Ensino Fundamental, M�dio e Superior no BrasilGeometria Show
Pol�gonos e tri�ngulos Maria Luiza V.Scalzo Material desta p�gina
1 Segmentos Lineares e poligonais abertasNas figuras que seguem, apresentamos um segmento, dois segmentos consecutivos e tr�s segmentos consecutivos. Segmentos consecutivos s�o aqueles em que a extremidade final do primeiro segmento � a extremidade inicial do segundo e a extremidade final do segundo � a extremidadade inicial do terceiro e assim por diante. Uma linha poligonal aberta � formada por segmentos de reta consecutivos e n�o colineares, ou seja, segmentos de reta que n�o est�o alinhados na mesma reta e que n�o se fecham. 2 Pol�gono (Poligonal fechada) e Regi�o poligonalPol�gono � uma figura geom�trica cuja palavra prov�m do grego que quer dizer: poli(muitos) + gonos(�ngulos). Um pol�gono � uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, n�o colineares que se fecham. A regi�o interna a um pol�gono � a regi�o plana delimitada por um pol�gono. Muitas vezes encontramos na literatura sobre Geometria a palavra pol�gono, identificada como a regi�o localizada dentro da linha poligonal fechada mas deve ficar claro que pol�gono representa apenas a linha. Quando n�o h� perigo na informa��o sobre o que se pretende obter, usa-se a palavra em um sentido ou em outro. Considerando a figura anexada, observamos que:
3 Regi�es poligonais quanto � convexidadeRegi�o poligonal convexa: � uma regi�o poligonal que n�o apresenta reentr�ncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades est�o nesta regi�o estar� totalmente contido na regi�o poligonal. Regi�o poligonal n�o convexa (c�ncava): � uma regi�o poligonal que apresenta reentr�ncias no corpo da mesma, o que ela possui segmentos de reta cujas extremidades est�o na regi�o poligonal mas que n�o est�o totalmente contidos na regi�o poligonal. 4 Nomes dos pol�gonosDependendo do n�mero de lados, um pol�gono recebe os seguintes nomes de acordo com a tabela: \[\begin{array}{cl|cl} \text{lados} & \text{Pol�gono} & \text{lados} & \text{Pol�gono} \\ \hline 1 & \text{n�o existe} & 11 & \text{undec�gono} \\ 2 & \text{n�o existe} & 12 & \text{dodec�gono} \\ 3 & \text{tri�ngulo } & 13 & \text{tridec�gono} \\ 4 & \text{quadril�tero} & 14 & \text{tetradec�gono} \\ 5 & \text{pent�gono} & 15 & \text{pentadec�gono} \\ 6 & \text{hex�gono} & 16 & \text{hexadec�gono} \\ 7 & \text{hept�gono} & 17 & \text{heptadec�gono} \\ 8 & \text{oct�gono} & 18 & \text{octadec�gono} \\ 9 & \text{ene�gono} & 19 & \text{eneadec�gono} \\ 10 & \text{dec�gono} & 20 & \text{icos�gono} \\ \hline \end{array}\] Pol�gono Regular: � o pol�gono que possui todos os lados congruentes (mesma medida) e todos os �ngulos internos congruentes. No desenho animado ao lado podemos observar os pol�gonos: tri�ngulo, quadrado, pent�gono, hex�gono e hept�gono. 5 Tri�ngulos e a sua classifica��oTri�ngulo � um pol�gono de tr�s lados. � o pol�gono que possui o menor n�mero de lados. Talvez seja o pol�gono mais importante que existe. Todo tri�ngulo possui alguns elementos e os principais s�o: v�rtices, lados, �ngulos, alturas, medianas e bissetrizes. Apresentamos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.
Altura: � um segmento de reta tra�ado a partir de um v�rtice de forma a encontrar o lado oposto ao v�rtice formando um �ngulo reto. BH � uma altura do tri�ngulo. Em um tri�ngulo, podemos tra�ar tr�s alturas, que se encontram em um ponto denominado ortocentro. Mediana: � o segmento que une um v�rtice ao ponto m�dio do lado oposto. BM � uma mediana. Em um tri�ngulo, podemos tra�ar tr�s medianas, que se encontram em um ponto denominado baricentro. Bissetriz: � a semirreta que divide um �ngulo em duas partes iguais. O �ngulo B est� dividido ao meio e neste caso �=�. Em um tri�ngulo, podemos tra�ar tr�s bissetrizes, que se encontram em um ponto denominado incentro. �ngulo Interno: � formado por dois lados do tri�ngulo. Todo tri�ngulo possui tr�s �ngulos internos. �ngulo Externo: � formado por um dos lados do tri�ngulo e pelo prolongamento do lado adjacente (ao lado). Classifica��o dos tri�ngulos quanto ao n�mero de lados: Tipo de tri�ngulo & Medidas dos lados & Figura
Classifica��o dos tri�ngulos quanto �s medidas dos �ngulos
6 Medidas dos �ngulos de um tri�ngulo�ngulos Internos: Para o tri�ngulo ABC, podemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos �ngulos internos desse tri�ngulo. Algumas vezes escrevemos as letras mai�sculas A, B e C para representar os �ngulos. A soma dos �ngulos internos de qualquer tri�ngulo � sempre igual a 180 graus, isto �: \[a+b+c=180 \text{ graus}\] Exemplo: Usando o tri�ngulo abaixo, podemos escrever: \(70+60+x=180\) graus e obter \(x=180-70-60=50\) graus. �ngulos Externos: Como observamos no desenho do tri�ngulo ABC, em anexo, as letras min�sculas representam os �ngulos internos e as respectivas letras mai�sculas os �ngulos externos. Todo �ngulo externo de um tri�ngulo � igual � soma dos dois �ngulos internos n�o adjacentes a esse �ngulo externo. Assim: \[A=b+c, \qquad B=a+c, \qquad C=a+b\] Exemplo: No tri�ngulo da figura seguinte o �ngulo \(x\) � dado por: \(x=50+80=130\) graus. 7 Congru�ncia de Tri�ngulosA ideia de congru�ncia: Duas figuras planas s�o congruentes quando t�m a mesma forma e as mesmas dimens�es, isto �, o mesmo tamanho. Para indicar que dois tri�ngulos ABC e DEF s�o congruentes, usamos a nota��o: \[ABC \cong DEF\] Para os tri�ngulos das figuras abaixo: existe a congru�ncia entre os lados, tal que: \[AB \cong RS, \qquad BC \cong ST, \qquad CA \cong TR\] e a congru�ncia entre os �ngulos: \[A \cong R, \qquad B \cong S, \qquad C \cong T\] Se o tri�ngulo \(ABC\) � congruente ao tri�ngulo \(RST\), escrevemos: \[ABC \cong RST\] Dois tri�ngulos s�o congruentes, se os seus elementos correspondentes s�o ordenadamente congruentes, isto �, os tr�s lados e os tr�s �ngulos de cada tri�ngulo t�m respectivamente as mesmas medidas. Para verificar se um tri�ngulo � congruente a outro, n�o � necess�rio saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer tr�s elementos, entre os quais esteja pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com s�mbolos gr�ficos iguais. 8 Casos de Congru�ncia de Tri�ngulos
9 Raz�o entre segmentos de RetaSegmento de reta � o conjunto de todos os pontos de uma reta localizados entre dois pontos que s�o as extremidades do segmento, sendo um deles o ponto inicial e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por duas letras como \(AB\), onde \(A\) o in�cio e \(B\) o final do segmento. Exemplo: \(AB\) � um segmento de reta. \[A \underline{\qquad\qquad} B\] N�o � poss�vel dividir um segmento de reta por outro, mas � poss�vel realizar a divis�o entre as medidas desses segmentos. Sejam os segmentos \(AB\) e \(CD\), indicados: \[A \underline{\qquad\qquad} B \tag{$m(AB)=3$ cm} \] \[C \underline{\qquad\qquad\qquad} D \tag{$m(CD)=5$ cm} \] A raz�o entre os segmentos AB e CD, denotada por \(AB/CD\) ou por \(\frac{AB}{CD}\), � definida como a raz�o entre as medidas desse segmentos , isto �: \[\frac{AB}{CD} = \frac35\] 10 Segmentos ProporcionaisPropor��o � a igualdade entre duas raz�es equivalentes. De forma semelhante ao estudo com n�meros racionais, � poss�vel estabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, atrav�s das medidas desse segmentos. Consideremos um caso particular com quatro segmentos de reta: \[\begin{matrix} A \underline{\qquad} B & P \underline{\qquad\qquad} Q \\ C \underline{\quad\qquad} D & R \underline{\qquad\qquad\qquad} S \end{matrix}\] onde \(m(AB)=2\;\text{cm}\), \(m(PQ)=4\;\text{cm}\), \(m(CD)=3\;\text{cm}\) e \(m(RS)=6\;\text{cm}\). A raz�o entre os segmentos \(AB\) e \(CD\) e a raz�o entre os segmentos \(PQ\) e \(RS\), s�o duas fra��es equivalentes, isto �: \[\frac{AB}{CD} = \frac23 = \frac46 = \frac{PQ}{RS}\] que nos leva � defini��o de segmentos proporcionais. Quatro segmentos de reta: AB, BC, CD e DE, nesta ordem, s�o proporcionais se: \[\frac{AB}{BC} = \frac{CD}{DE}\] Os segmentos \(AB\) e \(DE\) s�o os segmentos extremos e os segmentos \(BC\) e \(CD\) s�o os segmentos meios. A proporcionalidade acima � garantida pelo fato que existe uma propor��o entre os n�meros reais que s�o as medidas dos segmentos: \[\frac{m(AB)}{m(BC)} = \frac{m(CD)}{m(DE)}\] Propriedade Fundamental das propor��es: Em uma propor��o de segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios � igual ao produto das medidas dos segmentos extremos. \[m(AB){\times}m(DE) = m(BC){\times}m(CD)\] 11 Feixe de retas paralelasUm conjunto de tr�s ou mais retas paralelas num plano � chamado feixe de retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe � a reta transversal ao feixe. Aqui, vamos usar letras mai�sculas para retas. As retas A, B, C e D, que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T s�o retas transversais. Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A figura ao lado representa uma situa��o onde aparece um feixe de tr�s retas paralelas cortado por duas retas transversais. Na sequ�ncia, identificamos algumas propor��es: \[\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF},\quad \frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE},\quad \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF},\quad \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}\] Exemplo: Seja a figura seguinte com um feixe de retas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas em cent�metros. Assim: \[\frac{BC}{AB}=\frac{EF}{DE}, \quad \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}, \quad \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}\] Notamos que uma propor��o pode ser formulada de v�rias maneiras. Se um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimens�o pode ser determinada com o uso de raz�es proporcionais. 12 Semelhan�a de Tri�ngulosConceito de semelhan�a: Duas figuras s�o semelhantes quando possuem a mesma forma, mas nem sempre o mesmo tamanho. Se duas figuras R e S s�o semelhantes, denotamos tal semelhan�a por \(R \cong S\). Exemplo: As amplia��es e redu��es fotogr�ficas s�o figuras semelhantes. Para os tri�ngulos: os tr�s �ngulos s�o respectivamente congruentes, isto �: \[A \cong R, B \cong S, C \cong T\] Os dois tri�ngulos semelhantes da figura anterior, possuem lados proporcionais e �ngulos congruentes. Se um lado do primeiro tri�ngulo � proporcional a um lado do outro tri�ngulo, ent�o estes dois lados s�o ditos hom�logos. Desse modo, todos os lados proporcionais s�o hom�logos. Realmente: \[\begin{align} AB \cong RS & \quad \text{pois} \quad \frac{m(AB)}{m(RS)}=2 \\ BC \cong ST & \quad \text{pois} \quad \frac{m(BC)}{m(ST)}=2 \\ AC \cong RT & \quad \text{pois} \quad \frac{m(AC)}{m(RT)}=2 \end{align}\] Como as raz�es acima s�o todas iguais a 2, este valor comum � denominado raz�o de semelhan�a entre os tri�ngulos. Conclu�mos que o tri�ngulo ABC � semelhante ao tri�ngulo RST. Dois tri�ngulos s�o semelhantes se possuem os tr�s �ngulos e os tr�s lados correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos interessantes a analisar. 13 Casos de Semelhan�a de Tri�ngulosDois �ngulos congruentes: Se dois tri�ngulos possuem dois �ngulos correspondentes congruentes, ent�o os tri�ngulos s�o semelhantes. Se \(A \cong D\) e \(C \cong F\) ent�o: \[ABC \cong DEF\] Dois lados proporcionais:Se dois tri�ngulos possuem dois lados proporcionais e os �ngulos formados por esses lados s�o congruentes, ent�o os tri�ngulos s�o semelhantes. Como \[\frac{m(AB)}{m(EF)} = \frac{m(BC)}{m(FG)} = 2\] ent�o \[ABC \cong EFG\] Exemplo: Na figura seguinte, um tri�ngulo pode ser rodado sobre o outro para gerar dois tri�ngulos semelhantes e o valor de \(x\) ser� igual a \(8\). Realmente, \(x\) pode ser obtido pela semelhan�a dos tri�ngulos. Vamos identificar os lados hom�logos e com eles vamos construir a propor��o: \[\frac3{6} = \frac4{x}\] Tr�s lados proporcionais: Se dois tri�ngulos t�m os tr�s lados correspondentes proporcionais, ent�o os tri�ngulos s�o semelhantes. 14 Quadril�teros e a sua classifica��oQuadril�tero � um pol�gono com quatro lados. Os principais quadril�teros s�o: quadrado, ret�ngulo, losango, trap�zio e trapez�ide. No quadril�tero anterior, observamos alguns elementos geom�tricos:
Nota: Unindo os v�rtices opostos de um quadril�tero qualquer, obtemos sempre dois tri�ngulos e como a soma das medidas dos �ngulos internos de um tri�ngulo � \(180\) graus, conclu�mos que a soma dos �ngulos internos de um quadril�tero � igual a \(360\) graus. Exerc�cio: Determinar a medida do �ngulo \(x\) na gravura seguinte. Paralelogramo: � o quadril�tero que possui lados opostos paralelos. Em um paralelogramo, os �ngulos opostos s�o congruentes. Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais:
Trap�zio: � um quadril�tero que possui dois lados opostos paralelos. Alguns elementos gr�ficos de um trap�zio (semelhante aos dos circos).
Trap�zios recebem nomes de acordo com os tri�ngulos que t�m caracter�sticas semelhantes. Um trap�zio pode ser:
Exerc�cio: Prolongar as retas apoiadas nos lados opostos n�o paralelos dos trap�zios da figura acima para obter, respectivamente, um tri�ngulo ret�ngulo, um is�sceles e um escaleno. Observar mais acima nesta mesma p�gina os nomes dos tri�ngulos obtidos e os nomes destes trap�zios! Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono convexo?A soma dos ângulos internos de um polígono convexo pode ser determinada conhecendo o número de lados (n), bastando subtrair este valor por dois (n - 2) e multiplicar por 180°.
Qual é a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero convexo?Considerando que, em cada triângulo, a soma dos ângulos internos iguais é 180°, a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 2·180º = 360º.
Como calcular a soma dos ângulos internos de um poliedro convexo?Em todo poliedro convexo de V vértices, a soma dos ângulos de todas as suas faces é dada por: S = (V − 2) 360◦.
Qual é a soma dos ângulos internos de um quadrilátero?Internos: a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º. Podemos dividir um quadrilátero em dois triângulos. Usando a primeira figura, temos os triângulos ABD e BCD, já estudamos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
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