAIS Vamos observar e analisar algumas particularidades do sistema de logaritmos na base 10. Iniciaremos com os seguintes exemplos: EXEMPLOS: Sabendo que log 1842 = 3,26528. Vamos calcular log 184,2; temos: 1842

log 184,2 = log10 10 = log 1842 − log 10 = 3,26528- 1 e, portanto log 184,1 = 2, 26528 b) Calculemos agora log 18,42; temos: 1842 log 184,2 = log10 100 = log 1842 − log 100 = = 3,26528- 2 = 1, 26528 e, portanto log 18,42 = 1, 26528. 1842

c) Calculemos agora log 1,842 = log101000 = log 1842 − log 1000 = 3, 26528 - 3 = 0,26 528 Observe que os logaritmos 1842; 184,2; 18,42 e 1,842 (que diferem entre si quanto a posição da vírgula) têm mesma parte decimal. Continuaremos, então, com os nossos exemplos: *d) log 0, 1842; temos : log 0,1842=log

1842 10000

= log 1842- log 10.000 =3, 26528- 4 = - 0,54653; portanto, log 0,2841= _ 0, 73472 1842

e) log 0,01842= log 100.000 = log 1841 - log 100.000 = 3, 26528 - 5 = - 1, 73472 e, portanto, log 0,01841 = - 1, 73472 Log a = C + m ; 0

Qual o valor do principal que aplicado durante 1 ano é 6 meses juros simples a taxa de 1

Qual foi a capital que aplicado a taxa de juros simples de 1 5 ao mês rendeu R$ 90 em um trimestre?

Qual o capital aplicado a juros simples de 1 2 ao mês rende 3.500 de juros em 75 dias?

Quanto rendeu a quantia de 1.200 aplicado a juros simples com a taxa de 2% ao mês no final de um ano é três meses?