- 1. Celso Brasil Geometria Espacial - Esfera Exercícios resolvidos sobre esfera
- 2. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 1
- 3. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 2
- 4. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 3
- 5. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 4 Questões Resolvidas do Livro Fundamentos de Matemática Elementar,volume 10 (669) Calcule a área e o volume das esferas, cujas medidas estão indicadas abaixo: (a) Solução (i) A área da esfera é dada por: Sesfera = 4πR2 → Sesfera = 4π(1,6)2 → Sesfera = 4π. 2,56 → 𝐒𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟏𝟎, 𝟐𝟒𝛑 𝐜𝐦² (ii) O volume da esfera é dado por: Vesfera = 4 3 πR3 → Vesfera = 4 3 π(1,6)3 → Vesfera = 4 3 π. 4,096 → Vesfera = 16,384 3 π → 𝐕𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟓, 𝟒𝟔𝛑 𝐜𝐦³ (b)
- 6. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 5 (i) Calculo do raio da esfera: r2 = 42 + 32 → r2 = 16 + 9 → r2 = 25 (ii) Cálculo da área da esfera: Sesfera = 4πR2 → Sesfera = 4π. 25 → 𝐒𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟏𝟎𝟎𝛑 𝐜𝐦² (iii) Cálculo do Volume da esfera: Vesfera = 4 3 πR3 → Vesfera = 4 3 π(5)3 → Vesfera = 4 3 π. 125 → 𝐕𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟓𝟎𝟎𝛑 𝟑 𝐜𝐦³ 670. Represente, nas esferas abaixo, através de expressões algébricas: (a) a área do fuso O vamos expressar o ângulo 𝜶 em graus: α = π 6 rad → α = 180° 6 → 𝛂 = 𝟑𝟎° Podemos usar a seguinte regra de três: 360°....................4πr² α............................Sfuso Sfuso = 4πr²α 360° → Sfuso = πr²α 90° → Sfuso = πr2 30° 90° → Sfuso = πr2 3 Como o raio mede: r = x 2 temos: Sfuso = πr2 3 → Sfuso = π ( x 2 ) 2 3 → Sfuso = π. x2 4 3 → 𝐒𝐟𝐮𝐬𝐨 = 𝛑𝐱² 𝟏𝟐
- 7. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 6 (b) A área total e o volume da cunha. Sabemos que: r = x 2 e α = π 6 Note que o raio da cunha = raio esfera. Logo: 𝐒𝐜𝐮𝐧𝐡𝐚 = 𝐒𝐜í𝐫𝐜𝐮𝐥𝐨 + 𝐒𝐟𝐮𝐬𝐨 Note que a planificação da cunha resulta em um círculo de raio r mais o fuso esférico. Logo: 𝐒𝐜𝐮𝐧𝐡𝐚 = 𝐒𝐜í𝐫𝐜𝐮𝐥𝐨 + 𝐒𝐟𝐮𝐬𝐨 (i) Área total da cunha: A área do fuso pode ser calculada através de uma regra de três: 2π..........................4𝜋𝑟2 𝛼................................ 𝐒𝐟𝐮𝐬𝐨 Sfuso = 4πr2 . α 2π → 𝐒𝐟𝐮𝐬𝐨 = 𝟐𝐫𝟐 . 𝛂 Logo: Scunha = Scírculo + Sfuso → Scunha = πr2 + 2r2 . α → Scunha = π ( x 2 ) 2 + (2 ( x 2 ) 2 . π 6 ) →
- 8. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 7 Scunha = πx² 4 + (2. x2 4 . π 6 ) → Scunha = πx² 4 + ( x2 2 . π 6 ) → Scunha = πx² 4 + x²π 12 → Scunha = 3πx2 + πx² 12 Scunha = 4πx² 12 → 𝐒𝐜𝐮𝐧𝐡𝐚 = 𝛑𝐱² 𝟑 (ii) Volume da cunha: 2π................................ 4 3 𝜋𝑟3 α....................................𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 Vcunha = 4 3 πr3 . α 2π → Vcunha = 4r³α 6 → 𝐕𝐜𝐮𝐧𝐡𝐚 = 𝟐𝐫³𝛂 𝟑 Vcunha = 2r³α 3 → Vcunha = 2 ( x 2 ) 3 . π 6 3 → Vcunha = 2. x3 8 . π 6 3 → Vcunha = πx³ 24 3 → 𝐕𝐜𝐮𝐧𝐡𝐚 = 𝛑𝐱³ 𝟕𝟐 (671) Obtenha o raio de uma esfera, sabendo que um plano determina na esfera um círculo de raio 20 cm, sendo 21 cm a distância do plano ao centro da esfera. Solução Pelo enunciado, temos: r = 20 cm d = 21 cm Devemos ter, então: Pelo teorema de Pitágoras no ∆OMA: R2 = (21)2 + (20)2 → 𝑅2 = 440 + 400 → R2 = 841 → R = √841 → 𝐑 = 𝟐𝟗 𝐜𝐦 Calcule a área de um fuso esférico de ângulo 30° e cujo raio mede 2 metros. Considere: 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒. Solução Sfuso = πr2 . α 90° → Sfuso = 3,14.22 . 30° 90° → Sfuso = 3,14.4 3 → Sfuso = 12,56 3 → 𝐒𝐟𝐮𝐬𝐨 ≅ 𝟒, 𝟏𝟗 𝐦²
- 9. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 8 (672) O raio de uma esfera mede 53 cm. Um plano que secciona essa esfera determina nela um círculo de raio 45 cm. Obtenha a distância do plano ao centro da esfera. Solução Pelo enunciado, temos: r = 45 cm R = 53 cm d = ? Pelo teorema de Pitágoras no ∆OMA: (53)2 = (𝑑)2 + (45)2 → 2809 = 𝑑² + 2025 → 𝑑2 = 2809 − 2025 → d = √784 → d = 𝟐𝟖 𝐜𝐦 673. Um plano secciona uma esfera de 34 cm de diâmetro. Determine o raio da seção obtida, sendo 8 cm a distância do plano ao centro da esfera. Solução Diâmetro = 34 cm Raio (R) = 17 cm Distância (d) = 8 cm Raio da secção (r) = ? R2 = d2 + r2 → (17)2 = 82 + r2 → 289 = 64 + r2 → r2 = 289 − 64 ← r2 = 225 → r = √225 → 𝐫 = 𝟏𝟓 𝐜𝐦 674. Determine o diâmetro de um círculo cuja área é igual à superfície de uma esfera de raio r. Solução Área do círculo: 𝑆𝑐 = 𝜋𝑅² Área da esfera: 𝑆𝑒 = 4𝜋𝑟² De acordo com o enunciado: Sc = Se → πR2 = 4πr2 → R2 = 4r2 → √R2 = √4r2 → R = 2r ∴ 𝐃𝐢â𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨 = 𝟒𝐫 (675) Determine o raio de uma esfera de superfície 𝟑𝟔𝛑 𝐜𝐦𝟐 . Solução A superfície da esfera é dada por: Sesfera = 4πR2 → 36π = 4πR2 → 4R2 = 36 → R2 = 9 → 𝐑 = 𝟑 𝐜𝐦
