Quantas são as possibilidades de lançar uma moeda é um dado ao mesmo tempo?

Nada mais intuitivo do que admitir como 50% a probabilidade de obter cara no lançamento de uma moeda, correto? Pois bem, em certa ocasião, o matemático inglês John Kerrich teve a paciência de lançar uma moeda 10 mil vezes e anotar todas as ocorrências.

Ao final do experimento, ele registrou um total de 5.067 caras e 4.933 coroas, ou seja, uma probabilidade de ocorrência de cara igual a 50,67%. Como a probabilidade era calculada a cada novo lançamento, Kerrich observou ainda que os registros indicaram exatamente 50% de caras apenas três vezes ao longo dos 10 mil lançamentos. Será que os resultados de Kerrich contrariam nossa expectativa inicial de 50%?

Em estatística, dizemos que um fenômeno é randômico se sua ocorrência é incerta em casos individuais, mas segue um padrão para um número muito grande de registros. Um fenômeno randômico expressa, portanto, um certo tipo de ordem, que emerge de um número muito grande de observações.

O lançamento de uma moeda é um exemplo de fenômeno randômico: não podemos dizer o que ocorrerá em um só lançamento, mas podemos detectar um padrão se fizermos um número muito grande de lançamentos. Analisando o experimento de Kerrich em um gráfico, é fácil observar que o aumento do número de registros aproxima a probabilidade de ocorrência de cara do valor apontado pela nossa intuição.

Essa aproximação poderia ser ainda melhor, não fosse o fato de uma moeda usual não constituir um objeto idealmente honesto (a massa de uma face não é idêntica à da outra). Quando nos referimos à moeda ou a um dado "honesto" em problemas de probabilidade, admitimos uma situação ideal para conduzir o estudo de um fenômeno randômico.

Os dados usados nos cassinos são um bom exemplo de refinamento na busca desse objeto "honesto". Nesses dados, os furos feitos para a marcação dos números são preenchidos com material da mesma densidade do dado (e cor diferente) para que não haja diferença de massa entre as seis faces. Enquanto em um modelo ideal de dado honesto a probabilidade de ocorrência de qualquer face é 16,6%, em um dado com furos, a face do número 1 (mais leve que a do número 6) tem probabilidade de 15,9% contra 17,5% do número 6, segundo dados experimentais. *José Luiz Pastore Mello é mestre em ensino de matemática pela USP e professor do Colégio Santa Cruz

