Utilizando o fator comum em evidência, fatore as seguintes expressões

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• Como colocar em evidência o fator comum?
• O que é um fator comum em evidência?
• Como fatorar a expressão?
• Como fazer a fatoração de Polinomios?

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1
01
Aula Matemática
1A
Matemática básica: 
produtos notáveis e 
fatoração
Introdução
Embora este assunto tenha sido iniciado no final do Ensino Fundamental, ele representa um facilitador quando 
da resolução de diversas questões algébricas presentes em situações de cálculo em vários momentos da Matemática 
do Ensino Médio. A Geometria, que aparentemente está distanciada da Álgebra, apresenta um bom contexto para os 
chamados produtos notáveis. Observe, por exemplo, o quadrado abaixo e pense numa expressão algébrica que possa 
representar sua área, conforme as medidas indicadas.
a + b
a + b
ba
a
b
Existem duas expressões algébricas que podem ser utilizadas para representar a área desse quadrado, conforme 
veremos ainda nesta aula.
Quadrado de uma soma
Este é o primeiro caso de produtos notáveis:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
O quadrado da soma de dois termos é o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo 
segundo termo e mais o quadrado do segundo termo.
2 Extensivo Terceirão
Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, podemos justificar algebricamente o 
resultado:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
(a + b)2 = a(a + b) + b(a + b)
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Quadrado de uma diferença
Agora, o segundo caso de produtos notáveis:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
O quadrado da diferença de dois termos é o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do 
primeiro pelo segundo termo e mais o quadrado do segundo termo.
Justificamos também a partir da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição:
(a – b)2 = (a – b)(a – b)
(a – b)2 = a(a – b) – b(a – b)
(a – b)2 = a2 – ab – ba + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Produto da soma pela diferença
O resultado a seguir também é conhecido como produto notável:
(a + b)(a – b) = a2 – b2
O produto da soma pela diferença de dois termos resulta no quadrado do primeiro termo menos o quadrado 
do segundo termo.
Pela propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, temos:
(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b)
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Fatoração de expressões algébricas
Fatorar uma expressão algébrica qualquer é transformá-la em produto. Em diversas situações esse procedimento 
de cálculo representa um facilitador na resolução tanto de expressões algébricas quanto de equações. Além dos 
produtos notáveis, vistos anteriormente, temos dois casos de fatoração:
Fator comum
Quando numa soma algébrica há um fator comum a todas as parcelas, o procedimento de colocar esse fator 
comum em evidência constitui uma fatoração. Para exemplificar, temos:
ax + bx = x . a + x . b = x . ( a+ b)
O fator x foi colocado em evidência
Observe que fatorar é o “caminho inverso” de utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à 
adição algébrica. Além disso, podemos utilizar o cálculo de área de figuras planas para compreendermos melhor esse 
procedimento algébrico.
Aula 01
3Matemática 1A
01. Simplifique a expressão algébrica E = (x – y)2 + (x + y)(x – y) + (x + y)2
• Para simplificar essa expressão algébrica, utilizaremos os três produtos notáveis estudados e, depois, reuniremos 
os termos semelhantes:
E = (x – y)2 + (x + y)(x – y) + (x + y)2
E = x2 – 2xy + y2 + x2 – y2 + x2 + 2xy + y2
E = 3x2 + y2
02. Considerando valores que não anulem o denominador, reduza a fração 
a a
a
2
2
4 4
4
− +
−
 à sua forma mais simples.
• Note que tanto o numerador quanto o denominador são produtos notáveis que podem ser fatorados:
a a
a
a
a a
a
a
2
2
24 4
4
2
2 2
2
2
− +
−
=
−( )
+( ) −( ) =
−
+
03. Transforme a expressão algébrica m = x3 + 2x2 + x + 2 como o produto de dois fatores.
• A fatoração da expressão dada, conforme a seguir, é feita por agrupamentos:
m = x3 + 2x2 + x + 2
m = x2(x + 2) + 1(x+2)
m = (x + 2)(x2 + 1)
Situações resolvidas
Existem duas expressões que representam a área do retângulo a seguir.
Cálculo da área S:
S = (a + b) . x
ou
S = a . x + b . x
ba
x x
Fatoração por agrupamento
Esse caso de fatoração é usado quando, numa soma algébrica, não há um fator comum a todas as parcelas mas 
existem fatores comuns a algumas delas, de tal forma que, ao serem convenientemente agrupadas e fatoradas, recai-
-se numa expressão algébrica em que novamente é possível encontrar fator comum. Para exemplificar, temos: 
ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)
ax + bx + ay + by = (a + b)x + (a + b)y
ax + bx + ay + by = (a + b)(x + y)
Também neste caso de fatoração é possível fazermos uma interpretação utilizando o cálculo de área de figuras 
planas. Assim, existem duas maneiras de representarmos a área do retângulo abaixo:
ba
x
y Cálculo da área S:
S = (a + b) . (x + y)
ou
S = a . x + b . x + a . y + b . y
4 Extensivo Terceirão
04. (UFSC) – Calcule (a – b)2, sendo a e b números reais positivos, sabendo que 
a b
ab
2 2 117
54
+ =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
• Como queremos calcular o quadrado de uma diferença, utilizaremos os dados da questão, conforme está apre-
sentado a seguir:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab
(a – b)2 = 117 – 2 ∙ 54 (a – b)2 = 9
05. Obtenha a expressão correspondente ao desenvolvimento de y = (a + b + c)2
• A partir da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, temos:
y = (a + b + c)2
y = (a + b + c)(a + b + c)
y = a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c)
y = a2 + ab + ac + ba + b2 + bc + ca + cb + c2
y = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
01. Obtenha duas expressões matemáticas equivalentes que representem a área do quadrado ilustrado no início desta 
aula.
02. (FUVEST – SP) – A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma 
dos quadrados desses dois números é:
a) 29 b) 97 c) 132 d) 184 e) 252
03. (MACK – SP) – O valor de 
x y
x x y xy y
4 4
3 2 2 3
−
− + −
 para x = 111 e y = 112 é:
a) 215 b) 223 c) 1 d) –1 e) 214
Situações para resolver
Aula 01
5Matemática 1A
Testes
Assimilação
01.01. Desenvolver os produtos notáveis a seguir:
a) 4 ∙ (x – 2y) = 
b) 3x2 ∙ y(x2y + 4xy3) =
c) (x + 3y)(x – 3y) = 
d) (2x – 3y)2 = 
e) (x4 + y)2 = 
Fatore as seguintes expressões:
f ) 2x – 4y = 
g) 36x2y + 18xy2 = 
h) yx – zx + 2y – 2z = 
i) xy + x + zy + z = 
j) x2 – 81 = 
k) 121 – x4y2 =
l) x2 – 4x + 4= 
m) 64 + 96 y3 + 36y6 = 
01.02. (PUC – SP) – Considere as sentenças a seguir:
I. (3x – 2y)2 = 9x2 – 4y2
II. 5xy + 15xm + 3zy + 9zm = (5x + 3z) ∙ (y + 3m)
III. 81x6 – 49a8 = (9x3 – 7a4) ∙ (9x3 + 7a4) 
Dessas sentenças, SOMENTE:
a) I é verdadeira. 
b) II é verdadeira. 
c) III é verdadeira.
d) I e II são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras. 
01.03. (INSPER – SP) – A diferença entre o quadrado da soma 
e o quadrado da diferença de dois números reais é igual:
a) a diferença dos quadrados dos dois números.
b) a soma dos quadrados dos dois números.
c) a diferença dos dois números.
d) ao dobro do produto dos números.
e) ao quádruplo do produto dos números. 
01.04. (PUC – MG) – O valor da fração a b
a ab b
2 2
2 22
−
+ +
 
