Os pontos (0, 8), (3 1) e (1,y) do plano são colineares o valor de y é igual a

Apresentação em tema: "Ciências da Natureza - Matemática"— Transcrição da apresentação:

1 Ciências da Natureza - Matemática
Ensino Médio, 3ª Série Condição de alinhamento de três pontos

2 c B E A D GEOMETRIA ANALÍTICA, Série 3ª
Condição de alinhamento de três pontos. Para que três pontos A(xa, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc), distintos, estejam alinhados, ou seja, pertençam à mesma reta, devemos ter: y c yc (Observamos que os triângulos retângulos ABD e BEC são semelhantes). B E yb A D ya xa xb xc x

3 Desenvolvendo essa expressão, obtemos:
(xc – xb) (yb – ya) – (xb – xa) (yc – yb) = 0. Daí: xcyb – xcya – xbyb + xbya – xbyc + xbyb + xayc – xayb = 0, ou, ainda: xayb + xcya + xbyc – xcyb – xayc – xbya = 0 Essa última expressão pode ser escrita sob a forma do determinante:

4 Desse modo, verificamos que, se três pontos distintos A(xa, ya), B(xb, yb) e
C(xc, yc) são colineares, então: D = Vejamos agora alguns exemplos de aplicação dessa definição:

5 EX 1: Verifique se os pontos A(-3, -11), B(0, -2) e C(5, 13) são colineares.
SOLUÇÃO: Primeiramente construímos o determinante D = Calculando o valor do determinante, temos: D = 6 – D = 0 Assim, concluímos que os pontos dados são colineares.

6 EX 2: Verifique se os pontos A(0, 2), B(- 3, 1) e C(4,5) estão alinhados.
SOLUÇÃO: Construindo o determinante D = Calculando o valor do determinante, temos: D = 8 – 15 – 4 + 6 D = 14 – 19 D = - 5 Como D , concluímos que A, B e C não são colineares.

7 EX 3: Determinar o valor de a, para que os pontos A(2, 1), B(a+1, 2) e
C(-3, -1) sejam vértices de um triângulo. SOLUÇÃO: Para que A, B e C sejam vértices de um triângulo, eles não podem ser colineares. Portanto: D =

8 Desenvolvendo o determinante, teremos:
4 – 3 – (a + 1) + 6 – (a + 1) + 2 = 4 – 3 – a – – a – – a – a – – – 2 – 2a – 7 a 7/2

9 EX 4: Determine o valor de m de modo que os pontos A(-2,7), B(m, -11) e
C(1, -2) pertençam a uma mesma reta. SOLUÇÃO: Devemos, neste caso, fazer uso direto da condição de alinhamento, ou seja: D = Resolvendo o determinante, temos: – 2m + 11 – 4 – 7m = 0 36 – 9m = 0 9m = 36 m = 4 Portanto, para que os pontos A, B e C dados acima pertençam a uma mesma reta, devemos ter m = 4.

10 EX 5: Sabendo que P(a, b), A(-1, -2) e B(2, 1) são colineares simultaneamente com P(a, b), C(-2, 1) e D(1, -4), calcular a e b. SOLUÇÃO: Para que os pontos P, A e B estejam alinhados, devemos ter: Para que os pontos P, C e D estejam alinhados, devemos ter:

11 Resolvendo o sistema formado pelas equações encontradas em D1 e D2,
temos:

12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Verifique, em cada caso, se os três pontos estão alinhados ou não: (5, 0), (5/2, 1) e (0, 2). (-4, 0), (-1, -2) e (0, 6). (2, 5), (-1, -1) e (-5, -9). (3, 9), (-1, -7) e (1, 4).

13 2. (PUC-RJ) Os pontos (0, 8), (3, 1) e (1, y) do plano são colineares
2. (PUC-RJ) Os pontos (0, 8), (3, 1) e (1, y) do plano são colineares. O valor de y é igual a: 5. 6. 17/3. 11/2. 5,3.

14 3. Seja P o ponto de interseção da reta r com o eixo das ordenadas
3. Seja P o ponto de interseção da reta r com o eixo das ordenadas. Sendo r a reta determinada pelos pontos A(-1, -2) e B(4, 2), calcule as coordenadas do ponto P.

15 4. Uma reta r é determinada pelos pontos A(2, 0) e
B(0, 4), e uma reta s é determinada pelos pontos C( -4, 0) e D(0, 2). Seja P(a, b) o ponto de interseção das retas r e s. Determine as coordenadas do ponto P.

16 5. Determine para quais valores de t, os pontos
A(1/2, t), B(2/3, 0) e C(-1, 6), são vértices de um triângulo.

17 6. A temperatura de uma região variou linearmente de
12 ºC a – 3ºC das 5h às 11h de determinado dia, ou seja, às 5h a temperatura era 12 ºC e às 11h a temperatura registrada era de – 3 ºC. Qual era a temperatura às 6h desse mesmo dia?

18 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

19 1. a) b)

20 c) d)

21 2. Devemos ter D = 0. Assim:

22 3. Como P está sobre o eixo das ordenadas, então
será da forma P(0, y). Pelo enunciado, temos que A, B e P são colineares. Desse modo:

23 4. Pelo enunciado, concluímos que os pontos A, B
e P são colineares, e os pontos C, D e P também são. Assim:

24 Resolvendo o sistema formado pelas equações (I)
e (II), temos:

25 5. Como A, B e C são vértices de um triângulo,
então devemos ter D diferente de 0.

26 6. Indicando a temperatura registrada às 6h por t e sabendo que a temperatura variou linearmente, então concluímos que os pontos (5, 12), (6, t) e (11, -3) devem ser colineares. Desse modo: Assim, às 6h a temperatura era de 9,5 ºC