Um número natural A de três algarismos detona

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Um número natural [tex]N[/tex] tem três algarismos. Quando dele subtraímos [tex]396[/tex], obtemos o número resultante da inversão da ordem dos algarismos de [tex]N[/tex].
Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de [tex]N[/tex] é igual a [tex]8[/tex], qual o algarismo das centenas de [tex]N[/tex]?

Solução

Seja [tex]N=abc[/tex], onde [tex]a[/tex] é o algarismo das centenas, [tex]b[/tex] é o algarismo das dezenas e [tex]c[/tex] é o algarismo das unidades.
(Aqui, as notações [tex]abc[/tex] e [tex]cba[/tex] não indicas produtos e sim representações de números com três algarismos no sistema decimal.)

Assim, pelos dados do problema:
[tex]\qquad \qquad \begin{cases}
abc-396=cba\\
a+c=8\\
\end{cases}\quad \textcolor{#800000}{(i)} \, .[/tex]
De [tex]abc-396=cba[/tex], obtemos [tex]100a+10b+c-396=100c+10b+a[/tex]. Após simplificações nessa igualdade, obtemos [tex]a-c=4[/tex].
Com isso, o sistema [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex] pode ser assim reescrito:
[tex]\qquad \qquad \begin{cases}
a-c=4\\
a+c=8\\
\end{cases} \, .[/tex]
Somando essas duas equações, obtemos [tex]2a=12[/tex] e, assim, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a=6$} \, .[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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Olá,

Essa questão caiu na OBM Nível 2 e 3 de 2009. Acredito que já mandei para esse ou o antigo fórum essa mesma dúvida, mas vou tentar esclarecer.

Se XYZ é um número de três dígitos que detona 314. Devemos ter X = 4,5,6,7,8,9 , Y = 2,3,4,5,6,7,8,9 e Z = 5,6,7,8,9.

Assim temos 6 opções para o primeiro dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro. Agora é só multiplicar: 6.8.5 = 240

Resposta: Letra B

Qual é o número natural de 3?

Qual o menor número natural com 3 algarismos distintos?

Quantos são os números naturais pares com três algarismos?

Qual é o número natural de três algarismos diferentes?