- 10. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 9 (676) Determine a área do círculo da esfera cujas distâncias polares são de 5 cm e 3 cm. Solução Sendo r o raio da seção e d o diâmetro da esfera, vem: d2 = 52 + 32 → d2 = 25 + 9 → d2 = 34 → d = √34 cm Relações métricas (ah = bc) no ∆P1AP2, retângulo em A: d.r = 5.3 → √34. 𝑟 = 15 → 𝐫 = 𝟏𝟓 √𝟑𝟒 Área da secção S: Queremos calcular a área do círculo destacado na figura acima, logo: S = πr2 → S = π ( 15 √34 ) 2 → 𝐒 = 𝟐𝟐𝟓𝛑 𝟑𝟒 𝐜𝐦² (677) Calcule a área de uma seção plana feita a uma distância de 12 cm do centro de uma esfera de 37 cm de raio. Solução d = 12 cm R = 37 cm R2 = d2 + r2 → (37)2 = (12)2 + r2 → 1369 = 144 + r2 → r2 = 1369 − 144 → 𝐫𝟐 = 𝟏𝟐𝟐𝟓 Área da secção: S = πr2 → 𝐒 = 𝟏𝟐𝟐𝟓𝛑 𝐜𝐦² (678) A seção plana de uma esfera feita a 35 cm do centro tem 144𝝅 cm² de área. Calcule a área do círculo máximo dessa esfera. Solução
- 11. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 10 d = 35 cm Ssecção = 144π cm² (i) Cálculo do raio (R’) da secção plana: Ssecção = 144π → πR′2 = 144π → 𝐑′𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 (ii) Cálculo do raio (R) da esfera: R2 = (R′)2 + d2 → R2 = 144 + (35)2 → R2 = 144 + 1225 → 𝐑𝟐 = 𝟏𝟑𝟔𝟗 (iii) Cálculo da área do círculo máximo: S = πR2 → 𝐒 = 𝟏𝟑𝟔𝟗𝛑 𝐜𝐦² (679) Calcule a distância de uma seção plana de uma esfera ao centro da esfera, sabendo que o círculo máximo tem área igual ao quádruplo da área determinada pela seção plana e que o raio da esfera mede 17 cm. Solução Área do círculo máximo = 4 x Área da secção πR2 = 4 x πR′2 → R2 = 4 x R′2 → (17)2 = 4. R′2 → R′2 = (17)2 4 → R′2 = ( 17 4 ) ² Cálculo da distância da secção plana ao centro da esfera: R2 = d2 + R′2 → (17)2 = d2 + ( 17 4 ) 2 → d2 = 172 − ( 17 4 ) 2 → d2 = 4.172 − 172 4 → d2 = 3.172 4 → d = √ 3.17² 4 → 𝐝 = 𝟏𝟕√𝟑 𝟐 𝐜𝐦 (680) O raio de uma esfera mede 41 cm. Determine a razão entre as áreas das seções obtidas por dois planos, sendo de 40 cm e 16 cm as respectivas distâncias desses planos ao centro da esfera. Solução R = 41 cm d1 = 40 cm d2 = 16 cm r′ =? r′′ =? (i) Cálculo do r’: 𝑅2 = d1 2 + r′2 → (41)2 = (40)2 + 𝑟′2 → 1681 = 1600 + 𝑟′2 → 𝑟12 = 1681 − 1600 → 𝑟′2 = 81
- 12. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 11 (ii) Área da secção de raio r’ (S’): S′ = πr′2 → 𝐒′ = 𝟖𝟏𝛑 𝐜𝐦² (iii) (i) Cálculo do r’: R2 = d1 2 + r′′2 → (41)2 = (16)2 + r′′2 → 1681 = 256 + r′′2 → r′′2 = 1681 − 256 → 𝐫′′𝟐 = 𝟏𝟒𝟐𝟓 (iv) Área da secção de raio r’ (S”): S" = πr"² → 𝐒" = 𝟏𝟒𝟐𝟓𝛑 (v) A razão entre as áreas das seções: 𝑆′ 𝑆" = 81𝜋 1425𝜋 : 3 3 → 𝐒′ 𝐒" = 𝟐𝟕 𝟒𝟕𝟓 (681) Determine a área e o volume de uma esfera de 58 cm de diâmetro. Solução Diâmetro = 58 cm Raio = 29 cm (i) Área da esfera: S = 4πR2 → S = 4π(29)2 → S = 4π. 841 → 𝐒 = 𝟑𝟑𝟔𝟒𝛑 𝐜𝐦² (ii) Volume da esfera: V = 4 3 πR3 → V = 4 3 π(29)3 → V = 4 3 π. 24389 → 𝐕 = 𝟗𝟕𝟓𝟓𝟔𝛑 𝟑 𝐜𝐦³ (682) Determine a área de uma esfera, sendo 𝟐𝟑𝟎𝟒𝛑 𝐜𝐦𝟑 𝐨 𝐬𝐞𝐮 𝐯𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞. Solução (i) Devemos ter: Vesfera = 2304π → 4 3 πR3 = 2304π →= 4 3 R3 = 2304 → R3 = 2304.3 4 → R3 = 6912 4 → R3 = 1728 → R = √1728 3 → R = √23. 23. 3³ → 𝐑 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦 (ii) A área da esfera é dada por: Sesfera = 4πR2 → Sesfera = 4π(12)2 → Sesfera = 4π. 144 → 𝐒𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟓𝟕𝟔𝛑 cm² (683) Calcule a distância polar de um círculo máximo de uma esfera de 34 cm de diâmetro. Solução
- 13. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 12 A distância polar é a distância de um ponto qualquer da circunferência de uma secção a um dos polos relativos a essa secção. No caso a secção passa pelo centro da esfera. Logo: Devemos ter o seguinte: (dp)2 = (17)2 + (17)2 → (dp)2 = 2(17)2 → dp = √2. (17)2 𝐝𝐩 = 𝟏𝟕√𝟐 𝐜𝐦 (684) Determine a superfície de uma esfera, sendo 𝟐𝟔𝛑 𝐜𝐦 o comprimento da circunferência do círculo máximo. Solução (i) Pelos dados da questão, temos: Comprimento da circunferência (C) = 26π cm (ii) O Comprimento da circunferência é dado por: C = 2πR → 2πR = 26π → 2R = 26 → 𝐑 = 𝟏𝟑 𝐜𝐦 (iii) A área da esfera é: Sesfera = 4πR2 → Sesfera = 4π(13)2 → Sesfera = 4π. 169 → 𝐒𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟔𝟕𝟔𝛑 𝐜𝐦² (685) Determine o raio de uma esfera, sendo 288𝝅 cm³ o seu volume. Solução V = 288π → 4 3 πR3 = 288π → 4 3 R3 = 288 ÷ 4 → R3 3 = 72 → R3 = 72.3 → R3 = 216 → R = √216 3 → → 𝐑 = 𝟔 𝐜𝐦 (686) Uma esfera oca tem 1 dm de raio exterior e 1 cm de espessura. Determine o volume da parte oca da esfera. Solução Para melhor desenvolvimento da questão iremos converter 1 dm como em cm: 1 dm = 10 cm Note que o raio da parte oca vale 9 cm. Logo:
- 14. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 13 VOca = 4 3 πR3 → VOca = 4 3 π. 93 → 𝐕𝐎𝐜𝐚 = 𝟗𝟕𝟐𝛑 𝐜𝐦³ (687) Determine o volume de uma esfera de 100𝛑 cm² de superfície. Solução (i) Cálculo do raio da esfera: S = 100π → 4πR2 = 100π → 4R2 = 100 → R2 = 100 4 → R2 = 25 → R = √25 → 𝐑 = 𝟓 𝐜𝐦 (ii) Cálculo do volume da esfera: V = 4 3 πR3 → V = 4 3 π. 53 → V = 4 3 π. 125 → 𝐕 = 𝟓𝟎𝟎𝛑 𝟑 𝐜𝐦³ (688) Determine a medida do raio de uma esfera, sabendo que seu volume e sua superfície são expressos pelo mesmo número. Solução Volume da esfera = Área da esfera 4 3 πR3 = 4πR2 → 1 3 R = 1 → 𝐑 = 𝟑 689. Um plano secciona uma esfera determinando um círculo de raio igual à distância m do plano ao centro da esfera. Obtenha a superfície e o volume da esfera em função de m. Solução (i) Cálculo do valor do raio da esfera: R2 = m2 + m2 → R2 = 2m2 → R = √2m² → 𝐑 = 𝐦√𝟐 (ii) Área da esfera: S = 4πR2 → S = 4π(2m2) → 𝐒 = 𝟖𝛑 𝐦² (iii) Volume da esfera: V = 4 3 πR3 → V = 4 3 π(m√2) 3 → V = 4 3 π (m3√23) → V = 4 3 π. (m3 . 2√2) → 𝐕 = 𝟖𝛑√𝟐 𝟑 𝐦³
- 15. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 14 (690) Determine a medida da superfície e do volume de uma esfera, sabendo que o seu raio mede 1/5 do raio de outra esfera cujo volume é 4 500𝛑 cm³. Solução Esfera 1: V = 4500π → 4 3 πR3 = 4500π → 4 3 R3 = 4500 → R3 = 13500 4 → R3 = 3375 → R = √3375 3 → R = 15 → Esfera 2: R′ = 1 5 R → R′ = 1 5 . 15 → 𝐑′ = 𝟑 (i) Área da esfera 2: S = 4πR′2 → S = 4π. (3)2 → S = 4π. 9 → 𝐒 = 𝟑𝟔𝛑 𝐜𝐦² (ii) Volume da esfera: V = 4 3 πR3 → V = 4 3 π. 33 → V = 4 3 π. 27 → 𝐕 = 𝟑𝟔𝛑 𝐜𝐦³ (691) A cúpula de uma igreja é uma semiesfera apoiada sobre um quadrado de 12 m de lado. Determine a superfície da cúpula. (i) Devemos ter: (ii) O raio da semiesfera vale 6 m, logo: Ssemiesfera = 4πR2 2 → Ssemiesfera = 2π. 62 → Ssemiesfera = 2π. 36 → 𝐒𝐬𝐞𝐦𝐢𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 𝟕𝟐𝛑 𝐦² (692) Determine a medida do raio (R) de uma esfera, sabendo que o raio de um círculo menor (r) mede 5 cm e que sua distância polar mede 13 cm. Solução (i) seja uma esfera e uma seção de raio igual a 5 cm.
- 16. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 15 (ii) Seja um ponto P qualquer sobre esta seção (circunferência de raio 5 cm) (iii) As distâncias polares são as distâncias deste ponto aos polos da esfera. Logo: (iv) Do triângulo retângulo (destacado) de lados 13 cm, 5 cm e x cm, temos: (13)2 = x2 + 52 → 169 = x2 + 25 → x2 = 169 − 25 → x2 = 144 → x = √144 → 𝐱 = 𝟏𝟐 (v) Seja o triângulo retângulo (amarelão) de lados 13 cm, (2R - 12) e altura 5 cm. (vi) Usando a relação métrica: h² = m.n, temos: 52 = 12(2R − 12) → 25 = 24R − 144 → 24R = 25 + 144 → 24R = 169 → 𝐑 = 𝟏𝟔𝟗 𝟐𝟒 𝐜𝐦 (693) Determine a distância polar de um círculo menor de uma esfera, sendo 10 cm o raio da esfera e 6 cm a distância do círculo ao centro da esfera. Solução (i) No triângulo retângulo (amarelo) temos: r2 = 4.16 → r2 = 64 → r = √64 → 𝐫 = 𝟖
- 17. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 16 (ii) No triângulo retângulo BCP, temos: (dp)2 = 42 + 82 → (dp)2 = 16 + 64 → (dp)2 = 80 → dp = √80 → dp = √22. 22. 5 → 𝐝𝐩 = 𝟒√𝟓 𝐜𝐦 (iii) No triângulo retângulo ABP, temos: (dp)2 = (16)2 + 82 → (dp)2 = 256 + 64 → (dp)2 = 320 → dp = √320 → 𝑑𝑝 = √22. 22. 22. 5 𝐝𝐩 = 𝟖√𝟓 𝐜𝐦 Resposta: 𝟒√𝟓 𝐜𝐦 𝐨𝐮 𝟖√𝟓 𝒄𝒎 (694) Os polos de um círculo menor de uma esfera distam, respectivamente, 5 cm e 10 cm do plano do círculo. Determine o raio desse círculo. Solução (i) No triângulo retângulo ABP, temos: (2R)2 = 52 + (10)2 → 4R2 = 25 + 100 → 4𝑅2 = 125 → R2 = 125 4 → R = √ 125 4 → 𝐑 = 𝟓√𝟓 𝟐 (ii) Ainda no triângulo retângulo ABP, temos: r. 2R = 5.10 → r. 2. 5√5 2 = 50 → r. 5√5 = 50 ∶ 5 → r√5 = 10 → r = 10 √5 . √5 √5 → r = 10√5 5 → 𝐫 = 𝟐√𝟓 𝐜𝐦 (695) Uma bola de ouro de raio r se funde, transformando-se em um cilindro de raio r. Determine a altura do cilindro. Solução (i) Pelo enunciado da questão, devemos ter: Vbola = Vcilindro → 4 3 πr3 = πr2 h → 𝟒 𝟑 𝐫 = 𝐡
