Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas.
Calculando raízes
Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado.
A representação de raízes é feita da seguinte maneira:
*n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz.
Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a.
L·L·L·L...L·L = a
Raízes exatas e não exatas
Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas:
a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9
b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8
c) A raiz quarta de 16, pois 2·2·2·2 = 16
Entretanto, quando não é possível encontrar número inteiro que seja raiz de um número, então, essa raiz não é exata. Todas elas pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas elas são decimais infinitos. São alguns exemplos de raízes não exatas:
a) Raiz quadrada de 2
b) Raiz cúbica de 3
c) Raiz quarta de 5
Cálculo de raízes não exatas
Caso 1 – Radicando primo
Se o radicando pertence ao conjunto dos números primos, é preciso procurar por valores aproximados para sua raiz. Esse cálculo é feito procurando-se por raízes exatas próximas ao radicando e, posteriormente, aproximando a raiz do radicando tendo como base a raiz exata mais próxima. Por exemplo, calculemos a raiz cúbica de 31:
Na imagem anterior, vimos que a raiz cúbica de 31 tem um resultado decimal entre 3 e 4. Para descobrir uma aproximação de L, é necessário definir quantas casas decimais ele deve ter e procurar pelo número que, elevado ao cubo, mais se aproxime de 31. No exemplo, usaremos uma aproximação com duas casas decimais. Portanto, L = 3,14, pois:
3,143 = 30,959144
Caso 2 – Radicando não primo
Quando o radicando não é primo, decomponha-o em fatores primos e agrupe esses fatores em potências cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Isso permitirá o cálculo imediato de todos os fatores cujo expoente é igual ao índice e resumirá os cálculos às raízes dos menores números primos possíveis para aquela raiz.
Exemplo:
Sabendo que a raiz cúbica de 2 é aproximadamente 1,26, calcule a raiz cúbica de 256. Em outras palavras, calcule:
Solução: Primeiramente, obtenha a decomposição em fatores primos de 256:
256|2 128|2 64|2 32|2 16|2 8|2 4|2 2|2
1
256 = 23·23·22
Agora, reagrupe os fatores em potências de expoente 3 dentro do radical. Observe:
Por fim, é possível utilizar uma das propriedades dos radicais para simplificar a raiz acima. Portanto, reescreva a igualdade da seguinte maneira para obter o resultado indicado:
Para encontrar o valor numérico da expressão acima, note que o resultado traz uma raiz cúbica de 2 elevado ao quadrado. Podemos reescrever da seguinte maneira:
Substitua as raízes cúbicas de 2 pelo valor dado no exercício e realize a multiplicação.
4·1,26·1,26 = 6,35
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado.
O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los?
Tentativa e erro
Algumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo:
Qual a raiz quadrada de v196?
Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo:
11 * 11 = 121
12 * 12 = 144
13 * 13 = 169
14 * 14 = 196
É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros.
Cálculo por fatoração
A fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração:
Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja:
Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja:
Veja outro exemplo com v1225:
Desmembrando o número temos:
Raiz quadrada não exata
Quando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo:
Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo:
7,1 * 7,1 = 50,41
7,2 * 7,2 = 51,84
7,3 * 7,3 = 53,29
7,4 * 7,4 = 54,76
O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54.
Veja outro exemplo:
Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas:
14,1 * 14,1 = 198,81
14,2 * 14,2 = 201,64
14,3 * 14,3 = 204,49
14,4 * 14,4 = 207,36
14,5 * 14,5 = 210,25
14,6 * 14,6 = 213,16
14,7 * 14,7 = 216,09
14,8 * 14,8 = 219,04
Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja:
14,71 * 14,71 = 216,38
14,72 * 14, 72 = 216,67
14,73 * 14,73 = 216,97
14,74 * 14,74 = 217,26
14,75 * 14,75 = 217,56
14,76 * 14,76 = 217,85
14,77 * 14,77 = 218,15
Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76.
O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular.
Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões:
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de zero são denominados números complexos. Os números como √ - 16 , √ -100 foram chamados números imaginários. Em seguida peça que resolvamos seguintes problemas: 1) Desenhe um quadrado de 16cm de lado e ache a área deste quadrado? 2) Qualé o número cuja raiz quadrada é 16. 3) Desenhe um quadrado cuja área é 196 cm2. Qual é a medida do lado deste quadrado? 4) Qual é o número cujo quadrado é 121? 5) Existem dois números cujos quadrado são iguais a 900. Quais são eles? PARTE 2: ESTIMANDO A RAIZ QUADRADA. MATERIAL NECESSÁRIO: Folha-tipo I-3. DESENVOLVIMENTO: O cálculo da raiz quadrada de um número pode ser interpretado geometricamente como a procura da medida do lado de um quadrado cuja área é dada por esse número. Peça para calcularem, por estimativa e tentativa, a raiz quadrada de 2116, fazendo as perguntas: A medida do lado do quadrado procurado está entre os números: a) 10 e 20 ? b)20 e 30? c) 30 e 40? d)40 e 50? Uma maneira, para estas verificações, seria calcular o produto de cada número por ele mesmo, ou seja calcular o quadrado do número: Assim as possíveis respostas seriam: a) Não está entre 10 e 20 porque 20 x 20 =400. b) Não está entre 20 e 30 porque 30 x 30 = 900. c) Não está entre 30 e 40 porque40 x 40 = 1600. d) Está entre 40 e 50 porque 50 x 50 = 2500. Como 2116 termina em 6, a raiz quadrada pode ser um número inteiro? Por quê? Sabendo-se que a raiz quadrada de 2116 é um número entre 40 e 50 e que pode ser inteiro ( pois 4 x 4 = 16 e 6 x 6 = 36 e algarismos das unidades de 2116 é 6), solicite que verifiquem se a raiz quadrada de 2116pode ser 44 ou 46. 44 x 44 = 1936 Portanto 44 não é raiz quadrada de 2116. 46 x 46 = 2116 Portanto √ 2116 = 46. Para a determinação de raiz quadrada de um número que não é quadrado de algum número racional, podemos utilizar situações-problema. Convém, aqui, discutir com os alunos que, provavelmente, o contexto do problema é que irá determinar a precisão da resposta ( precisão de décimos, centésimos, milésimos, décimos de milésimos, centésimos de milésimos, … ) Distribua uma folha-tipo I-3. PARTE 3: USANDO TABELAS OU CALCULADORAS. MATERIAL NECESSÁRIO: Folha-tipo II-3 r calculadora. DESENVOLVIMENTO: Alguns procedimentos para se obter um valor aproximado para a raiz quadrada de um número por tentativas, vão e tornando cansativos. Atualmente, valores aproximados de raízes quadradas podem ser obtidos, através de tabelas ou calculadoras, que darão respostas mais rapidamente. A) Usando tabelas para resolver problemas. Divida a classe em grupos. Distribua, para cada grupo uma folha-tipo II-3, que contém uma tabela de quadrados e raízes quadradas aproximadas, e que poderá ser utilizadas para resolver os seguintes problemas: 1) João quer fazer um reforço diagonal num portão que tem 1 m de altura e 2 m de comprimento. Que comprimento de tábua João precisará comprar? 2) Sabendo-se que o mastro central de um picadeiro tem 9 m, quantos metros de cabo de aço serão necessário para ligar a extremidade do mastro a um ponto situado no chão, a 12 m da sua base. B) Usando uma calculadora. a) Sem usar a tecla , peça para os alunos obterem um valor aproximado de √ 8354, escrevendo, antes, os seus procedimentos para calcular a raiz. É possível que façam várias tentativas antes de encontrar um valor aproximado para √ 8354. Cada vez que uma tentativa é testada, esse número é introduzido na calculadora e multiplicado por si