Um dado é lançado duas vezes sucessivamente qual a probabilidade de ocorrer 5 no primeiro

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• Qual a probabilidade de se obter o resultado 5 no lançamento de um dado?
• Qual a probabilidade de se obter a soma 5?
• Qual a probabilidade de ao lançar um dado por duas vezes consecutivas o segundo lançamento seja maior que o primeiro?
• Qual a probabilidade de no lançamento de dois dados a soma ser 6 ou sair a mesma face nos dois lados?

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Lista 57 
Probabilidade 
 
Texto retirado de IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática – Volume único. 5ª edição. São 
Paulo: Atual editora, 2011. Págs. 391-393. 
 
 Considere as seguintes situações: 
 
• Um casal planeja ter três filhos. Qual é a probabilidade de nascerem duas 
meninas e um menino? 
• Em uma classe com 30 alunos, qual é a probabilidade de que pelo menos 
dois façam aniversário no mesmo dia? 
• Assinalando seis números em um cartão da Mega Sena, quais são as 
chances que tenho de acertar todos os números marcados? 
• Se dois amigos escolhem seus assentos aleatoriamente em um mesmo voo, 
em um avião com vinte fileiras de cadeiras, qual é a probabilidade de que 
eles sentem em uma mesma fileira? 
 
 Todas as questões levantadas constituem problemas de probabilidade. Neste 
capítulo, estudaremos métodos para resolvê-los, baseados na Análise Combinatória. 
 A teoria das probabilidades ganhou impulso historicamente com os jogos de 
azar e hoje constitui um interessante e importante ramo da Matemática. Tem 
aplicações em áreas do conhecimento como Biologia (Genética), Finanças, Marketing 
e Econometria, que é o conjunto de técnicas matemáticas usadas para quantificar 
fenômenos econômicos. 
 
Experimento aleatório 
 
 Quando lançamos um dado, não é possível saber que resultado irá ocorrer; 
assim, esse experimento pode apresentar seis diferentes resultados. 
 Do mesmo modo, quando sorteamos um número entre 1 e 50, não é possível 
saber qual número será sorteado. 
 Trabalharemos, neste capítulo, com experimentos cujo resultado não é 
previamente conhecido. Repetidos em condições idênticas, tais experimentos em 
condições idênticas, tais experimentos podem apresentar resultados diferentes. Essa 
variabilidade deve-se ao acaso. 
 Chamaremos tais experimentos de experimentos aleatórios. 
 
Espaço amostral 
 
 O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é 
chamado espaço amostral e é indicado pela letra grega W (lê-se “ômega”). 
 O número de elementos do espaço amostral de um experimento aleatório é 
indicado por n(W). 
 Veja alguns exemplos. 
 
Exemplo 01: 
 Um dado é lançado duas vezes sucessivamente e é observada a sequência das faces obtidas. 
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 Usando o PFC (princípio fundamental da contagem), o número de resultados possíveis de 
ocorrer nesse experimento é 6 . 6 = 36. Veja, a seguir, uma forma de representar os 36 pares 
ordenados. 
 
 
Lançamentos ® 
2º 
 
1º 
1 2 3 4 5 6 
 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 
 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 
 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 
 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 
 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 
 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 
 
 Assim, W = {(1,1), (1,2), ..., (2,1), ..., (3,1), ..., (4,1), ..., (5,1), ..., (6,1), ..., (6,6)}. 
Cada par ordenado corresponde a um ponto amostral. 
 
Exemplo 02: 
 A sra. Fátima ganhou dois CDs iguais, de uma famosa dupla sertaneja, e pretende sorteá-los 
entre seus cinco netos (Alberto, Bruno, Cássio, Durval e Élcio), de modo que cada neto sorteado 
receba um CD. 
 Qual é o espaço amostral correspondente a esse experimento? 
 
 Devemos escrever todas as combinações dos cinco netos tomados dois a dois. 
 Temos: 
 
W = {(A,B), (A,C), (A,D), (A,E), (B,C), (B,D), (B,E), (C,D), (C,E), (D,E)} 
 
 Observe também que n(W) = C5,2 = 10. 
 
EVENTO 
 
 Qualquer subconjunto do espaço amostral (W) de um experimento aleatório 
recebe o nome de evento. 
 Veremos a seguir como “construir” alguns eventos. 
 
Exemplo 03: 
 Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Quais resultados têm soma dos pontos igual 
a 6? 
 
 Devemos “percorrer” a tabela do Exemplo 01 e verificar quais são os pares ordenados (a, b) 
tais que a + b = 6. 
 Temos: (5,1), (1,5), (2,4), (4,2) e (3,3). 
 Desse modo, construímos o evento E “a soma dos pontos obtidos é igual a 6”. 
 E = {(5,1), (1,5), (2,4), (4,2), (3,3)}. 
 Observe que E Ì W. 
 