quandoa = 51 e b = 49, é:
a) 0,02.
b) 0,20.
c) 2,00.
d) 20,0. 
Aperfeiçoamento
01.05. (UTFPR) – Um fazendeiro possui dois terrenos qua-
drados de lados a e b, sendo a > b. Represente na forma de 
um produto notável a diferença das áreas destes quadrados.
a) (a + b) ∙ (a + b)
b) (a + b) ∙ (a – b)
c) (a – b) ∙ (a – b)
d) (a + b)2
e) (a – b)2
01.06. (MACK – SP) – Se (x – y)2 – (x + y)2 = – 20, então 
x ∙ y é igual a: 
a) – 1
b) 0 
c) 10 
d) 5
e) 1/5
6 Extensivo Terceirão
01.07. (UTFPR) – Simplificando a expressão (x y) ,
+ −
−
2
2 2
4xy
x y
 
com x ≠ y, obtém-se: 
a) 2 – 4xy
b) 
x y
x y
−
+
c) 
2xy
x y+
 
d) –2xy
e) −
−
4xy
x y
 
01.08. (UNISINOS – RS) – Qual das identidades abaixo é 
válida para quaisquer números reais x e y?
a) (x + y)2 = x2 + y2.
b) (x – y)2 = x2 – y2.
c) (x – y)2 = x2 + y2.
d) (x – y) ∙ (x + y) = x2 + y2.
e) (x – y) ∙ (x + y) = x2 – y2. 
01.09. (CEFET – MG) – Simplificando a fração algébrica 
x y x y
x y
2

Como colocar em evidência o fator comum?

O que é um fator comum em evidência?

Como fatorar a expressão?

Como fazer a fatoração de Polinomios?