próprio, reforçando, assim o conceito de raiz quadrada. Incentive os alunos a seguirem pistas do tipo: se a raiz quadrada de 8354 for um número inteiro, como poderá ser o algarismo das unidades dessa raiz quadrada? Poderia, também, solicitar que procurem alguns valores aproximados para √8354, primeiro com uma casa decimal, depois com duas casas decimais e com três casas decimais. Peça que elevem ao quadrado cada um dos valores e pergunte quais as aproximações que são maiores e quais são menores que 8354. b) Agora, usando a tecla , proponha o seguinte problema: Um sitiante quer cercar um curral de 1000 m 2 com quatro voltas de arame. Quantos metros de arame precisará comprar, sabendo-se que o curral tem forma quadrada? Neste problema, é interessante discutir as várias respostas encontradas pelosos alunos e as aproximações utilizadas. Por exemplo, para encontrar as medidas dos lados do curral, que tem a forma quadrada, os alunos podem ter obtido: √ 1000 = 31,622776. Pergunte-lhes qual a metragem de arame que o sitiante terá de comprar se a resposta dada for 31,62? ou 31,63? ou 32? É razoável o sitiante comprar 130 metros? E 150 metros? As emendas precisam ser consideradas. PARTE 4: ESTENDENDO O CONCEITO DE RADICIAÇÃO. MATERIAL NECESSÁRIO: Nenhum. DESENVOLVIMENTO: Proponha o seguinte problema: Qual o volume de um cubo de 8 cm de aresta? Dê um tempo para resolução e em seguida, organize as respostas, usando a notação exponencial. Se esta não surgir entre os alunos, retome-a escrevendo: Volume = 8 x 8 x 8 = 8 3 = 512 cm 3 . Diga-lhes 512 é o cubo de 8 porque é o volume do cubo de aresta igual a 8, e 8 é a raiz cúbica de 512. Explique que esta frase, também pode ser escrita usando notação de potências e de radical da seguinte maneira: Como: 512 = 8 3 , então 3√ 512 = 8, ou 8 3 = 512 e 8 = 3√ 512. Do mesmo modo: 3√ 216 = 6 porque 216 = 63. 3√ -125 = -5 porque ( -5 ) = - 125. Esta ideia pode ser aplicada para outros índices, como por exemplo: a) raiz quarta de 625 é 5: 4√ 625 = 5, porque 625 = 5 x 5 x 5 x 5 = 54. b) raiz quinta de 32 é 2: √32 = 2, porque 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25. Proponha aos alunos os seguintes problemas: 1) Quanto deve medir cada aresta de um cubo cujo volume é de 125 dm 3 ? 2) Uma pessoa precisa comprar uma caixa d'água. Encontra para a venda uma com especificações: 4m de comprimento, 2 m de largura e 1 m de altura. Acontece que no local onde vai ser instalada não cabe uma caixa com essas dimensões. A pessoa encomenda, então, ao fabricante, uma outra caixa com mesma capacidade da primeira, com a forma de cubo. Quanto deve medir a aresta dessa caixa? 3) Um cubo de madeira foi pintado de amarelo em todas as suas faces. Ele foi, então cortado em 27 cubos pequenos de tamanho iguais. Quantos cubos pequenos serão encontrados com 3 faces pintadas, com 2 faces pintadas, com uma face e nenhuma face? 4) Um bolo na forma de um cubo foi colocado num grande pote cheio de “chantily”. O bolo foi retirado com todas as faces cobertas com “chantily”. Depois o bolo foi cortado em pequenos cubos, de modo que o número de pedaços coberto com “chantily”em três faces é 1 do número de 8 pedaços sem nenhum “chantily”. Quantos pedaços pequenos tem “chantily” em três faces? Em duas faces? Em uma face? Em nenhuma face? Qual tamanho do bolo original? COMENTÁRIOS: Uma proposta, na qual se enfatiza a compreensão, o aprimoramento e a ampliação do conceito de número, de suas operações e propriedades,
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