Quantos eventos são possíveis no lançamento simultâneo de três moedas?

Todo experimento aleatório - os fenômenos casuais onde as experiências são repetidas inúmeras vezes sob condições iguais, mas não apresentam os mesmos resultados - constitui o conjunto formado por todos os resultados possíveis. Esse conjunto é denominado de espaço amostral, e qualquer subconjunto dele é chamado de evento. Portanto, temos que o espaço amostral constitui todos os resultados possíveis e o evento, os casos favoráveis. Vamos abordar alguns exemplos que exploram de forma geral essas definições.

Exemplo 1

No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um preto, há um espaço amostral gerado. Vamos determinar todos os possíveis resultados deste lançamento.

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

O resultado possível no lançamento simultâneo de dois dados resulta em 36.

Com base nesse espaço amostral, podemos determinar qualquer evento pertencente ao conjunto dos possíveis resultados.

Evento A – faces iguais
A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}

Evento B – soma maior que 10
B = {(5,6), (6,5), (6,6)}

Evento C – sair soma 6
C = {(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)}

Evento D – soma 7
D = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}

Evento E – soma menor que 5
E = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,2)}

Exemplo 2

Uma urna contém uma bola verde e três brancas. Defina o espaço amostral do experimento “retirar uma bola ao acaso” e os eventos: retirar bola verde e retirar bola branca.

Possíveis resultados (espaço amostral): {verde, branca 1, branca 2, branca 3}, constituído de 4 elementos.

Evento retirar bola verde: {verde}, possui 1 elemento.

Evento retirar bola branca: {branca 1, branca 2, branca 3}, possui 3 elementos.

Exemplo 3

Numa caixa existem fichas numeradas de 1 a 10. Defina o espaço amostral do experimento “retirar fichas ao acaso” e defina os eventos: ocorrência de número ímpar, ocorrência de número primo e ocorrência de número maior que 4.

Possíveis resultados (espaço amostral): {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Evento ocorrência de número ímpar: {1, 3, 5, 7, 9}

Evento ocorrência de número primo: {2, 3, 5, 7}

Evento ocorrência de número maior que 4: {5, 6, 7, 8, 9, 10}

Exercícios resolvidos de provas sobre espaço amostral e probabilidade de um evento

Os exercícios estão divididos em 3 seções : Seção de exercícios Básicos ,Seção de exercícios com um certo grau de dificuldade e uma seção sobre prova teste ou simulado.

Definições

Espaço amostral (S) 

É o espaço de amostragem de todos os elementos de um experimento probabilístico .

Por exemplo: no lançamento de uma moeda,os elementos pertencentes a uma moeda, são : a cara e a coroa, somente é possível obter ou cara ou coroa e o nosso espaço amostral será : S={ cara, coroa }, um outro exemplo bacana é o lançamento de um dado que pegando o mesmo raciocino , todos os elementos pertencentes a um determinado dado, são os números { 1,2,3,4,5,6 } que estarão formando também o nosso espaço amostral S = {1,2,3,4,5,6}.

Evento (E): é um conjunto de resultados do experimento que em termos de conjuntos, é um subconjunto S em particular. ou seja , é o nº de elementos que a gente deseja obter é um espaço amostral.

Por exemplo : determine a probabilidade de sair duas caras no lançamento simultâneo de duas moedas.

Resolvendo !

1.vale apenas saber que lançamento simultâneo : significa que as moedas foram lançadas ao mesmo tempo;

2.temos duas moedas , com face cara (c) e face coroa (k) então : S = {(c,k) e (c,k)} o que significa esse e ? em probabilidade, o e significa multiplicação, portanto : S={(c,c)(c,k)(k,c)(k,k)} são 2 elementos da primeira moeda e 2 elementos da segunda moeda que vão fazer as quatro combinações possíveis então : o espaço amostral será S=2x2=4;

3.lembra que o evento é o numero de elementos que a gente deseja obter é um espaço amostral ? então, como desejamos obter duas caras, o nosso evento(E) será : n(E)= 1,porque no nosso espaço amostral só temos uma possibilidade de (c,c),no qual coloquei em negrito itálico.

Solução

Espaço amostral n(S)=4;

Evento n(E)= 1;

P(E)=n(E)/n(S)=1/4=0,25=25%

Exemplo 0

Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

Resolvendo !

1.Como em um baralho de 52 cartas sempre terá 4 reis, o número de elementos do evento é 4;

Solução

P(E)=n(E)/n(S) = 4/52 = 1/13.

Exemplo 1

Em um experimento, um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número múltiplo de 2 ?

Resolvendo !

1. um dado contém números de 1 a 6,nesse caso o seu espaço amostral,sempre que for um dado será : S={ 1,2,3,4,5,6};

2.os números múltiplos de 2,são aqueles números pertencentes da sua tabuada, ou seja : 2x1=2...2x2=4...2x3=6 e assim sucessivamente.

