Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é igual ao quádruplo da soma dos ângulos externos?

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Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas do ângulo externo?
Qual o polígono que tem a soma dos ângulos internos igual a soma dos ângulos externos?
Qual é o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é externos é igual a 900 graus?
Qual é o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a soma das medidas dos ângulos externos aumentada de 720 graus?

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LISTA DE ESTUDOS- Polígonos (Si / ai / Se/ ae)e número de diagonais
1) Verifique se o triângulo RST é eqüilátero, sabendo que o ângulo R = 5x + 10, o ângulo S = 8x – 20 e o ângulo T = 3x + 30. 
2) O ângulo interno de um polígono regular tem medida igual a da medida de um ângulo raso. Qual é esse polígono?
3) A medida do ângulo interno de um polígono regular é o triplo da medida do seu ângulo externo. Qual é esse polígono?
4) Qual é a medida do ânulo interno de um polígono regular que tem 6 diagonais em um vértice?
5) A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 1620. Qual é o número de diagonais desse polígono?
6) Um polígono tem todos os ângulos externos congruentes com medida igual a 20o. Quantos lados tem esse polígono?
7) Qual é o polígono cujo número de diagonais é igual ao dobro do número de lados?
8) Qual é o polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos?
9) Calcule a medida dos ângulos dos polígonos abaixo: 
 
 10) Quantos lados tem um polígono em que o número de diagonais é o triplo do número de lados?
 11) Num polígono, cada vértice é extremidade de 9 diagonais. Que polígono é esse?
 12) Num polígono, cada vértice é extremidade de 17 diagonais. Que polígono é esse?
 13) Qual é o polígono regular no qual a soma das medidas dos ângulos internos mais a soma das medidas dos 
 ângulos externos é igual a 900o?
 14) Os ângulos internos de um polígono convexo medem (3x + 13), (6x + 14), (5x + 45), (8x – 13) e ( 7x + 17). 
 Qual é o valor de x e de cada ângulo?
 15) Num polígono regular, (3x + 36) representa a medida de um dos ângulos internos, e ( x – 8) representa a 
 medida do ângulo externo adjacente a esse ângulo interno. Qual é o valor de x? Quantos lados tem esse 
 polígono?
Gabarito
1) X = 10o e RST é triângulo eqüilátero 2) Dodecágono regular 3) Octógono 4)Ai = 140o
5) 44 6) 18 7) Heptágono 8) Decágono 9) a) 85 e 75 b) 120 c) 90; 150 e 120 
d) 120; 140; 115; 126; 119; 130; 150 10) 9 lados 11) Dodecágono 12) Icoságono 13) pentágono
14) 16o 15) x = 38o; possui 12 lados.

Através de uma demonstração simples, podemos constatar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo equivale a 180o. O mesmo pode ser feito para os demais polígonos convexos. Sabendo o número de lados de um polígono, conseguimos determinar a soma das medidas de seus ângulos internos.

Um quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos, portanto a soma das medidas de seus ângulos internos é:

S = 2?180O = 360O

Um pentágono pode ser dividido em três triângulos, logo, a soma das medidas de seus ângulos internos é:

S = 3?180O = 540O

Partindo da mesma ideia, um hexágono pode ser dividido em 4 triângulos. Assim, a soma das medidas de seus ângulos internos é:

S = 4?180O = 720O

Generalizando, se um polígono convexo possui n lados, a soma das medidas de seus ângulos internos será dada por:

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S = (n - 2)?180o

Exemplo 1. Determine a soma das medidas dos ângulos internos de um icoságono.

Solução: Icoságono é um polígono convexo com 20 lados, logo, n = 20. Assim, teremos:

S = (n - 2)?180o
S = (20 - 2)?180o
S = 18?180o
S = 3240o

Exemplo 2. Quantos lados possui um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a 1440o?

Solução: Sabemos que S = 1440o e queremos determinar a quantidade de lados que esse polígono possui, ou seja, determinar o valor de n. Vamos resolver o problema utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos.

Portanto, o polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 1440o é o decágono, que apresenta 10 lados.

Observação: A soma dos ângulos externos de um polígono qualquer é igual a 360°.

Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto:

Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas do ângulo externo?

Qual é o polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quadruplo da soma das medidas dos ângulos externos? Dessa forma, como são 10 lados, o polígono procurado se chama decágono.

Qual o polígono que tem a soma dos ângulos internos igual a soma dos ângulos externos?

Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo.