Conjuntos: União, Interseção e DiferençaConhecemos conjuntos como uma coleção ou grupos de objetos ou símbolos aos quais chamamos de elementos. Entenda como funciona! Show Conjuntos como conhecemos são uma coleção ou grupos de objetos, ou símbolos aos quais chamamos de elementos. Vamos estudar nesse artigo como funciona as relações de pertinência, inclusão, conjunto das partes, além das operações com conjuntos. Notação e representação de conjuntos#Na prática a notação para conjuntos é usada letras do alfabeto em maiúsculo: A, B, C, …, Z. E a representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras. Vamos ver cada uma delas adiante. Exemplos:
Elementos de um conjunto#Elemento de um conjunto é qualquer coisa que pertença a um determinado conjunto. Além disso, os elementos devem ser listados entre um par de chaves. Quando listamos os elementos de um conjunto, devemos separá-los por vírgula ou ponto e vírgula, de acordo com a necessidade. Exemplos:
Quando um conjunto apresenta elementos infinitos, ou seja, que não é possível contabilizar todos os elementos, usamos a reticências (…) para indicar que o conjunto é infinito. Exemplos:
Principais formas de representar um conjunto#As principais formas de representarmos um conjunto são: Enumerar os elementos: Exemplo: A = {a, e, i, o, u} Através de uma propriedade que se repete: Exemplo: B = {x ∈ A; x é vogal}, corresponde ao conjunto do exemplo anterior Através do Diagrama de Venn:
Na matemática também admite a existência do conjunto vazio, sem elemento, sendo representados por: {} ou ∅. E do conjunto unitário, que contém apenas um elemento. Relação de pertinência#Pertinência é a característica associada a um elemento ao qual faz parte de um conjunto. Quando queremos indicar que um elemento pertence a um conjunto, usamos o símbolo: ∈ (pertence). Quando queremos indicar que um elemento não pertence a um determinado conjunto, usamos o símbolo: ∉ (não pertence). Exemplos:
Relação de inclusão#A relação de inclusão pode ser bastante confundida se o aluno não entender a simbologia:
Importante: a simbologia para relação de inclusão deve ser usada para relacionar conjuntos, se usar para relacionar elementos está errado. Exemplos:
Representação gráfica pelo Diagrama de Venn Subconjuntos#Dado um conjunto A, dizemos que B é um subconjunto de A, se B estiver contido em A, denotado por: B ⊂ A (B está contido em A). É o mesmo que dizer que B está dentro de A, ou seja, se todos os elementos de B estão dentro de A. Exemplos: Diagrama de Venn: Perceba que o conjunto B está literalmente dentro de A, portanto é subconjunto de A. Os elementos de B também são elementos de A. C = {a, e, i, o, u} e D = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} O conjunto das vogais C é subconjunto do conjunto do alfabeto da língua portuguesa D. Ou seja, o conjunto das vogais está contido no conjunto do alfabeto D. Considerando que A e B são conjuntos, dizemos que A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B. Exemplos: Diagrama de Venn Os elementos de A são os mesmo elementos de B. A = {1, 2, 3} e B = {3, 2, 1}; a ordem dos elementos não importa, os dois conjuntos tem os mesmo elementos. Observações:
Conjunto unitário#Dizemos que um conjunto é unitário quando tem somente um elemento. Exemplos:
Conjunto universo#Chamamos de conjunto universo um conjunto que contém todos os elementos dos conjuntos que estamos representando. Esse conjunto é simbolizado pela letra maiúscula U. Exemplo: O conjunto U é o conjunto universo dos conjuntos A e B. Complementar#Conjunto complementar é aquele que contém todos os elementos do conjunto universo que não estão no outro conjunto. Definição do conjunto complementar#Seja A um conjunto, temos que o conjunto complementar ACé definido por: AC = U – A = {x | x ∈ U e X ∉ A} Exemplo: O conjunto complementar de A são todos os elementos que estão no conjunto universo U (em vermelho, mas não estão em A). É simbolizado pela letra do conjunto que queremos encontrar o complementar com um traço em cima. Símbolos usados para conjunto complementar: Ä, AC, A’, CUA ou Conjuntos das partes#Seja A um conjunto qualquer, chamamos de conjunto das partes de A todos os subconjuntos possíveis da conjunto A. É representado por P(A). Exemplos: A = {1, 2, 3} Como determinar o conjunto das partes?#Para determinar o conjunto das partes para A, temos que escrever todos os subconjuntos de A.
Esse passo ajuda você, caro leitor, a entender como funciona o conjunto das partes. No entanto, um conjunto com muitos elementos pode necessitar de mais combinações de elementos. Número de elementos do conjunto das partes#Para saber a quantidade de elementos do conjunto das partes e, portanto, saber a quantidade de subconjuntos de um conjunto qualquer, utilizamos a seguinte fórmula: Seja A um conjunto qualquer, então: O número de elementos do conjunto das partes de A: n[P(A)] = 2n(A), onde n(A) é a quantidade de elementos de A. Exemplo:
Pelo exemplo anterior, percebemos que o conjunto das partes para o conjunto A tem exatamente 8 elementos. Igualdade de conjuntos#Sejam os conjuntos A e B, temos que A = B se, e somente se, eles possuem os mesmos elementos. Independente da ordem como são apresentados ou da quantidade. Exemplos:
Temos que A = B nos dois exemplos acima. Leis de De Morgan#As leis de De Morgan mostram que:
Exemplos: Podemos verificar através do Diagrama de Venn:
União#Em muitos problemas em provas de vestibulares e do ENEM é necessário saber as operações com conjuntos. São elas: União, Interseção e Diferença. A união de dois conjuntos no conjunto universo U é formada pelos elementos que pertencem a A ou B.
Definição de união#Sejam A e B conjuntos, a união de A com B é dada por:
Propriedades#
Exemplos:
Interseção#A interseção de dois conjuntos no conjunto universo U é formada pelos elementos que pertencem a A e B.
Definição de interseção#Sejam A e B conjuntos, a interseção de A com B é dada por:
Exemplos:
Propriedades#
Diferença#A diferença de dois conjuntos no conjunto universo U é formada pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.
Definição da diferença#Sejam A e B conjuntos, a diferença entre A e B é dada por:
Exemplos:
Propriedades#
Exercícios#Os exercícios sobre conjuntos estão disponíveis acessando o link a seguir:
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