O espaço amostral será: S={1,2,3,4,5,6};
Como estamos interessados apenas nos resultados múltiplos de 2 , o nosso evento E(número de casos favoráveis) é representado por:E={2,4,6},temos três eventos nesse experimento então : n(E)= 3...

Solução

A probabilidade será :P(E)=n(E)/n(S).....{subconjunto/conjunto)

P(E) = 3/6 =0,5 ou 50%(0,5 x 100 = 50%).

Exemplo 2

Dois dados honestos são lançados simultaneamente , determine a probabilidade de obter um 5 .

Resolvendo !

1. temos dois dados :dado1 ={1,2,3,4,5,6} e dado2 ={1,2,3,4,5,6}, lembra que eu disse que em probabilidade e significa multiplicação ? então , como o dado1 e dado2 tem 6 elementos cada, o número total de elementos do espaço amostral será : S=6x6=36 que é o total de possibilidades para se obter qualquer número nesse intervalo e inclusive o número 5 ;

2.um dado sempre terá 6 elementos {1,2,3,4,5,6}, uma moeda sempre terá 2 elementos {cara ,coroa} e um baralho sempre terá 52 cartas onde teremos, 13 Copas,13 Paus ,13 Espadas e 13 ouros diferentes .

Solução

Espaço amostral , n(S) = 36;
Número de eventos, n(E) = 2;

P(E)= n(E) / n (S) = 2 /36 = 1/18

Exemplo 3 

Um dado e uma moeda são lançados. Determine a probabilidade de ocorrer cara na moeda e a face 6 no dado.

Resolvendo !

1.O problema tá afirmando que é um dado e uma moeda, o que esse e quer? ele simplesmente quer multiplicar a probabilidade da moeda em sair uma cara e a probabilidade do dado em sair face 6 .

2.Primeiro vamos dar solução na probabilidade da moeda em sair cara e adiante o do dado em sair a face 6.

solução

Espaço amostral S = { cara, coroa } ou seja, 2 elementos;

número de eventos n(E) = 1 cara;

Probabilidade (E) = n(E) / n(S) = 1/2

Dado

Espaço amostral S ={ 1,2,3,4,5,6 } ou seja, 6 elementos;

número de eventos n(E) = 1 cara;

Probabilidade(E) = n(E) / n(S) = 1/6

Portanto :a probabilidade de ocorrer cara na moeda e a face 6 no dado é :

Probabilidade =1/2 x 1/6=1/12=0,0833=8,33 %

Exemplo 4

Três moedas são lançadas simultaneamente.Qual é a probabilidade de se obter duas cara.

Resolvendo !

1.O espaço amostral de três moedas é:{cara,coroa},{cara,coroa} e { cara,coroa}ou seja, é como se tivéssemos os 2 elementos ( cara e coroa ) elevado a 3 , então o espaço amostral será : n (S) = 2x2x2=8,e se fosse quatro lançamentos seria :n(S)= 2x2x2x2 = 16.

2.como queremos obter a probabilidade de duas caras então, o nosso numero de eventos ou casos favoráveis será igual a 3.

Solução

A probabilidade será : P (E) = n (E) / n ( S ) = 3/ 8

Seção nº 2

Exemplo 5

Se dois dados são lançados , qual é a probabilidade de que a soma das faces de cima seja igual a 7.

Resolvendo !

1.em probabilidade, face de cima significa a parte ou face do dado que a gente está vendo naquele momento;
2.como são 2 dados ,o espaço amostral será :n(S)={1,2,3,4,5,6} e {1,2,3,4,5,6} ou seja , como são 6 elementos e 2 dados lançados o espaço amostral ou número de casos possíveis será=6x6=36;
3. a soma entre os elementos dos 2 dados que vai ser igual 7 será {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} portanto, o número de casos favoráveis que desejamos será :n(E)=6.

Solução

A probabilidade será : P(E)=n(E)/n(S)=6/36 = 1/6.

Exemplo 6

Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual é a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas ?

 Resolvendo !

1.em um baralho temos 4 cartas de reis que são : rei espada,ouro,copa e rei de paus; portanto a probabilidade de sair um rei vai ser 4/52

2.temos também 13 cartas de ouros,13 cartas de espadas,13 cartas de copas e 13 cartas de paus,portanto a probabilidade de sair uma carta de espadas será : 13 / 52;

3. podemos observar que sempre será os amigos de uma carta (subconjunto), dividindo todas as cartas (conjunto ).

4. em probabilidade esse ou significa uma soma , ou seja, para a probabilidade de evento (E) acontecer, a gente tem que somar : a probabilidade de sair um rei + a probabilidade de sair uma carta de espadas.

Solução final

A probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas será : P (E)= 4/52 + 13/52 =16/52.

Exemplo 7

Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 15. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola com número Par.

Resolvendo !