- 18. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 17 (696) Um cone é equivalente a um hemisfério de 25 cm de diâmetro. Determine a área lateral do cone, sabendo que as bases do cone e do hemisfério são coincidentes. Solução (a) Raio da base do cone = raio da base do hemisfério = 𝟐𝟓 𝟐 𝐜𝐦 (b) Área da base do cone = Área da base do hemisfério = πr2 → π ( 25 2 ) 2 → 𝟔𝟐𝟓 𝟒 𝛑 𝐜𝐦² (c) Volume do cone: Vcone = 1 3 πr2 . h → Vcone = 1 3 . 625π 4 . h → 𝐕𝐜𝐨𝐧𝐞 = 𝟔𝟐𝟓𝛑.𝐡 𝟏𝟐 (d) Volume do hemisfério: Vhemi = 4 3 πr3 2 → Vhemi = 4πr3 6 → Vhemi = 2 3 πr3 → Vhemi = 2 3 π ( 25 2 ) 3 → Vhemi = 2 3 π. ( 15625 8 ) → Vhemi = 1 3 . 15625π 4 → 𝐕𝐡𝐞𝐦𝐢 = 𝟏𝟓𝟔𝟐𝟓𝛑 𝟏𝟐 (e) Como o cone e o hemisfério são equivalentes, seus volumes são iguais: Vcone = Vhemi → 625π. h 12 = 15625π 12 → 625h = 15625 → h = 15625 625 → 𝐡 = 𝟐𝟓 (f) No cone, temos a seguinte relação: g2 = r2 + h2 → g2 = ( 25 2 ) 2 + (25)2 → g2 = 625 4 + 625 → g2 = 625 + 2500 4 → g2 = 3125 4 → g = √ 3125 4 → g = √52. 52. 5 2 → 𝐠 = 𝟐𝟓√𝟓 𝟐 (g) Área lateral do cone: SL = πrg → SL = π ( 25 2 ) ( 𝟐𝟓√𝟓 𝟐 ) → 𝐒𝐋 = 𝟔𝟐𝟓√𝟓 𝟒 𝛑 𝐜𝐦² (697) Duas esferas de metal de raios 2r e 3r se fundem para formar uma esfera maior. Determine o raio dessa nova esfera. Solução (a) O volume da nova esfera será igual à soma dos volumes das duas esferas dadas: (b) Volume da esfera de raio = 2r: V1 = 4 3 πr3 → V1 = 4 3 π(2r)3 → V1 = 4 3 π. 8r³ → 𝐕𝟏 = 𝟑𝟐𝛑𝐫𝟑 𝟑 (c) Volume da esfera de raio = 3r: V2 = 4 3 πr3 → V2 = 4 3 π(3r)3 → V2 = 4 3 π. 27r3 → V2 = 4π. 9r³ → 𝐕𝟐 = 𝟑𝟔𝛑𝐫³ (d) Vamos supor que o raio da nova esfera seja “R”, assim, seu volume será: 𝐕𝟑 = 𝟒 𝟑 𝛑𝐑𝟑
- 19. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 18 Interessa-nos saber o valor de “R”, logo: (e) Teremos, então: 𝐕𝟑 = 𝐕𝟏 + 𝐕𝟐 → 𝟒 𝟑 𝛑𝐑𝟑 = 𝟑𝟐𝛑𝐫𝟑 𝟑 + 𝟑𝟔𝛑𝐫𝟑 → 𝟒 𝟑 𝛑𝐑𝟑 = 𝟑𝟐𝛑𝐫𝟑 + 𝟏𝟎𝟖𝝅𝒓𝟑 𝟑 → 𝟒𝝅𝑹𝟑 = 𝟏𝟒𝟎𝝅𝒓𝟑 → 𝐑𝟑 = 𝟑𝟓𝐫𝟑 → 𝐑 = √𝟑𝟓𝐫³ 𝟑 → 𝐑 = 𝐫√𝟑𝟓 𝟑 (698) Um sólido é formado por dois cones retos de volumes iguais, tendo como base comum um círculo de 6 cm de raio. A área do sólido é igual à superfície de uma esfera de raio 6 cm. Determine a relação entre os volumes do sólido e da esfera. Solução (i) O sólido terá o seguinte formato: (ii) Área do sólido (𝐒𝐬ó𝐥𝐢𝐝𝐨) = Área da esfera (𝐒𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚): Ssólido = Sesfera → 2(πrg) = 4πr2 → π. 6. g = 2π. 62 → 6πg = 2π. 36 → 6g = 72 → g = 72 6 → 𝐠 = 𝟏𝟐 (iii) Na figura ao lado, aplicamos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AOB: g2 = h2 + 62 → (12)2 = h2 + 36 → 144 = h2 + 36 → h2 = 144 − 36 → h2 = 108 → h = √22. 32. 3 → 𝐡 = 𝟔√𝟑 (iv) O enunciado da questão pede a relação entre o volume do sólido e da esfera: 𝐕𝐬ó𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐕𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = 2( 1 3 𝜋𝑟2 . ℎ) 4 3 𝜋𝑟³ = 2 3 𝜋. 62 . (6√3) 4 3 𝜋. 6³ = 36. (6√3) 2.216 = 6√3 12 → 𝐕𝐬ó𝐥𝐢𝐝𝐨 𝐕𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚 = √𝟑 𝟐
- 20. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 19 (699) Os raios de duas esferas concêntricas medem, respectivamente, 15 cm e 8 cm. Calcule a área da seção feita na esfera de raio maior por um plano tangente à outra esfera. Solução Vamos supor que o raio do círculo da secção maior seja x. Note que a distância da secção ao centro = raio da esfera menor e o raio da secção maior pode ser calculado pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo destacado na figura ao lado: (15)2 = 82 + x2 → 225 = 64 + x2 → x2 = 225 − 64 → 𝐱𝟐 = 𝟏𝟔𝟏 𝐜𝐦 Ssecção = πr2 → Ssecção = πx2 → 𝐒𝐬𝐞𝐜çã𝐨 = 𝟏𝟔𝟏𝛑 𝐜𝐦² (700) Determine o diâmetro de uma esfera obtida da fusão de duas esferas de 10 cm de diâmetro. Solução (i) Se cada esfera tem 10 cm de diâmetro, o raio de cada uma delas vale 5 cm. Logo: (ii) Volume das duas esferas fundidas: Vesferas = 2 ( 4 3 π. r3 ) → Vesferas = 8 3 π. (5)3 → Vesferas = 8 3 π. 125 → 𝐕𝐞𝐬𝐟𝐞𝐫𝐚𝐬 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝛑 𝟑 𝐜𝐦³ (iii) Pelo enunciado, devemos ter o volume da nova esfera (𝑽𝟐) = volume das esferas fundidas. Vamos supor que o raio da nova esfera seja “R”. V2 = Vesferas → 4 3 πR3 = 1000π 3 → 4R3 = 1000 → R3 = 1000 4 → R3 = 250 → R = √250 3 → R = √53. 2 3 → 𝐑 = 𝟓√𝟐 𝟑 𝐜𝐦 (iv) A questão pede o valor do diâmetro da nova esfera. Logo: Diâmetro (D) = 2.Raio (R) → 𝐷 = 2.5√2 3 → 𝐃 = 𝟏𝟎√𝟐 𝟑 𝐜𝐦 (701) Sabendo que o diâmetro de uma esfera é os 3/5 do diâmetro de uma outra esfera, calcule a razão entre as áreas dessas duas esferas. Solução Vamos supor que R seja o raio da esfera 1, e R’ o raio da esfera 2. Logo: Diâmetro da esfera 1 = 3 5 diâmtero da esfera 2 2R = 3 5 2R′ → 𝐑 = 𝟑 𝟓 𝐑′ (i) Área da esfera 1:
