Para que valor de uma equação tem duas raízes reais é iguais?

(UCS-RS)

Se uma das raízes da equação 2x² – 3px + 40 = 0 é 8, determine o valor de p.

Determine o valor de m na equação x² – (m + 5)x + 36 = 0, de modo que as raízes sejam reais e diferentes. 

Dada a equação 9x² + 12x + 2m = 0, determine os possíveis valores de m para que a equação não possua raízes reais. 

A equação do 2º grau x² – kx + 9 = 0, assume as seguintes condições de existência dependendo do valor da variável k:

Duas raízes reais e distintas: ∆ > 0.
Duas raízes reais e iguais: ∆ = 0.
Nenhuma raiz real: ∆ < 0.

Para que a equação tenha raízes reais e iguais, qual deve ser o valor da variável k?

Determine o valor de p na equação px² – 3x – 2 = 0, com p ≠ 0 de modo que a soma das raízes seja igual a 12.

Calcule o valor de k na equação x² – 10x – m + 8 = 0, com m ≠ 0,  de modo que o produto das raízes seja igual a – 2. 

Determine o valor de p na equação 6x² – 11x + (p – 1) = 0, para que o produto das raízes seja igual a 2/3. 

Calcule o valor de k na equação x² – kx + 36 = 0, de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra. 

2x² – 3px + 40 = 0

Se 8 é uma das raízes da equação, então temos que x = 8.

2 * 8² – 3 * p * 8 + 40 = 0

2 * 64 – 24 * p + 40 = 0
128 – 24p + 40 = 0
–24p = –128 –40
–24p = –168  * (–1)
24p = 168
p = 7

O valor de p para que a equação 2x² – 3px + 40 = 0 tenha uma das raízes igual a 8 é 7.

S = {p Є R / p = 7}
 

O valor de m para que a equação x² – (m + 5)x + 36 = 0 tenha raízes reais e diferentes é m = 7 ou m = –17.

S = {p Є R / m = 7 ou m = –17}
 

∆ < 0
b² – 4ac < 0
12² – 4 * 9 * 2m < 0
144 – 72m < 0
144 < 72m
m > 2

Para que a equação 9x² + 12x + 2m = 0, não possua raízes reais o valor de m será maior que 2.

S = {p Є R / m > 2}

∆ = 0
b² ¬– 4ac = 0
(¬–k)² – 4 * 1 * 9 = 0
k² – 36 = 0
k² = 36
k = 6 ou k = –6

O valor de k na equação x² – kx + 9 = 0 deve assumir os seguintes valores:
k = 6 ou k = –6.

S = {k Є R / k = 6 e k = –6}

S = {p Є R / p = 3/20}

S = {m Є R / m = 10}

S = {p Є R / p = 5} 

S = {k Є R / k = 3 ou k = –3}

Toda equação do segundo grau pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais chamados de coeficientes e x é um número real desconhecido chamado de incógnita. Para resolver esse tipo de equação, isto é, para encontrar os valores de x, um dos métodos mais usados é a fórmula de Bháskara. A primeira etapa do cálculo dos valores de x, por meio da fórmula de Bháskara, é encontrar o discriminante da equação.

O discriminante é a parte da fórmula de Bháskara que está sob a raiz quadrada e é apresentado pela seguinte fórmula.

Δ = b2 – 4ac

Nessa fórmula, a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau. A letra grega Δ (delta) é usada para representar o discriminante de uma equação do segundo grau.

O segundo passo para a resolução de uma equação do segundo grau é utilizar a fórmula de Bháskara:

x = – b ± √Δ
           2a

Existem outras aplicações para os discriminantes dentro das equações e funções do segundo grau que serão discutidos a seguir.

Quantidade de soluções reais

Para saber se uma equação do segundo grau possui resultados reais distintos, apenas uma solução real ou nenhuma, não é necessário resolvê-la até o ponto de encontrar suas soluções. É possível descobrir a quantidade de raízes reais de uma equação do segundo grau somente observando seu discriminante.

Para isso, observe o seguinte: na fórmula de Bháskara, há um sinal “±” antes da raiz do discriminante. Isso significa que essa raiz terá um resultado positivo e um negativo. Entretanto, não é possível encontrar raízes de números negativos. Assim, podemos fazer a seguinte análise:

1 – Se o discriminante for negativo, não é possível calcular sua raiz e, portanto, não é possível resolver a equação do segundo grau dentro do conjunto dos números rais. Em outras palavras:

Se Δ < 0, então a equação não possui raízes reais.

2 – Se o discriminante for igual a zero, com a parcela ± √Δ = 0, resta para solução da equação o resultado único – b/2a. Em outras palavras:

Se Δ = 0, então a equação possui uma raiz real.

3 – Se o discriminante é maior que zero, é o caso em que a equação do segundo grau possui duas raízes reais e distintas. Em outras palavras:

Se Δ > 0, então a equação possui duas raízes reais.

Interpretando funções do segundo grau

Para as funções do segundo grau, valem as mesmas afirmações anteriores, que são elas:

Se Δ < 0, então a equação não possui raízes reais.

Se Δ = 0, então a equação possui uma raiz real.

Se Δ > 0, então a equação possui duas raízes reais.

Entretanto, vale lembrar que as raízes de uma função do segundo grau são os pontos de encontro entre o gráfico dessa função e o eixo x do plano cartesiano. Aliando o discriminante à concavidade da parábola, podemos determinar os intervalos nos quais a função é crescente, decrescente ou nula. Isso é chamado de estudo dos sinais da função do segundo grau.

1 – A função é nula nas raízes.

2 – Se a > 0 e Δ > 0, temos uma função com dois pontos de encontro com o eixo x, que tem concavidade voltada para cima. Assim, o intervalo entre as raízes é negativo, e o intervalo fora delas é positivo.

3 – Se a < 0 e Δ > 0, temos uma função com dois pontos de encontro com o eixo x (duas raízes) e concavidade voltada para baixo. Assim, o intervalo entre as raízes é positivo e fora delas é negativo.

3 – Se a > 0 e Δ = 0, então a função possui apenas um ponto de encontro com o eixo x e concavidade voltada para cima, portanto é toda positiva, exceto na raiz, onde é neutra.

4 – Se a < 0 e Δ = 0, então a função é toda negativa, pois possui apenas um ponto de encontro com o eixo x e concavidade voltada para baixo.

5 – Se a > 0 e Δ < 0, então a função é toda positiva, pois não possui pontos de encontro com o eixo x e sua concavidade é voltada para cima.

6 – Se a < 0 e Δ < 0, a função é toda negativa, pois não possui pontos de encontro com o eixo x e sua concavidade é voltada para baixo.

Quando a equação tem duas raízes reais é iguais?

Para que a equação tenha duas raízes reais distintas?

Qual a condição para que uma função quadrática tenha duas raízes reais é iguais?

Quantas raízes reais tem a equação?