1. O espaço amostral será : n(S)=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14, 15) ou seja, 15 elementos ;

2. Os números pares desse espaço amostral são n(E) = {2,4,6,8,10,12,14} ou seja 7 elementos;

Solução final

Como no espaço amostral de 15 números, temos 7 números pares, a probabilidade de se retirar uma bola com número par será :

P(E) = 7/15 = 0,466 = 46,6%

Exemplo 8

Dois dados usuais e não viciados são lançados. Sabe-se que os números observados são ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles seja 8 é:

a) 2/36
b) 1/6
c) 2/9
d) 1/4
e) 2/18

Resolvendo !

1.Temos o lançamento de dois dados e nesse caso teremos o seguinte espaço amostral: S ={(1,2,3,4,5,6) e (1,2,3,4,5,6)},ou seja,como são 6 elementos e 2 dados lançados o espaço amostral ou número de casos possíveis será = 6x6 = 36;
2.O problema afirma que estamos observando os números impares que neste caso serão {(1,3,5) e (1,3,5)}, podemos notar que a soma entre as faces ímpares em que o resultado seja 8 é dado pelos pares (3,5) e(5,3).

Resumindo:Somente 2 eventos dos 36 pertencentes ao espaço amostral satisfazem a situação proposta. Portanto:

P(E)=n(E)/n(S)=2/36=0,0555=5,55%.

Exemplo 9

Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?

1.Temos uma urna com um total de 12 bolas. Isso significa que o nosso espaço amostral S=12.

2.Já que retiramos uma bola e queremos saber a probabilidade dela ser verde , a nossa probabilidade será :

P(E)=n(E)/n(S)=5/12

Se, o nosso objetivo fosse calcular a probabilidade dessa bola ser amarela o P(E) seria = 7/12.

Exemplo 10

Dada uma urna contendo 2 bolas brancas, 4 vermelhas e 6 amarelas e retirando apenas uma bola desta urna, encontre a probabilidade de:

a) Escolhermos uma bola qualquer da urna?

b) Escolhermos uma bola branca?

c) Escolhermos uma bola vermelha?

d) Escolhermos uma bola amarela da urna?

Resolvendo !

a) Resposta : Se a gente tem uma urna com um total de 12 bolas e queremos tirar nela, uma bola qualquer ,isso significa que a gente tem um conjunto de todos os resultados possíveis do experimento igual a 12 ,ou seja, n(E)=12, porque  não está restrito a nenhuma cor. 

A probabilidade de escolher uma bola qualquer será : 

P(E)=n(E)/n(S)=12/12 = 1

b) Resposta : Já que ,a gente só tem 2 bolas brancas(subconjunto), num conjunto de 12 bolas, podemos notar que no cálculo de espaço amostral , a probabilidade P(E) = subconjunto/conjunto,

portanto:

P(E)= n(E)/n(S)=2/12 = 1/6

c) Resposta :  Sabendo que ,a gente só tem 4 bolas vermelhas(subconjunto), num conjunto de 12 bolas, podemos notar que no cálculo de espaço amostral , a probabilidade P(E) = subconjunto/conjunto, portanto:

P(E)=n(E)/n(S)=4/12 = 1/3

d) Resposta : Do mesmo jeito , a probabilidade para escolher uma bola amarela será :

P(E)=n(E)/n(S)=6/12 = 1/2

Exemplo 11

No lançamento simultâneo de duas moedas distinguíveis, defina o espaço amostral e os eventos A: ocorrência de exatamente uma cara; B: ocorrência de pelo menos uma cara; C: ocorrência de coroa em ambas.

Resolvendo !

Espaço amostral S = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)}= 4 eventos;

Evento A = {(cara, coroa); (coroa, cara)} = 2 eventos;

Evento B = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara)} = 3 eventos ;

Evento C = {(coroa, coroa)} = 1 evento;

Você está preparado(a) para uma prova ? faça esse simulado com a gente ! 

Algumas definições importantes :

- Diz-se que dois eventos são independentes ,quando a realização ou a não realização de um dos  eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

Exemplo : No lançamento de dois dados , o resultado obtido em um deles não depende do resultado obtido no outro .

- Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos , ou seja, P = P1.P2 .


Questão 1

As bolas usadas no bingo são enumeradas 1,2,3,...,75, se uma dessas bolas é extraída ao acaso, qual é a probabilidade desse número ser um número par .

SOLUÇÃO PASSO A PASSO



Questão 2

Em uma sala de diversão , foi encontrada  três urnas com as seguintes bolas :

Urna A : 3 bolas brancas , 4 pretas e 2 verdes .

Urna B :  5 bolas brancas , 2 pretas e 1 verdes .

Urna C : 2 bolas brancas , 3 pretas e 4 verdes .

Sabendo que uma bola é retirada de cada urna . Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira , segunda e terceira urnas serem , respectivamente , branca , preta e verde ?

SOLUÇÃO PASSO A PASSO


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Quantas possibilidades temos no lançamento de 3 moedas?

Qual é a probabilidade de obtermos resultados iguais no lançamento de 3 moedas?

Qual é a probabilidade de ao jogar uma moeda 3 vezes?