Exemplo 04: 
 Uma caixa tem 30 bolas numeradas de 1 a 30. Uma bola é retirada ao acaso da caixa. Qual é 
o evento E “ocorre um múltiplo de 4”? 
 
 O conjunto dos resultados possíveis desse experimento é W = {1, 2, 3, ..., 29, 30}. 
 Para obter E, devemos selecionar os elementos de W que são múltiplos de 4, isto é 
E = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}. 
 
Observações! 
• Quando E = W, o evento é dito evento certo. Por exemplo, no lançamento de um 
dado, seja E o evento “ocorre um número menor que 10”. É e claro que os casos 
favoráveis são E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = W; E é um evento certo. 
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• Quando E = Æ, o evento é dito evento impossível. Por exemplo, no lançamento 
de um dado, seja E o evento “ocorre um número maior que 20”. Não há, 
evidentemente, nenhum caso favorável à ocorrência de E. Assim, E = Æ, é um 
evento impossível. 
 
Evento complementar 
 
 Consideremos um evento E relativo a um espaço amostral W. Chamamos 
evento complementar de E – indicado por EC – ao evento que ocorre quando E não 
ocorre. 
 Observe o exemplo. 
 
Exemplo 05: 
 Uma rifa compõe-se de 50 cupons, numerados de 1 a 50. Seja E o evento “o número sorteado 
é um quadrado perfeito”. Quantos elementos possui o evento complementar de E? 
 
 De 1 a 50, os quadrados perfeitos são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49. Assim, n(E) = 7. 
 O evento complementar de E é formado pelos números de 1 a 50 que não estão relacionados 
acima. Assim n(EC) = 50 – 7 = 43. 
 
Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis 
Texto retirado de IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. DEGENSZAJN, David. PÉRIGO, Roberto. Matemática – Volume único. 5ª edição. São 
Paulo: Atual editora, 2011. Págs. 394-397. 
 
 Consideremos um espaço amostral W, formado por k pontos amostrais: 
 
W = {a1, a2, a3, ..., ak} 
 
 Vamos associar a cada um desses pontos amostrais um número real, p{ai}, ou 
simplesmente pi, chamado probabilidade do evento {ai} (ou probabilidade de 
ocorrência do ponto amostral ai), tal que: 
 
I. 0 £ pi £ 1 
II. pi	=	1
k
i	=	1 , isto é, p1 + p2 + ... + pk = 1 
 
 Consideraremos, na maior parte dos exercícios, os espaços amostrais 
equiprováveis, isto é, aqueles cujos pontos amostrais têm a mesma probabilidade de 
ocorrer. 
 Assim, denotando por p a probabilidade de ocorrência de cada um dos pontos 
amostrais de W, temos, em II: 
 
p	+	p	+…	+	p
k vezes
 = 1 ® k . p = 1 ® p = 1
k
 
 
 Por exemplo, ao lançarmos um dado, a probabilidade de ocorrência de cada 
face é 1
6
. 
 A probabilidade de ocorrência de um evento E, formado por r pontos amostrais 
E = {a1, a2, ..., ar}, com r £ k, é dada por: 
 
p(E) = p1 + p2 + ... + pr ® p(E) = 
1
k
	+ 1
k
	+	…	+ 1
k
r vezes
 
 
p(E) = r
k
 = número de elementos de E
número de elementos de W
 = n(E)
n(W)
 
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 Como E Ì W, temos n(E) £ n(W). Dessa forma: 
 
p(E) = n(E)
n(W)
 é tal que 0 £ p(E) £ 1 
 
 Essa definição de probabilidade é intuitiva, isto é, a probabilidade de ocorrer 
determinado evento é dada pela razão entre o número de casos favoráveis (ou 
número de casos que interessam) e o número de casos possíveis (ou número total 
de casos). 
 Assim: 
 
p(E) = n(E)
n(W)
 = número de casos favoráveis
número de casos possíveis
 
 
 Veja alguns exemplos abaixo. 
 
Exemplo 06: 
 Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Qual é a probabilidade de: 
a. Ocorrer 5 no primeiro lançamento e um número par no segundo? 
b. O produto dos pontos obtidos ser maior que 12? 
 
 Como vimos no exemplo 1, o conjunto dos resultados possíveis é formado por 6 . 6 = 35 pontos 
amostrais, isto é: 
 
W = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)} 
 
a. O evento que nos interessa é E = {(5,2), (5,4), (5,6)}. 
Assim, p(E) = n(E)
n(W)
 = 3
36
 = 1
12
. 
 
b. O evento que nos interessa é E = {(3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4),

Qual a probabilidade de se obter o resultado 5 no lançamento de um dado?

Qual a probabilidade de se obter a soma 5?

Qual a probabilidade de ao lançar um dado por duas vezes consecutivas o segundo lançamento seja maior que o primeiro?

Qual a probabilidade de no lançamento de dois dados a soma ser 6 ou sair a mesma face nos dois lados?