- 21. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 20 S1 = 4πR2 → S1 = 4π ( 3 5 R′ ) 2 → S1 = 4π. 9 25 R′2 → 𝐒𝟏 = 𝟑𝟔𝛑. 𝐑′𝟐 𝟐𝟓 (ii) Área de esfera 2: 𝐒𝟐 = 𝟒𝛑𝐑′𝟐 (iii) Razão entre as áreas das esferas: S1 S2 = 36π. R′2 25 4πR′2 → S1 S2 = 36𝜋𝑅′² 100𝜋𝑅′² → S1 S2 = 36 100 : 4 4 → S1 S2 = 9 25 (702) O que ocorre com o volume de uma esfera quando duplicamos a medida de seu raio? E quando triplicamos a medida do seu raio? Solução (i) Volume da esfera de raio R 𝐕 = 𝟒 𝟑 𝛑𝐑𝟑 (ii) Volume da esfera de raio 2R V′ = 4 3 π(2R)3 → V′ = 4 3 π. 8R3 → V′ = 8 ( 4 3 πR3 ) → 𝐕′ = 𝟖. 𝐕 Resposta: O volume inicial aumenta 8 vezes. (iii) Triplicando o raio inicial R, temos: 3R: V′′ = 4 3 π(3R)³→ V'' = 4 3 π. 27R3 → V′′ = 27 ( 4 3 πR3 ) → 𝐕′′ = 𝟐𝟕. 𝐕 Resposta: O volume inicial aumenta 27 vezes. (703) O que ocorre com o volume de uma esfera quando o raio aumenta 100%? E quando aumenta 300%? E quando diminui 50%? Solução (a) (i) Vamos supor que o raio original seja R, e o volume inicial seja V. Logo: 𝐕 = 𝟒 𝟑 𝛑𝐑𝟑 (ii) Aumentando em 100% R, temos R final = 𝐑 + 𝟏𝟎𝟎%𝐑 → 𝐑 + 𝐑 → 𝟐𝐑 (iii) Volume final V’: V′ = 4 3 π(2R)3 → V′ = 4 3 π. 8R3 → V′ = 8. ( 4 3 πR3 ) → V′ = 8. V (iv) Para descobrirmos o percentual de aumento, podemos usar uma regra de três: V … … … … … … … 100% 8V … … … … … … … . . x.
- 22. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 21 𝑥 = 8𝑉. 100 𝑉 → 𝑥 = 800% Logo, o percentual de aumento no volume foi de: 800% - 100% = 700% (b) Se o raio inicial da esfera aumentar 300%, temos: Aumentando em 300% R, temos R final = 𝐑 + 𝟑𝟎𝟎%𝐑 → 𝐑 + 𝟑𝐑 → 𝟒𝐑 Volume final V’: V′ = 4 3 π(4R)3 → V′ = 4 3 π. 64R3 → V′ = 64. ( 4 3 πR3 ) → V′ = 64. V Para descobrirmos o percentual de aumento, podemos usar, novamente, uma regra de três: V … … … … … … … 100% 64V … … … … … … … . . x. 𝑥 = 64𝑉. 100 𝑉 → 𝑥 = 6400% Logo, o percentual de aumento no volume foi de: 6400% - 100% = 6300% (c) Se o Raio inicial for R, temos: 𝐕 = 𝟒 𝟑 𝛑𝐑𝟑 Se o raio diminuir 50%, temos: R − 50 100 R → 50 100 R → 𝐑 𝟐 Volume final: V′ = 4 3 π ( R 2 ) 3 → V′ = 4 3 π. 1 8 R3 → V′ = 1 8 ( 4 3 πR3 ) → V′ = 1 8 V Em porcentagem, temos: V … … … … … … … … … .100% 1 8 𝑉 … … … … … … … … . . . 𝑥 𝑥 = 1 8 𝑉. 100 𝑉 → 𝑥 = 100 8 Logo, o percentual diminuído foi de: 100 − 100 8 = 800 − 100 8 → 700 8 → 87,5%
- 23. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 22 Logo: 100% - 87,5% = 12,5% Resposta: Se o raio da esfera for diminuído em 50%, seu volume é reduzido em 12,5%. (704) O que ocorre com a superfície de uma esfera quando o raio aumenta 200%? E quando aumenta 150%? E quando diminui 25%? Solução (a) Se o raio inicial for R, aumentando 200% resulta em: R + 2R = 3R. Logo: S = 4πR² S′ = 4π(3R)2 → S′ = 4π. 9R2 → S′ = 9(4πR2) → S′ = 9. S S..........................100% 9S...........................x x = 100.9S S → 𝐱 = 𝟗𝟎𝟎% Logo, se o raio da esfera aumenta 200%, sua área inicial aumenta: 900%. (b) Se o raio inicial for R, aumentando 150% resulta em: R + 1,5R = 2,5R. Logo: S = 4πR² S′ = 4π(2,5R)2 → S′ = 4π. 6,25R2 → S′ = 6,25(4πR2) → 𝐒′ = 𝟔, 𝟐𝟓. 𝐒 S..........................100% 6,25S...........................x x = 100.6,25S S → 𝐱 = 𝟔𝟐𝟓% Resposta: Se o raio da esfera aumentar 150%, sua área aumentará 625%. (705) O raio de uma esfera mede 16 cm. De um ponto P situado a 41 cm do centro da esfera traçam-se tangentes à esfera. Determine o comprimento dos segmentos com extremidades em P e nos pontos de tangência com a esfera, bem como a distância do centro da esfera ao plano do círculo de contato e o raio desse círculo. Solução
- 24. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 23 Sejam x, y e z, respectivamente, o comprimento do segmento PT, a distância OQ do centro da esfera ao plano do círculo e o raio do círculo de tangência. (706) Supondo a Terra esférica e o metro a décima milionésima parte do quarto do meridiano, determine a superfície da Terra em km². Solução (i) 1 metro = a décima milionésima parte do quarto do meridiano. (a) O meridiano da Terra é o comprimento da sua circunferência = 𝟐𝛑𝐑 (b) A quarta parte do meridiano da terra vale: 𝟐𝛑𝐑 𝟒 (c) A décima milionésima parte do meridiano terrestre vale: ( 2πR 4 ) 10.000.000 = ( 𝟐𝛑𝐑 𝟒 ) 𝟏𝟎𝟕 (ii) De acordo com o enunciado, devemos ter: 1 m = ( 2πR 4 ) 107 → ( 2πR 4 ) = 107 → πR 2 = 107 → πR = 2. 107 → 𝐑 = 𝟐. 𝟏𝟎𝟕 𝛑 𝐦 (iii) A superfície da Terra é dada por: STerra = 4πR2 → STerra = 4π ( 2. 107 π ) 2 → STerra = 4π ( 4. 1014 π2 ) → 𝐒𝐓𝐞𝐫𝐫𝐚 = 𝟏𝟔. 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝛑 𝐦²