Transcrição de vídeo

RKA - Agora, vamos começar a lidar com problemas mais interessantes. Uma das coisas legais que vai encontrar em probabilidade é poder resolver um problema de forma mais interessante. Vamos pensar a respeito. Vou pegar uma moeda de verdade e joga-lá três vezes porque quero descobrir a probabilidade de ter "pelo menos uma cara nas três jogadas"... ..."pelo menos uma cara nas três jogadas". Portanto, o modo mais fácil de imaginar é: quantas prováveis possibilidades existem? No último vídeo, a gente viu que, se jogar a moeda três vezes, tem oito possibilidades. Para a primeira jogada, tem duas possibilidades; para a segunda, duas possibilidades; e, na terceira jogada, há duas possibilidades. Então, 2 vezes 2 vezes 2... tem 8 possibilidades iguais se eu jogar a moeda três vezes. Em quantas daquelas possibilidades a gente consegue pelo menos uma cara? Mostramos todas as possibilidades aqui. Então, tem que contar em quantas dessas conseguiremos pelo menos uma cara. É um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete destes têm pelo menos uma cara neles. E esta última não tem nada. 7 de 8 têm pelo menos uma cara. Agora, você deve estar pensando: ok, você foi capaz de fazer isso escrevendo todas as possibilidades, mas seria realmente difícil se eu dissesse pelo menos uma cara em vinte jogadas; e funcionou bem porque só tinha três jogadas. Melhor deixar mais claro que é em três jogadas! E seria muito mais difícil fazer se fossem vinte jogadas. Tem algum atalho aqui? Alguma outra forma de resolver? Não daria para resolver de um jeito simples. Não pode só dizer "ah, tá, a probabilidade de "obter cara" vezes a probabilidade de "obter cara" porque obteve cara na primeira vez; e, agora, não tem mais que obter cara, ou poderia obter cara de novo. Não precisa... ...então, fica um pouco mais complicado, mas tem um modo mais simples de resolver, que dá para usar este método. Na realidade, deve encontrar em muitos exames, onde fazem parecer como um problema muito mais difícil; mas, se pensar assim, de repente, fica mais simples. Uma forma de resolver o problema é: a probabilidade de "pelo menos uma cara em três jogadas" é igual a probabilidade de "não obter só coroas", certo? Se tem "só coroas" (não tem nenhuma cara), então, essas duas coisas são equivalentes. A probabilidade de obter "pelo menos uma cara em três jogadas" é igual a probabilidade de "não obter só coroa em três jogadas". Qual é a probabilidade de "não obter só coroa"? É 1 menos a probabilidade de "obter só coroas". A probabilidade de "só obter coroas em três jogadas" é a probabilidade de "coroa, coroa e coroa", porque qualquer uma das outras situações terá, pelo menos, uma cara, então, esta é a única possibilidade que resta. Se somar todas, vai obter 1. Vou escrever assim... ...eu vou escrever em outra cor, assim você enxerga de onde vem... a probabilidade de "nem todas as coroas" mais a probabilidade de "todas as caras". Bom, é tremendamente exaustivo. Todas estas são circunstâncias possíveis, portanto, suas chances de obter "nem só coroas" ou "só coroas"... e estas são mutuamente exclusivas, daí dá para somar... a probabilidade de "não obter todas as coroas", ou ...só para esclarecer o que estamos fazendo... ...a probabilidade de "nem todas as coroas" ou a probabilidade de "todas as coroas" vai ser igual a 1. Estas são mutuamente exclusivas: ou só terá no "coroas" (o que significa que as caras aparecerão apenas) ou "só coroas"; mas não pode ter as duas coisas acontecendo. E, sendo mutuamente exclusivas, você diz que a probabilidade disso ou disto é que pode somar suas probabilidades; o que, basicamente, são todos os possíveis eventos. Esta é a probabilidade de qualquer um desses eventos acontecerem, e será 1 ou 100% de chance. Então, outra forma de resolver, é a probabilidade de "nem todas as coroas" serão de 1 menos a probabilidade de "todas as coroas". Foi exatamente o que fizemos aqui. E a probabilidade de "todas as coroas" é bem direta. Esta é a probabilidade de obter 1/2 porque terá 1/2 chance de obter uma "coroa" na primeira jogada vezes ...vou escrever aqui para deixar mais claro... 1 menos a probabilidade de "obter só coroas". E terá 1/2 chance de obter coroas na primeira jogada; e, aí, vai ter que conseguir outra coroa na segunda jogada; depois, na terceira, obter outra coroa; e aí 1/2 vezes 1/2 vezes 1/2 é 1/8. 1 menos 1/8, ou 8/8 menos 1/8, será igual a 7/8. Dá para aplicar em um problema mais difícil de resolver, do que escrever todos os cenários, como a gente fez no primeiro problema; digamos que tem dez jogadas... a probabilidade de "pelo menos uma cara em dez jogadas". Bom, usamos a mesma ideia. Será igual a probabilidade de "não obter só coroas em dez jogadas". Então, só estamos dizendo que a probabilidade de "não obter coroas em todas as jogadas"... "todas as jogadas são coroas"... "nem todas as coroas em dez jogadas"... e vai ser 1 menos a probabilidade de "obter coroas dez vezes". Então, é 1 menos dez coroas seguidas, que vai ser igual a esta parte bem aqui! Eu vou escrever! É igual a 1 menos... e esta parte vai ser uma coroa, e outra coroa... 1/2 vezes 1/2... ...1/2 vezes 1/2. Agora, eu vou repetir dez vezes. Vou escrever um pouco para ficar mais claro ainda... 1/2... serão cinco, seis, sete, oito, nove e dez. A gente, simplesmente, tem o numerador 1; então, será 1... ...vai ser igual a 1... ...(vou escrever com o mesmo verde)... vai ser igual a 1 menos nosso numerador; e você tem 1 vezes ele mesmo dez vezes. Enfim, tem 1. No denominador, obtém 2 vezes 2, que é 4; 4 vezes 2 é 8... 16.. 32.. 64... 128... 256... 512... 1.024... ...sobre 1.024. É exatamente igual a 1.024 sobre 1.024 menos 1 sobre 1.024, que é igual a 1.023... ...1.023 sobre 1.024. A gente obtém um denominador comum aqui. ...vou fazer em azul... sobre 1.024. Se joga uma moeda dez vezes seguidas, sua probabilidade de "obter pelo menos uma cara em dez jogadas" é muito alta: é 1.023 sobre 1.024; e pode usar uma calculadora para entender em termos de porcentagem. Na realidade, vou fazer só por diversão. Se eu tenho 1.023 dividido por 1.024, isso dá... você tem 99,9% de chance de ter, pelo menos, uma cara. Isso, se arredondar. Isto é igual a 99,9% de chance. Eu arredondei um pouquinho. Esta é uma ferramenta bem poderosa. Na verdade, um jeito bem poderoso de pensar sobre por que você levaria uma eternidade para escrever todos os cenários. Na verdade, teria que escrever 1.024 cenários. Portanto, fazer o exercício para dez jogadas teria tomado todo o nosso tempo; mas, quando pensa diferente, é levado a ter a probabilidade de "obter pelo menos uma cara em dez jogadas", que é igual a probabilidade de "não ter só coroas"; e isso é 1 menos a probabilidade de "só obter coroas", o que é bastante fácil de pensar. Espero que tenha curtido!

Quantas possibilidades de lançar uma moeda é um dado ao mesmo tempo?

Como saber quantas são as possibilidades de resultado ao lançarmos um dado?

Qual o espaço amostral se eu jogar um dado é uma moeda simultaneamente?

Qual é a probabilidade de ao lançar uma moeda duas vezes obter cara nós dois lançamentos?