Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça

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= ? 
p + q = 1 
Logo, 𝑞 = 1
2
 
 
A moeda foi lançada cinco vezes, portanto foram 5 tentativas 
n = 5 
E queremos calcular a probabilidade de ocorrer três caras, ou seja, 3 sucessos 
r = 3 
Utilizando a fórmula da probabilidade binomial, temos que 
P = C 5,3 x p3 x q5-3 
Logo, P = 10 x (0,5)3x(0,5)2 
P=0,31 ou 31% 
 
 
Cálculo de Probabilidades 
 
 
 
 
16 
1.5 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO: 
a) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 
fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do 
curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol? 
Resposta: 2/5 
b) Suponha que a probabilidade dos pais terem um filho(a) com cabelos loiros seja ¼. Se 
houverem 6 crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos 
loiros? Resposta: 0,13. 
c) Numa empresa, de cada 100 peças vendidas, 30 são para o Rio de Janeiro, Na venda de 6 
peças. Qual a probabilidade de que 4 sejam para o Rio de Janeiro? Resposta: 5,953% 
d) Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de 
cada moça, segundo a tabela: 
Cabelos Olhos 
 Azuis Castanhos 
Loira 17 9 
Morena 4 14 
Ruiva 3 3 
 
Resposta: 7/13 
e) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher 
engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de 
tentativas? Resposta: 10,24% 
f) Um dado não viciado é lançado 6 vezes, qual a probabilidade de ocorrer um 3 ou um 4 
duas vezes ? Resposta: 32,92% 
 
 
Cálculo de Probabilidades 
 
 
 
 
17 
 
 
 
Capítulo 2 
 
 
 
Distribuições Discretas 
de Probabilidade 
 
 
Cálculo de Probabilidades 
 
 
 
 
18 
2. O QUE É A DISTRIBUIÇÃO DISCRETA? 
Uma distribuição discreta descreve a probabilidade de ocorrência de cada valor de uma 
variável aleatória que tem valores contáveis, como uma lista de inteiros não negativos. 
Uma variável discreta é aquela que pode ter valores no conjunto dos números naturais, ou em 
um subconjunto deles. 
Deste modo, uma distribuição de probabilidade discreta é, por vezes, apresentado em forma 
de tabela. 
 
2.1 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
Aplica-se a distribuição binomial, mais frequentemente, para descrever controle estatístico de 
qualidade de uma população. O principal interesse está voltado a duas categorias: item 
defeituoso ou insatisfatório versus item bom ou satisfatório e sucesso e falha que tenham 
ocorrido em uma amostra de tamanho fixo. 
A distribuição binomial é aplicada a eventos provenientes de uma série de experimentos 
aleatórios, que constituem o chamado Processo de Bernoulli. 
O processo de Bernoulli é comumente utilizado em aplicações de engenharia envolvendo 
controle de qualidade. 
Quando falamos sobre um processo de produção, cada novo produto criado é considerado 
como uma tentativa, e esta pode ser classificada em: com defeito ou sem defeito. 
Esse processo não se limita a objetos; podendo ser usado em pesquisas de mercado, 
preferências dos consumidores por determinados produtos, preferências políticas em época 
de eleições, etc. 
O modelo é dado pela seguinte função de probabilidade: 
 
𝑃(𝑥) = (
𝑛
𝑥
) 𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 
(
𝑛
𝑥
) =
𝑛!
𝑥! (𝑛 − 𝑥)!
 
Onde: 
 n = número de tentativas 
 X = número de sucessos 
 P =probabilidade de sucesso 
Cálculo de Probabilidades 
 
 
 
 
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Exemplo de Aplicação: 
Suponha que a probabilidade dos pais terem um filho(a) com cabelos loiros seja ¼. Se 
houverem 6 crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos 
loiros? 
Aqui n = 6, X = 3, p = 1/4, e q = 3/4. Substituindo estes valores na fórmula binomial, obtemos: 
 
𝑃(3) =
6!
3! (6 − 3)!
(
1
4
)
3
(
3
4
)
6−3
=
6!
3! 3!
(
1
4
)
3
(
3
4
)
3
=
6.5.4.3.2.1
3.2.1.3.2.1
(
1
64
) (
27
64
) = 20 (
27
4096
) = (
540
4096
)
≅ 0,13 
 