- 25. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 24 (iv) Como a questão pede a resposta em km², devemos dividir o valor encontrado por: 1.000.000 = 𝟏𝟎𝟔 (Observe) km² hm² dam² m² 𝟏𝟎𝟖 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟏𝟒 STerra = 𝟏𝟔. 𝟏𝟎𝟏𝟒 𝛑. 𝟏𝟎𝟔 → 𝐒𝐓𝐞𝐫𝐫𝐚 = 𝟏𝟔. 𝟏𝟎𝟖 𝛑 𝐤𝐦² (707) Determine a superfície de uma esfera de 5 cm de raio. Em quanto aumenta a superfície, ao aumentar o raio em 1 cm? Solução S = 4πR2 → S = 4π. 52 → S = 4π. 25 → 𝐒 = 𝟏𝟎𝟎𝛑 𝐜𝐦² Se o raio da esfera aumentar em 1 cm, temos: R’ = 5 + 1 ----> R’ = 6 cm. Logo: S = 4πR′2 → S = 4π. 62 → S = 4π. 36 → 𝐒 = 𝟏𝟒𝟒𝛑 𝐜𝐦² Aumento na superfície: 144π − 100π = 𝟒𝟒𝛑 𝐜𝐦² Resposta: Se o raio da esfera aumentar de 5 cm para 6 cm, sua superfície aumentará em: 𝟒𝟒𝛑 𝐜𝐦². (708) A área de uma seção plana de uma esfera é 144𝛑 cm². Calcule a superfície da esfera, sabendo que a distância ao centro da esfera é 5 cm. Solução A secção plana de uma esfera equivale à área de um círculo. Logo: S = πr2 → 144π = πr2 → r2 = 144 → r = √144 → 𝐫 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦. Temos: r = 12 cm d = 5 cm (i) No triângulo retângulo destacado na figura ao lado, temos: R2 = d2 + r2 → R2 = 52 + (12)2 → R2 = 25 + 144 → R2 = 169 → R = √169 → 𝐑 = 𝟏𝟑 𝐜𝐦 (ii) Superfície da esfera: S = 4πR2 → S = 4π(13)2 → S = 4π. 169 → 𝐒 = 𝟔𝟕𝟔𝛑 𝐜𝐦²
- 26. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 25 (709) Uma esfera tem 𝟐𝟓𝝅 cm² de superfície. Em quanto devemos aumentar o raio, para que a área passe a ser 𝟔𝟒𝝅 cm²? Solução S = 25π → 4πR2 = 25π → 4R2 = 25 → R2 = 25 4 → R = √ 25 4 → R = 5 2 → 𝐑 = 𝟐, 𝟓 𝐜𝐦 S = 4πR2 → 64π = 4πR2 → 4R2 = 64 → R2 = 64 4 → R2 = 16 → 𝐑 = 𝟒 𝐜𝐦 Logo: 4 cm – 2,5 cm = 1,5 cm Resposta: Devemos aumentar o raio em 1,5 cm. 710. Determine a área de um círculo obtido da seção plana de uma esfera, sendo o raio da esfera R e 15 cm a distância desse plano ao centro da esfera. Solução Temos: Raio da esfera = R d = 15 cm r = raio do círculo da seção No triângulo retângulo O’AO, pelo Teorema de Pitágoras, temos: r2 + d2 = R2 → r2 + (15) = R2 → r2 + 225 = R2 → 𝑟2 = 𝑅2 − 225 Área da secção plana: S = πr2 → 𝐒 = 𝛑(𝐑𝟐 − 𝟐𝟐𝟓)𝐜𝐦𝟐 com R > 15. (711) Determine a superfície de uma esfera em função do comprimento da circunferência c do círculo máximo da esfera. Solução O comprimento da circunferência é dado por: c = 2πr → r = c 2π Cálculo da superfície da esfera: S = 4πr2 → S = 4π ( c 2π ) 2 → S = 4π. c2 4π2 → 𝐒 = 𝐜𝟐 𝛑
- 27. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 26 (712) Determine a superfície de uma esfera em função da área A do círculo máximo da esfera. Solução A = πr² → r² = A π 𝑆 = 4𝜋𝑟2 → 𝑆 = 4𝜋. ( A π ) → 𝐒 = 𝟒𝐀 (713) O círculo máximo de uma esfera tem um triângulo equilátero inscrito. Determine a superfície da esfera em função da medida a do lado desse triângulo. Solução Vamos, primeiramente, relembrar algumas relações envolvendo o triângulo equilátero inscrito num círculo: Considere um triângulo equilátero de lado l, inscrito numa circunferência de raio r, como mostra a figura. Onde a é o apótema do triângulo equilátero.O centro C da circunferência é o ortocentro e baricentro do triângulo equilátero. Logo, o comprimento do apótema equivale a 1/3 do valor da altura do triângulo. Ou seja, a = 1 3 h → 𝐚 = 𝐡 𝟑 Dessa forma, podemos constatar, também, que o raio r equivale a 2/3 do valor da altura do triângulo. Assim, podemos escrever: 𝐫 = 𝟐 𝟑 𝐡 Considerando “a” como o lado do triângulo equilátero, a altura desse triângulo é dada por: h = a√3 2 Logo: r = 2 3 h → r = 2 3 . a√3 2 → 𝐫 = 𝐚√𝟑 𝟑 Como esse triângulo está inscrito na circunferência principal (círculo máximo), r é o raio da esfera. Logo: S = 4πr2 → S = 4π ( 𝐚√𝟑 𝟑 ) 𝟐 → 𝐒 = 4π. a2 . 3 9 → 𝐒 = 𝟒𝛑𝐚² 𝟑 (714) A área obtida da seção plana em uma esfera é A. Sendo r o raio da esfera, determine a distância do plano ao centro da esfera. Solução
- 28. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 27 Área da secção pçana: A = πr′2 → 𝐫′𝟐 = 𝐀 𝛑 No triângulo retângulo destacado ao lado, temos: r2 = r′2 + d2(Teorema de Pitágoras) → d2 = r2 − r′2 → d2 = r2 − ( A π ) → d² = πr2 − A π → 𝐝 = √ 𝛑𝐫𝟐 − 𝐀 𝛑 (715) Determine o volume de uma esfera em função do comprimento da circunferência C do círculo máximo da esfera. Solução O comprimento da circunferência é dado por: C = 2πr → r = C 2π Volume da esfera: V = 4 3 πr3 → V = 4 3 π ( C 2π ) 3 → V = 4 3 π. C3 8π3 → 𝐕 = 𝐂³ 𝟔𝛑² (716) Uma esfera tem 1 m de raio. Qual será o raio de uma esfera cujo volume é 1/5 do volume da primeira esfera? Solução (i) Volume da esfera 1: V = 4 3 πr3 → V = 4 3 π. 13 → 𝐕 = 𝟒 𝟑 𝛑 (ii) Volume da esfera 2: Seja V’e r’o volume e o raio da esfera 2, respectivamente. Temos V′ = V 5 → 4 3 𝜋𝑟′3 = 4 3 π 5 → 4 3 𝜋𝑟′3 = 4𝜋 15 → 𝜋′3 = 1 5 → 𝒓′ = √ 𝟏 𝟓 𝟑 𝒎 (717) Determine a razão entre as áreas de um cubo e uma esfera, sabendo que seus volumes são iguais. Solução vb