2.2 DISTRIBUIÇÃO POLINOMIAL (OU MULTINOMIAL) 
A Distribuição Multinomial faz parte do conjunto distribuições de probabilidades teóricas de 
variáveis aleatórias discretas, fazendo parte de um grupo ainda maior conhecido como 
distribuições teóricas de probabilidades e é uma generalização da Distribuição Binomial. 
Enquanto Distribuição Binomial se aplica apenas nos casos que envolvem mais que 2 tipos de 
resultados. A Distribuição Multinomial envolve mais que duas categorias. Um experimento 
multinomial é um experimento estatístico que tem as seguintes propriedade: 
O experimento consiste de n tentativas repetidas. 
Cada tentativa tem um número discreto resultados possíveis. 
Em qualquer tentativa dada, a probabilidade de que um particular resultado ocorrerá é 
constante. 
As tentativas são independentes; isto é, o resultado de uma tentativa não afeta o resultado das 
outras tentativas: 
Diremos que um vetor aleatório 𝑋 = (𝑋1, … , 𝑋𝑘) segue uma Distribuição Multinomial com 
parâmetros 𝑛 e 𝑝 = (𝑝1, … , 𝑝𝑘) se sua função de probabilidade for dada por: 
 
ℙ(𝑋1 = 𝑛1, … , 𝑋𝑘 = 𝑛𝑘) =
𝑛!
𝑛1! ∗ … ∗ 𝑛𝑘!
∗ 𝑝1
𝑛1 ∗ 𝑝2
𝑛2 ∗ … ∗ 𝑝𝑘
𝑛𝑘 
 
Denotamos 𝑋 ∼ 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖(𝑛, 𝑝1, … , 𝑝𝑘). 
Cálculo de Probabilidades 
 
 
 
 
20 
Em que: 
x = número de sucessos em n tentativas; 
p = probabilidade de sucesso; 
q = probabilidade de fracasso; 
k = número de sucessos na amostra. 
 
 
Exemplo de Aplicação: 
Os seguintes eventos podem ocorrer com um pacote enviado pelo correio: chegar em perfeito 
estado, chegar danificado ou perder-se pelo caminho. As probabilidades desses eventos são, 
respectivamente 0,7 , 0,2 e 0,1. Foram enviados recentemente 10 pacotes pelo correio. Qual a 
probabilidade de 6 chegarem corretamente ao destino, 2 serem perdidos e os outros 2 
avariados? 
Defina as seguintes variáveis aleatórias: 
𝑋1: número de pacotes que chegaram corretamente e sem danos; 
𝑋2: número de pacotes que chegaram avariados; 
𝑋3: número de pacotes que se perderam pelo caminho. 
 
Então 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 = 𝑛 = 10 e 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 = 0,7 + 0,2 + 0,1 = 1 
 
Logo, 
ℙ(𝑋1 = 6, 𝑋2 = 2, 𝑋3 = 2) =
10!
6! 2! 2!
∗ (0,7)6 ∗ (0,2)2 ∗ (0,1)2 = 0,059 
 
2.3 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON: 
A distribuição de Poisson é uma das mais usadas para variáveis aleatórias discretas, que 
expressa a probabilidade de uma série de eventos ocorrer num certo período de tempo, 
considerando a ocorrência de um evento independentemente de quando ocorreu o último 
Sua aplicação mais comum é na descrição de dados sobre vários tipos de fenômenos 
observáveis, por exemplo, número diário de telefonemas a uma central telefônica, número de 
Cálculo de Probabilidades 
 
 
 
 
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carros que passam por um cruzamento (ou uma cabine de pedágio) durante um certo período 
de tempo,acidentes por unidade de tempo, chegada de clientes a um supermercado por 
unidade de tempo, em análises de confiança em uma linha de produção (saber 
probabilidades de falhas). Sempre considerando o evento em função de um intervalo de 
tempo ou espaço. 
 
2.3.1 PROCESSO DE POISSON 
Imagine que se está interessado em saber o número de pessoas que entram num 
supermercado durante 12 minutos de um dia normal da semana. Cada pessoa que entra é 
considerada um evento. Obtém-se o seguinte resultado, tendo-se uma taxa média de  = 1 
(uma pessoa por minuto ). 
 
 
 
Todo o processo de Poisson tem as seguintes propriedades: 
O número de eventos ocorrendo em um segmento de tempo ou espaço é independente do 
número de eventos ocorridos no segmento anterior; o processo de Poisson não tem memória; 
A taxa média do processo, , deve permanecer constante durante o período de tempo e 
espaço considerados; 
Quanto menor o segmento de tempo e espaço, menor a probabilidade de ocorrer mais de um 
evento naquele segmento. A probabilidade de ocorrência de 2 ou mais eventos se aproxima 
de zero, quando o tamanho do segmento se aproxima de zero. 
 
2.3.2 PROBABILIDADES DE POISSON