- 29. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 28 (718) Um cubo de chumbo de aresta “a” foi transformado numa esfera. Determine a superfície da esfera em função de “a”. (Resposta: 𝑺 = 𝟐𝒂2 . √ 𝟐 𝟗𝝅 𝟑 (719) Calcule em cm³ o volume de uma esfera, sabendo que o diâmetro perpendicular a um círculo menor de 10 cm de raio é dividido por esse círculo em dois segmentos de razão 2/5. Solução (720) Uma esfera, um cilindro e um cone têm o mesmo volume e o mesmo raio. Calcule a razão entre a altura do cilindro e a do cone. (721) Determine a diferença entre a área da maior e da menor das seções obtidas por um ponto P, a uma distância d do centro da esfera. (722) A superfície de uma esfera mede 144𝝅 cm² e é igual à área total de um cilindro que tem o mesmo raio da esfera. Determine a relação entre os volumes de ambos os sólidos. (723) Uma esfera é equivalente a um cilindro reto cuja área total é igual a 42𝝅 cm². Sendo 3 cm o raio do cilindro, determine: (a) o raio da esfera; (b) a relação entre a área da esfera e a área total de um cone reto que tenha a mesma base e a mesma altura do cilindro dado. (Respostas: (720) 3
- 30. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 29 (721) 𝝅𝒅² (722) 4/3 (723) (a) 3 cm; (b) 3/2 (724) Fabricou-se uma caldeira de tal maneira que as bases de dois hemisférios coincidissem com as bases de um cilindro. Sendo o diâmetro do cilindro os 3/5 de sua altura e a superfície da caldeira equivalente a uma esfera de raio R, determine a relação entre o volume da caldeira e o volume da esfera de raio R. Solução ----------------------------------------------------------------- EXERCÍCIOS DIVERSOS 1. Duas esferas de chumbo, uma de 3 cm e outra de 6 cm de raio, fundem-se e formam outra esfera. Calcule o raio dessa nova esfera. Solução (a) O volume da nova esfera será igual à soma dos volumes das duas esferas dadas. (b) Volume da esfera de raio 3 cm vale: V1 = 4 3 πr3 → V1 = 4 3 π(3)3 → V1 = 4 3 π. 27 → 𝐕𝟏 = 𝟑𝟔𝝅 (c) Volume da esfera de raio 6 cm vale: V2 = 4 3 πr3 → V2 = 4 3 π(6)3 → V2 = 4 3 π. 216 → V2 = 4π. 72 → 𝐕𝟐 = 𝟐𝟖𝟖𝛑𝐫³ (d) Vamos supor que o raio da nova esfera seja “R”, assim, seu volume será: 𝐕𝟑 = 𝟒 𝟑 𝛑𝐑𝟑
- 31. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 30 Interessa-nos saber o valor de “R”, logo: (e) Teremos, então: V3 = V1 + V2 → 4 3 πR3 = 36π + 288π → 4 3 πR3 = 324π → 4 3 R3 = 324 → R3 = 3.81 → R3 = 243 → R = √243 3 → R = √33. 3 3 → 𝐑 = 𝟑√𝟑 𝟑 𝐜𝐦 2. (UFPR) Duas esferas metálicas maciças, uma com raio igual a 4 cm e a outra com raio de 8 cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro circular reto com altura igual a 12 cm. Determine, em cm, o raio do cilindro. Solução Na questão vamos determinar o volume das esferas que será o volume do cilindro: (i) Esfera 1 V1 = 4πR³ 3 V1= 4π4³ 3 V1 = 4π64 3 𝐕𝟏 = 𝟐𝟓𝟔𝝅 𝟑 (ii) Esfera 2 V2 = 4π8³ 3 V2 = 4π512 3 𝐕𝟐 = 𝟐𝟎𝟒𝟖𝝅 𝟑 (iii) Somando os dois volumes: V3 = V1 + V2 V3 = 256π 3 + 2048𝜋 3 V3 = 2304π 3 𝐕𝟑 = 𝟕𝟔𝟖𝛑 Como foram transformadas em um cilindro, temos o volume e a altura, encontramos o raio: Vcilindro = 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠 → 768π = πR2 . h → 768 = 12R2 → R2 = 768 12 → R2 = 64 → 𝐑 = 𝟖 𝐜𝐦
- 32. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 31 3. O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10 cm, então quanto mede o raio da esfera A? Solução: 𝑉𝐴 = 1 8 𝐵 ; 𝑅𝐵 = 10 𝑐𝑚; 𝑅𝐴 =? 4 3 π(RA)³ = 1 8 [ 4 3 π(RB)3 ] → 4 3 (RA)³ = 1 6 π(10)³ → 4(RA)³ = π 2 . 1000 → 4(RA)³ = 500 → (RA)³ = 125 → RA = √125 3 → 𝐑𝐀 = 𝟓 𝐜𝐦 Dois cubos de metal, de aresta π cm e 2π cm, fundem-se para formar uma esfera. Qual o comprimento do raio dessa esfera? Solução: O volume dessa nova esfera será igual a soma dos volumes dos cubos: Cubo 1 = Volume 1 = π³ Cubo 2 = Volume 2 = (2π)³ = 8π³ V1 + V2 = π³ + 8π³ => 9π O volume de uma esfera é dado por: 4πR³/3 , aonde R = raio. 9π³ = 4πR³/3 27π³/4π = R³ => 𝑹 = √ 𝟐𝟕𝝅𝟐 𝟒 𝟑 4. (Unitau) Aumentando em 10% o raio de uma esfera a sua superfície aumentará: (a) 21 % (b) 11 % (c) 31 % d) 24 % (e) 30 %. Solução (i) ) A superfície da esfera é dada por 𝑺𝟏 =4πr² (ii) Se aumentamos em 10% o raio, teremos: 𝑆2 = 4𝜋. ( 10 100 . 𝑟 + 𝑟) 2 → 𝑆2 = 4𝜋 ( 10𝑟 + 100𝑟 100 ) 2 → 𝑆2 = 4𝜋 ( 110𝑟 100 ) 2 → 𝑆2 = 4𝜋(1,1𝑟)2 → 𝑆2 = 4𝜋. 1,21𝑟2 (iii) O aumento foi de: 4𝜋. 1,21𝑟2 − 4πr² → 4𝜋𝑟²(1,21 -1) = 0,21.100 = 21% Resposta (a)
- 33. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 32 5. (UEG) Suponha que haja laranjas no formato de uma esfera com 6 cm de diâmetro e que a quantidade de suco que se obtém ao espremer cada laranja é 2/3 de seu volume, sendo o volume dado em litros. Nessas condições, se quiser obter 1 litro de suco de laranja, deve-se espremer no mínimo (use π = 3,14), (a) 13 laranjas. (b) 14 laranjas (c) 15 laranjas. (d) 16 laranjas. A primeira frase do enunciado deste exercício nos mostra que a quantidade de suco gerada ao espremer cada laranja tem relação com o volume da laranja, que é uma esfera. Assim, sabendo que o diâmetro da esfera é igual a 6 cm, temos implicitamente o conhecimento do raio da esfera, que é 3cm (r = d/2). Essa informação nos permite calcular o volume da laranja em questão: Conhecendo o volume de cada laranja, podemos calcular a quantidade de suco gerada: Agora, observem um detalhe bem importante! Nós encontramos a quantidade de suco gerada por cada laranja em cm3 . Contudo, o enunciado deixa claro que o volume é dado em litros. Portanto, antes de seguirmos, é necessário pensar na seguinte conversão: 1 litro = 1000 cm3 Podemos usar a seguinte regra de três simples: 1 laranja.............................24𝜋 𝑐𝑚3 Depois de realizar a conversão, podemos encontrar o número de laranjas necessário para gerar um litro de suco dividindo a quantidade de suco que deve ser obtida (1 litro ou 1000 cm3 ) pela quantidade de suco gerada por cada laranja (24π cm3 ). Aí, dois caminhos são válidos: obter o volume gerado por cada laranja em litros, ou utilizar como quantidade total o valor 1000 cm3 . A fim de fugir dos números decimais e não trabalhar com vírgulas, utilizaremos a segunda opção. 1000 ÷ 24π = 13,26… laranjas ou 14 laranjas. 6. (ENEM) Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, como indica a figura.
- 34. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 33 Sabendo que o volume da bola é 2304π cm3 então a área da superfície de cada faixa é de: a. 20π cm2 b. 24π cm2 c. 28π cm2 d. 27π cm2 e. 25π cm2 Solução O volume da bola, que é 2304π cm3 . Essa informação nos permite obter o raio da esfera, dessa forma: Sabendo que o raio da esfera mede 12 cm, podemos encontrar a área total da superfície da esfera, através da fórmula: A = 4·π·R2 A = 4·π·122 A = 576π cm2 Agora que a área total da superfície da bola esférica é conhecida, devemos nos atentar ao detalhe que ela é composta por 24 faixas iguais e que o exercício pede justamente a área de cada faixa. Como as 24 faixas são iguais, dividindo a área da superfície total por 24, temos a área de cada faixa. Afaixa = 576π ÷ 24 = 24π cm2 Resposta (b)
- 35. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 34 7. Calcule o volume de uma cunha esférica de raio 3 cm cujo ângulo diedro mede 45°. Solução (i) Devemos ter o seguinte: Ângulo Volume (em graus) (em cm³) 360°.................................... 4πR³ 3 α......................................Vcunha Vcunha = 4πR3 3 . α 360° → Vcunha = 4πR3 . α 3.360° → Vcunha = πR3 . α 3.90° → 𝐕𝐜𝐮𝐧𝐡𝐚 = 𝛑𝐑𝟑 . 𝛂 𝟐𝟕𝟎° Logo: Vcunha = π33 . 45° 270° → Vcunha = π. 27.45 270 → Vcunha = 45π 10 ÷ 5 5 → 𝐕𝐜𝐮𝐧𝐡𝐚 = 𝟗𝛑 𝟐 𝐜𝐦³ 8. Uma esfera está inscrita num cubo cuja aresta mede 20 cm. Calcule a área da superfície esférica. Solução Note que o raio da esfera inscrita é a metade da aresta do cubo. Logo r = 10 cm. A área da esfera é calculada com a fórmula:𝐴 = 4𝜋𝑟². Então a área dessa esfera é: 9. Qual é a área total e o volume do recipiente? Solução 3 m 3 m
- 36. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 35 Considerando o recipiente aberto, não calculamos a área da “tampa”. Basta calcularmos a metade da área e do volume da esfera. 10. Uma fábrica de bombons deseja produzir 20 000 unidades no formato de uma esfera de raio 1 cm. Determine o volume de cada bombom e a quantidade de chocolate necessária para produzir esse número de bombons. Solução Volume de cada bombom: A quantidade de chocolate necessária para a produção das 20.000 unidades é de: 4,18 x 20.000 = 83.600 cm³ Sabemos que 1 cm³ = 1 ml, então 83.600 cm³ corresponde a 83.600 ml de chocolate ou 83,6 quilos. Portanto, a fábrica irá gastar 83,6 quilos de chocolate, e o volume de cada bombom será de 4,18 cm³. 11. A esfera da figura está inscrita em um cilindro. Se o volume da esfera é 𝟑𝟐 𝟑 𝝅 𝒄𝒎³. Qual é o volume do cilindro?
- 37. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 36 12. Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20 cm e raio de base r = 2 cm com determinado número de esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. Quanto vale o volume interior ao cilindro e exterior às esferas? Solução
- 38. Esfera Celso do Rozário Brasil Celso do Rozário Brasil pág. 37 13. Seja 36π e o volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Então, a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é: Solução